Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Его можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного вместе спроизвольно выбранным полюсом С и вращения вокруг этого полюса.Первое движение определяется уравнениями движения полюса, точки С,xC = xC (t ),yC = yC (t ),zC = zC (t ).А второе движение – уравнениями вращения вокруг точки С с помощью углов Эйлераψ = ψ (t ),θ = θ(t ),ϕ = ϕ(t ).Скорости и ускорения точек тела в общем случае при произвольном движении определяются такими же методами, как при сложном движенииточки (см. разд.
Х).91ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ «КИНЕМАТИКА»К–1AKF3.RUК–2К–3Тело, состоящее из двух цилиндров,радиусы которых r = 3 = 1,73 см иR = 3 см, скатывается без скольжения по наклонной плоскости с угловой скоростью ω = 2 с-1. Определитьскорости точек С, 1, 2, 3, 4.Диск радиусом R = 10 см катится безскольжения по прямой с постояннойугловой скоростью ω = 2 с-1.
Найтиускорения точек С, 1, 2, 3, 4 и мгновенные центры скоростей и ускорений.Квадрат со стороной 6 см вращаетсявокруг оси А с постоянной угловойскоростью ω = 2с-1. По сторонеквадрата движется точка М так, чтоs = OM = 3t2 см. Определить в момент t = 1c абсолютную скоростьточки vM и её абсолютное ускорение WM .Ответы на тесты на с.23292AKF3.RUДИНАМИКАXII. Аксиомы динамикиВ кинематике исследовалось движение тел без учета причин, обеспечивающих это движение. Рассматривалось движение, заданное каким-либоспособом, и определялись траектории, скорости и ускорения точек этоготела.В динамике решается более сложная и важная задача. Определяетсядвижение тел под действием сил, приложенных к ним, с учетом внешних ивнутренних условий, влияющих на их движение.В основе динамики лежат несколько аксиом.
Это известные законыНьютона. Чтобы их сформулировать, введем несколько понятий.Первое – материальная точка. Материальной точкой будем называтьтело, обладающее массой, размеры которого можно не учитывать при определении его движения. Так что материальная точка на самом деле можетоказаться довольно солидных размеров.
Все зависит от масштабов пространства, в котором тело движется, и от других обстоятельств.Второе. Точку будем называть изолированной, если на точку не оказывается никакого влияния, никакого действия со стороны других тел исреды, в которой точка движется. Конечно, трудно привести пример подобного состояния. Но представить такое можно.Теперь можно сформулировать первую аксиому.§1. Первая аксиомаВ основе этой аксиомы лежит первый закон Ньютона.
Запишем ее так:Изолированная материальная точка движется прямолинейно и равномерно либо находится в покое, в равновесии.93AKF3.RUПравда, при этом возникает вопрос: а относительно чего совершаетсятакое движение? Конечно, наблюдение за таким движением должно вестисьиз системы отсчета, которая сама движется равномерно и прямолинейно.Такая система, относительно которой изолированные материальныеточки движутся равномерно и прямолинейно, называется инерциальнойсистемой отсчета.Если материальная точка в такой инерциальной системе не находитсяв равновесии, то эта точка не будет изолированной.
Значит, на нее оказывается действие со стороны других тел, которые выводят ее из состоянияравновесия, то есть на нее действуют силы.§2. Вторая аксиома. Основное уравнение динамикиИз второго закона Ньютона следует, что сила, действующая на точку,изменяет ее движение. Это изменение, как известно из кинематики, характеризуется ускорением. Поэтому вторую аксиому сформулируем так:При действии на материальную точку силы у точки появляется ускорение, пропорциональное силе и имеющее ее направление.GGЭту зависимость можно записать в виде формулы F = mW .
Коэффициент пропорциональности m называется массой точки.Если на точку действует несколько сил, то их можно заменить однойGGсилой, равнодействующей R = ∑ Fi , и предыдущее равенство записать так:GGmW = ∑ Fi .(12.1)Это векторное равенство называется основным уравнением динамики.При свободном падении тела на него действует сила Р, сила тяжести,которую вблизи поверхности Земли будем называть весом тела. Если неучитывать другие силы, например сопротивление воздуха, то это будетединственная сила, приложенная к телу. Тогда по формуле получимmW = P .
