Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Но если время ∆t такого перехода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при∆t → 0 можно предположить, что для данного момента времени тело поворачивается вокруг некоторой оси Р, проходящей через неподвижнуюGточку O , вращаясь вокруг неё с угловой скоростью ω . Конечно, для каждого другого момента времени эта ось расположена иначе. Поэтому ось PGназывают мгновенной осью вращения, а угловую скорость ω – мгновеннойугловой скоростью, вектор которой направлен по этой оси.64AKF3.RU3. Скорости точек телаПо теореме Даламбера-Эйлера за малое время ∆t движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси OP1 с некоторой угGловой скоростью ωср (рис.9.8). Тогда скорость точки M по формуле (9.1)GGGGvср = ωcр × r .
В пределе при ∆t → 0 угловая скорость ωср будет приблиGжаться к мгновенной угловой скорости ω , направленной по мгновеннойGоси вращения P , а скорость точки vср – к истинному значениюGGGGGG G Gv = lim vср = lim ωср × r = lim ωср × lim r = ω× r .(9.3)∆t →0∆t →0()∆t →0∆t →0Но таким же образом находитсяскорость точки при вращении тела вокругGоси, по которой направлен вектор ω ,в нашем случае – по мгновенной осивращения P .
Поэтому скорость точкиможно определить как скорость её привращении тела вокруг мгновенной оси P .Величина скорости v = h ⋅ ω (см. рис. 9.8).Определение скоростей точек телазначительно упрощается, если известнамгновенная ось вращения P . Иногда еёможно найти, если удастся обнаружить уРис. 9.8Oтела хотя бы ещё одну точку, кроме,скорость которой в данный момент равна нулю, и провести ось P из неподвижной точки O через эту точку, так как мгновенная ось вращения –геометрическое место точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени.Пример 9.2.
Водило OA=a,вращаясь вокруг вертикальнойоси z с угловой скоростью ω0 ,заставляет диск радиусом R кaтаться по горизонтальной плоскости (рис. 9.9).Если представить диск какоснование конуса с вершиной вРис. 9.9неподвижной точке O , то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки O .65AKF3.RUТак как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, томгновенная ось вращения P проходит через эту точку. И вектор мгновенGной угловой скорости ω будет направлен по этой оси.Точка A вместе с водилом OA вращается вокруг оси z .
Поэтому еёскорость v A = aω0 (см. рис. 9.9). Эта скорость определяет направлениеGвращения диска вокруг оси P и направление вектора ω . Величина угловойvскорости ω = A (h – расстояние от A до оси P ). Теперь можно найтиhскорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращениевокруг оси P . Так, например, скорость точки BvB = 2h ⋅ ω . ТакaR,sin α =как h = R cos αи cos α =, то2222a +Ra +Ra ω01vω= А ==a 2 + R 2 ⋅ ω0 и vB = 2aω0 .h R cos α R4. Ускорения точек телаGG dωСначала определим угловое ускорение тела ε =. При движении теdtGла вектор угловой скорости ω может изменяться и по величине, и по направлению. Точка, расположенная на его конце, будет двигаться по некоGторой траектории со скоростью u (рис.
9.10). Если рассматривать векторGGG dω Gω как радиус-вектор этой точки, то u == ε.dtИтак, угловое ускорение тела можноопределить как скорость точки, расположенной наконце вектора угловой скорости:G Gε=u.Этот результат называется теоремой Резаля.Теперь обратимся к определению ускоренияточек. Ускорение какой-либо точки M телаРис. 9.10GGG d vG d G Gd ω G G dr G G G GW == (ω × r ) =× r + ω×= ε × r + ω× vdt dtdtdtесть сумма двух векторов.66AKF3.RUG G GПервый вектор W1 = ε × r . Модуль его W1 = ε r sin α1 = ε h 1 , где h1 – расGGGстояние от точки M до вектора ε . Направлен он перпендикулярно ε и r .Но таким же способом определяется касательное ускорение (рис.
9.11).Поэтому первую составляющую ускорения определяют как касательноеускорение, предполагая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей сGвектором ε . И обозначается этот вектор ускорения так:G G GWτε = ε× r .GG GВторой вектор W2 = ω × v. МоW2 = ω v sin α 2 ,нодульегоGGα 2 = 90D , так как векторы ω и vперпендикулярны друг другу.Значит, W2 = ω v = ω h2 ω = h2 ω2 ,где h2 – расстояние от точки М доGмгновенной оси P , до вектора ω .GНаправлен вектор W2 перпендиGGРис 9.11кулярно ω и v , то есть так же, какGвектор нормального ускорения при вращении вокруг оси P или вектора ω .Поэтому этот вектор ускорения и обозначают соответственно так:GG GWnω = ω × v.Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как векторная сумма двух ускорений:GGGW = W τε + W nω .(9.4)Этот результат называется теоремой Ривальса.GGЗаметим, что в общем случае векторы ω и ε не совпадают и уголGGмежду Wτε и Wnω не равен 90D , векторы не перпендикулярны друг другу,как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси.Пример 9.3.
Продолжим исследование движения диска (пример 9.2).GvaМодуль угловой скорости ω = A =ω0 = const . Значит, вектор ωh R cos αвместе с осью P , которая всегда проходит через точку касания диска сплоскостью, вращается вокруг оси z и описывает конус (рис. 9.12).67AKF3.RUGТочка М на конце вектора ω движется по окружности радиусомr = ω ⋅ cos α с угловой скоростью ω0.
