Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Получим Т2 –Т1=T1Si= ∑ A i . Запишем результат в видеТ2 – Т1 = А.(15.22)119Это значит, изменение кинетической энергии движущейся материальной системы при переходе ее из одного положения в другое равно сумме работ сил, приложенных к системе, на этом переходе.AKF3.RUЗамечания к теореме.1. Нетрудно убедиться, что реакции связей без трения работу не совершают.
Поэтому при использовании теоремы в этом случае учитываютсятолько активные, задаваемые силы (см. XIV, §1).2. Внутренние силы, вообще говоря, учитывать надо, несмотря на то,что сумма их равна нулю. Простой пример: две точки, соединенные пружиной. При изменении расстояния между точками упругие силы, приложенные к точкам, будут совершать работу. Но если система состоит из абсолютно твердых тел и связи между ними неизменяемые, неупругие, идеальные, то работа внутренних сил будет равна нулю и их можно не учитывать и вообще не показывать на расчетной схеме.Теорему об изменении кинетической энергии удобно использоватьпри решении задач, в которых требуется установить зависимость междускоростями и перемещениями тел.Пример 15.4.
Какую скорость надо сообщить точке М стержня, прикрепленноговерхним концом с помощью шарнира О кнеподвижной поверхности (рис.15.13), чтобы стержень совершил четверть оборота?В первом вертикальном положениикинетическая энергия стержня, начавшеговращаться вокруг оси О:211 1 P 2 vM 1 P 22T1 = J o ω = ⋅l 2 = ⋅ vM .22 3 g6 glРис.
15.13Во втором положении, где стерженьдостигнет горизонтального положения и остановится на мгновение, Т2 = 0.lРаботу совершит только вес стержня РA = − Ph = − P . По теореме21 P 2lполучим уравнение − ⋅ vM= − P , из которого следует vM = 3 gl.6 g2120AKF3.RU§5. Закон сохранения энергииРассмотрим движение материальной системы в потенциальном полепод действием только сил этого поля.
В каком-либо одном положении потенциальная энергия для всех точек системы по (15.13), П1 = u0 – u1. В другом каком-то положении П2 = u0 – u2. Разность потенциальных энергийП1 – П2 = u2 – u1, что равно работе А, совершенной силами поля на переходесистемы из первого положения во второе. Но эта работа по теореме об изменении кинетической энергии А = Т2 – Т1. Значит, П1 – П2 = Т2 – Т1 илиП1 + Т1 = П2 + Т2.А так как положения системы выбраны произвольно, можно утверждать, что при движении системы в потенциальном поле механическаяэнергия ее (сумма потенциальной и кинетической) все время остается неизменной, постояннойП + Т = const.(15.23)Это и есть закон сохранения механической энергии.Такую материальную систему, при движении которой действует этотзакон, называют консервативной системой (энергия ее как бы законсервирована, не изменяется).XVI.
Принцип Даламбера§1. Принцип ДаламбераМетод кинетостатики, сформулированный ранее (XIII, §1), позволяетрассматривать движущуюся материальную точку как бы находящуюся всостоянии равновесия, если приложить к ней ее силу инерции. Применивэтот метод ко всем точкам материальной системы, можно сказать, что еслик точкам системы приложить их силы инерции, то система будет находиться в равновесии, а главный вектор всех сил (внешних, внутренних исил инерции точек) и главный момент их будут равны нулю:GGGGR ' = ∑ F j(e) + ∑ F j(i ) + ∑ F jин = 0,GG GG GG GM o = ∑ M o ( F j(e) ) + ∑ M o ( F j(i ) ) + ∑ M o ( F jин ) = 0.121AKF3.RUСразу заметим, что главный вектор и главный момент внутренних силравны нулю (XIV,§1).
Поэтому внутренние силы исключаются при исследовании движения материальной системы этим методом.Из сказанного выше следует метод решения задач динамики, которыйназывают принципом Даламбера. Он заключается в том, что задачу динамики, исследования движения материальной системы, можно решатьметодами статики, составлением известных уравнений равновесия, учтясилы инерции точек системы.Но этот удобный метод усложняется определением сил инерции твердых тел. Поэтому следует научиться складывать силы инерции точек тела,G инGнаходить их главный вектор R 'ин и главный момент M о или равнодейGствующую Rин .§2. Силы инерции твердого телаGGGГлавный вектор сил инерции точек тела R ' ин = ∑ Fiин = − ∑ miW i .
НоGG ∑ mi riследуетиз определения радиуса-вектора центра масс rC =MGGMrC = ∑ mi ri . Взяв вторую производную по времени, получимGGGGd 2 rCd 2 riM= ∑ miили ∑ miWi = MWC . Поэтому главный вектор силdt 2dt 2инерции точек тела при любом его движенииGGR 'ин = − MWC .То есть модуль главного вектора равен произведению массы тела наGускорение его центра масс R 'ин = MWC и направлен вектор R 'ин в сторону, противоположную вектору ускорения центра масс.Прикладывается главный вектор к точке приведения, которую можноназначить в любом месте, то есть он не зависит от выбора этой точки.С определением главного момента сил инерции возникает немалосложностей. Рассмотрим несколько частных случаев.122AKF3.RU1.Твердое тело движется поступательно.При таком движении главный момент сил инерции можно не определять, а находить сразу равнодействующую этих сил.