Но при этом движении W = g, равно ускорению свободного паPдения. Поэтому массу тела будем определять так: m = .g§3. Третья аксиома. Сила инерцииПри действии одного тела на другое возникают две силы, равные повеличине, направленные по одной прямой в противоположные стороны иприложенные к этим телам.94AKF3.RUКонечно, нельзя сказать, что эти две силы уравновешиваются, так какони приложены к разным телам.Проведем небольшой эксперимент. Попробуем перемещать тяжелоетело по некоторой криволинейной траектории. Сразу обнаружим, что телосопротивляется изменению направления движения, изменению скорости.GВозникает сила со стороны тела, противодействующая силе F , той, которую мы прикладываем к нему.Эту силу, с которой материальная точка сопротивляется изменениюGсвоего движения, будем называть силой инерции этой точки, F ин .По третьей аксиоме она равна и противоположна действующей на точкуGGGGGсиле F , F ин = − F . Но на основании второй аксиомы F = mW .
ПоэтомуGGF ин = − mW .Итак, сила инерции материальной точки по величине равна произведению ее массы на ускорениеF ин = mW(12.2)и направлена в сторону, противоположную вектору ускорения.Например, при движении точки по кривой линии ускорениеG GGW = Wn + Wτ . Поэтому сила инерцииGGGGGGF ин = − mW = − mWn − mWτ = Fnин + Fτин .То есть ее можно находить как сумму двухсил: нормальной силы инерции и касательнойсилы инерции (см. рисунок). Причемdvv2Fτин = m .=m ,dtρРис.12.1Необходимо заметить, что сила инерции материальной точки, как сила противодействия, приложена не к точке, а ктому телу, которое изменяет ее движение. Это очень важно помнить.FnинXIII. Динамика материальной точкиИсследование движения тел начнем с анализа движения материальнойточки.
При этом приходится решать две задачи. Первая задача – известно,как точка движется, нужно определить силы, вызывающие это движение;вторая, обратная задача – известны силы, действующие на точку, определить, как она будет двигаться.95AKF3.RU§1. Метод кинетостатикиМетодом кинетостатики обычно решается первая задача.Пусть на точку действует несколько сил. Составим для нее основноеGGуравнение динамики: mW = ΣFi .
Перенесем все члены в одну сторонуGGG Gуравнения и запишем так: ΣFi − mW = 0 или ΣFi + Fiин = 0 .Это уравнение напоминает условие равновесия сходящихся сил. Поэтому можно сделать вывод, что, если к движущейся материальной точкеприложить ее силу инерции, то точка будет находиться в равновесии.(Вспомним, что на самом деле сила инерции не приложена к материальнойточке и точка не находится в равновесии.) Отсюда следует метод решениятаких задач, который и называется методом кинетостатики.Если к силам, действующим на точку, добавить ее силу инерции, тозадачу можно решать методами статики, составлением уравнений равновесия.GПример 13.1.
При движении автомобиля с постоянным ускорением Wмаятник (материальная точка, подвешенная на нити) отклоняется от вертикали на угол α (рис. 13.1). Определим, с каким ускорением движется автомобиль и натяжение нити.Рассмотрим «динамическое равновесие» точки. Его так называют потому,что на самом деле точка не находится вравновесии, она движется с ускорением.GНа точку действуют силы: вес Р иGнатяжение нити S , реакция нити. Приложим к точке ее силу инерцииPF ин = mW = W , направленную вРис. 13.1gсторону, противоположную ускорению точки и автомобиля, и составимуравнение равновесия:− F ин + S sin α = 0;∑ X i = 0;∑ Yi = 0;S cos α − P = 0.PP.
Из первого − W + S sin α = 0 .cosαggg Psin α = g ⋅ tgα .Определяем ускорение W = S sin α =PP cos αИз второго уравнения следует S =96AKF3.RU§2. Дифференциальные уравнения движенияматериальной точкиС помощью дифференциальных уравнений движения решается втораязадача динамики. Правила составления таких уравнений зависят от того,каким способом хотим определить движение точки.1. Определение движения точки координатным способомПусть точка М движется под действием нескольких сил (рис. 13.2).
СоставимGGосновное уравнение динамики mW = ∑ Fiи спроектируем это векторное равенствона оси x, y, z:mWx = ∑ X i ,⎫⎪mW y = ∑ Yi , ⎬⎪mWz = ∑ Z i . ⎭Рис. 13.2Но проекции ускорения на оси есть вторые производные от координатточки по времени. Поэтому получимmx = ∑ X i ,⎫⎪my = ∑ Yi , ⎬mz = ∑ Z i . ⎪⎭(13.1)Эти уравнения и являются дифференциальными уравнениями движения материальной точки. Решив их, сучетом начальных условий получимуравнениядвиженияточки:x = x(t), y = y(t), z = z(t).Рис. 13.3Пример 13.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