Поэтому угловое ускорение диска поaтеореме Резаля ε = u M = ω cos α ⋅ ω0 = ω02 .RGОткладывается вектор ε из неподвижной точки О. Направлен он какGскорость u M параллельно оси х.Рис. 9.12Найдём ускорение точки В.GWτεaa 2 + R 2 ⋅ ω02 . Направлен векторRперпендикулярно OB и расположен в плоскости zO1 y .Ускорение Wτε = OB ⋅ ε =УскорениеWnω = BC ⋅ ω2 = 2hω2 = 2hv 2A2=2a 2ω02a=2R cos αRa 2 + R 2 ⋅ ω02 .hGωВектор Wn направлен по BC перпендикулярно мгновенной оси P . МоGдуль вектора WB (этот вектор на рисунке не показан) найдём с помощьюпроекций, проектируя равенство (9.4) на оси x, y, z :WBx = 0,aWBy = −Wτε sin α − Wnω sin α = −3a 2 + R 2 ⋅ ω02 sin α = −3 aω02 ,RWBz = Wτε cos α − Wnω cos αЗначит, ускорение точки B68a=−RWB =2a +R2WBx2⋅ ω02 cos α2+ WBy2+ W Bza2 2= − ω0 .R=aω029+a2R2.AKF3.RU§ 4.
Плоскопараллельное движение твердого телаПлоскопараллельным движением называется такое движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных однойнеподвижной плоскости. Называется эта плоскость плоскостью движения(рис. 9.13).Все точки прямой A1 A2 , перпендикулярнойэтой плоскости, движутся одинаково, так какпрямая перемещается поступательно. Поэтомудля исследования движения всех точек теладостаточно определить движение только точек,расположенных в каком-нибудь сечении S ,параллельном плоскости движения.В дальнейшем на чертеже будем изображатьлишь это сечение S , точки которого движутся вРис.
9.13плоскости чертежа (рис. 9.14).Положение сечения S и его точек будем определять в системе двух осей x и y .Это сечение S при движении тела, перемещаясь по плоскости, ещё и поворачивается. Поэтому положение сечениябудем определять с помощью координат xCи yC какой-нибудь точки C (полюса) иуглом ϕ между произвольно проведённойпрямой CA и осью x (см. рис. 9.14).Рис. 9.14Чтобы определить положение сеченияS и его точек в любой момент времени, достаточно задать функции времениxC = xC ( t ) , ⎫⎪yC = yC ( t ) , ⎬⎪ϕ = ϕ ( t ).
⎭Эти функции называются уравнениями плоскопараллельного движения.Конечно, если полюсом назвать другую точку, например С1 , то первые два уравнения изменятся, так как точка С1 движется иначе и по другой траектории.69AKF3.RUА третье уравнение не зависит от выбора полюса. Действительно, если поворот тела определять углом ϕ1 между осью х и прямой С1А1, параллельной СА, то углы будутвсегда равны ϕ1 = ϕ и законыих изменения – одинаковы.Вкачествепримерарассмотрим движение колеса,котороекатитсябезскольженияпопрямой(рис.9.15).Это движениеРис.9.15будет плоскопараллельным,потому что все точки колеса движутся в одной вертикальной плоскости.У полюса О, центра колеса, траектория – прямая.
А у полюса С1 траектория – циклоида. Уравнения движения этих двух точек разные. А углыϕ и ϕ1, которые составляют диаметр СА, и хорда С1А1, параллельная диаметру, с горизонтальной прямой всегда равны. Значит, и угловые скорости , ε1 = ϕ1 будут соответственноω = ϕ и ω1 = ϕ 1 и угловые ускорения ε = ϕодинаковы.Нетрудно заметить, что плоскопараллельное движение тела можнопредставить как сумму двух движений: движения полюса по некоторойтраектории и вращения вокруг оси, проходящей через этот полюс перпендикулярно плоскости движения (вращения вокруг полюса).1.
Скорости точек тела. Мгновенный центр скоростейПусть известны уравнения плоскопараллельного движенияРис.9.1670xC = xC (t ) ,yC = yC (t ) ,ϕ = ϕ( t ).Найдём скорость какой-нибудь точки М(рис. 9.16).ПоложениеточкиМопределяетсяGрадиусом-вектором r , положение полюса С –GGвектором rC . Проведём ещё один вектор r ' изG GGполюса С в точку М. Тогда r = rC + r ' .AKF3.RUGGGGdr drC dr '=+Скорость точки М vM =. Первое слагаемое этой суммыdtdtdtGGdrC= vC (рис.9.17).равно скорости полюсаdtЧтобы найти второе, условно остановимGдвижение полюса, положим rС = const . ТогдаGGdr 'получится vM =.
Значит, это второеdtслагаемое определяет скорость точки М привращении тела вокруг как бы неподвижногоGРис. 9.17полюса С и обозначается vMC .Итак, скорость точки М тела есть векторная сумма скорости полюса искорости точки при вращении тела вокруг полюса (рис. 9.17)GGGv M = vC + v M C .(9.5)Скорость полюса можно определить, например, с помощью уравнений движения, с помощью производных xС и yC (см.формулу 9.2).GА скорость vMC – как скорость при вращении тела вокруг оси CvMC = MC ⋅ ω = MC ⋅ ϕ .Найдём скорость ещё одной точки тела,точки Cυ , положение которой определяетсякак (рис. 9.18). Повернём вектор скоростиGполюса vC на 90˚ по направлению угловой скорости ω .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