Как известно, онаGGGравна главному вектору R ин = R 'ин = − MWC , но имеет определенную точку приложения.Поскольку при поступательном движении все точки тела имеют равGGные и параллельные векторы ускорений Wi = WC , то силы инерции их также будут параллельными и направленными в одну сторону. Но равнодействующая таких параллельных сил приложена к точке, радиус-вектор коGGGGG ∑ Fiин ri ∑ miWi ri ∑ miWC ri ∑ mi ri Gторой r ===== rC , равен радиусуинmWmWMF∑ i i∑ i C∑ iвектору центра масс.Следовательно, равнодействующая сил инерции точек тела при поступательном движении приложена к центру масс тела как к центру параллельных сил.2.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной осиПусть тело вращается вокруг неподвижной оси z (рис. 16.1).Рис.16.1123AKF3.RUПроведем в теле, в какой-нибудь точке О на оси z, еще две оси x и y,перпендикулярные друг другу, и оси z, которые вращаются вместе с телом.Определим касательное и нормальное ускорения некоторой точки Mi:Wiτ = riε ,Win = ri ω2исоответствующиеимсилыинерцииτинnFiинτ = mWi i , Fin = mWi i , направленные противоположно ускорениям.Тогда главный момент сил инерции всех точек тела относительно оси zинининM zин = ∑ M z ( F iτ ) + ∑ M z ( F in ) = ∑ M z ( F iτ ) = −∑ Fiинτ ⋅ ri == − ∑ miWiτ ri = − ∑ mi ri ε ⋅ ri = − ε ∑ mi ri2 = − ε ⋅ J z .Итак, главный момент сил инерции точек тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на модуль углового ускоренияM zин = J z ε .Направляется он в сторону, противоположную угловому ускорению.Главный момент сил инерции точек тела относительно оси x, раскладывая силы инерции на две составляющие, параллельные и перпендикулярные оси x (см.
рис.16.1), получается таким:GG инM xин = ∑ M x ( Fiин)M(F+∑ x in ) =τ= ∑ Fiτин cos α i ⋅ zi −∑ Finин sin α i ⋅ zi = ∑ miWi τ cos α i ⋅ zi −− ∑ miWi n sin α i ⋅zi = ∑ mi ri ε ⋅ cos α i ⋅ zi −∑ mi ri ω2 ⋅ sin α i ⋅ zi .А так как ri cos α i = xi и ri sin α i = y i , то M xин = ε∑ mi xi zi − ω2 ∑ mi yi zi == εJ xz − ω2 J yz .Итак, главный момент сил инерции относительно оси xM xин = J xz ε − J yz ω2 ,где Jxz, Jyz – центробежные моменты инерции тела относительно соответствующих осей в точке О (см. XIV, §2).В частности, если тело имеет плоскость материальной симметрии,перпендикулярную оси вращения z, то эта ось z будет главной осьюинерции Jxz = Jyz = 0 и тогда M xин = 0 .124AKF3.RUОсталось вычислить главный момент сил инерции относительно оси уG инG инининM инM(F)M(F=+∑∑yy iτy in ) = ∑ Fiτ sin αi ⋅ zi − ∑ Fin cos αi ⋅ zi == ∑ miWiτ sin αi ⋅ zi − ∑ miWin cos αi ⋅zi = ∑ mi ri ε ⋅ sin αi ⋅ zi −− ∑ mi ri ω2 ⋅ cos αi ⋅ zi = ε∑ mi yi zi − ω2 ∑ mi xi zi = εJ yz − ω2 J xz .Следовательно, главный момент сил инерции точек тела относительно оси у2M инy = J yz ε − J xz ω .Опять, если тело имеет плоскость симметрии, перпендикулярную осивращения, этот момент M инy = 0.Примечанияа) Определив главные моменты сил инерции точек тела относительно взаимно перпендикулярных осей х, у, z, можно найти главный моментотносительно точки О, начала координат,2ин 2M оин = ( M xин ) 2 + ( M инy ) + (M z ) ,так как главные моменты относительно осей M xин , M yин , M zин являютсяG инMпроекциями векторао на оси.б) Если у тела имеется плоскость материальной симметрии,z,тонетрудноотыскатьперпендикулярнаяосивращенияGравнодействующую сил инерции точек тела Rин .Она будет расположена в этой плоскостиGGGи равна главному вектору Rин = R 'ин = − MWC .Центр масс также находится в этой плоскости.На рис.16.2 дано сечение тела плоскостьюсимметрии (точка О – точка пересечения осивращения z и этой плоскости) и показаны центрGмасс С, ускорение центра масс WC и направлениеGРис.16.2вектора равнодйствующей Rин .Легко находится расстояние h от оси z, от точки O, до линии дейстM zинJ ε= z .вия равнодействующей h =R 'ин MWC125AKF3.RUНо лучше найти расстояние ОА от оси до линии действия равнодействующей, проведенное через центр масс С:OA =Jz εhJzε==cos α MWC cos α MWCτ=Jz ε Jz=⋅Ma ε Ma(16.1)Это расстояние удобнее тем, что оно не зависит от закона вращениятела, определяется только его геометрией.
Следовательно, в этом случае утела имеется такая точка А, к которой всегда приложена равнодействуюGщая сил инерции точек тела (направление линии действия вектора Rин ,конечно, может быть различным, зависящим от закона вращения, но паGраллельным вектору ускорения WC ).3. Тело совершает плоскопараллельное движениеПри плоскопараллельном движении ускорение точки тела есть сумма трех ускорений: ускорения полюса, нормального ускорения и касательного ускорения точки при вращении вокруг полюса. Если полюс – центрJJG JJGJJG n JJG τмасс С, то ускорение i-й точки W i = W C + W ic + W ic . Соответственно уинининточки будут три составляющие силы инерции: F ie , F in , F iτ (рис. 16.3).Тогда главный момент сил инерцииточек тела относительно оси С, проходящейчерез центрмассперпендикулярноинплоскости движения, M cин = ∑ M c ( F ie ) +JGинJGинM(F)+M(+ ∑ c in∑ c Fiτ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
