Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 14
Текст из файла (страница 14)
10.5= ωe × i1 , и= ωe × k1 . (10.10)dtdtGG ⎛ dx G dy G dz G ⎞Wс = 2ωe × ⎜ 1 i1 + 1 j1 + 1 k1 ⎟ .По (10.9) ускорение Кориолисаdtdt ⎠⎝ dtИ, учитывая (10.4), получимGGK(10.11)Wс = 2ωe × vrУскорение Кориолиса есть удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости переносного движения на вектор относительнойскорости точки.zВеличина егоWc = 2ωe vr sin α ,(10.12)GGгде α – острый угол между векторами ωe и vr .vrωeЗамечание.
Можно доказать, что этот реωe Wзультат верен при любом переносном движеc 90нии, не только при вращении вокруг неподoвижной оси.MПример 10.2. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z. По поверхности егодвижется точка М (рис. 10.6). Конечно, скоGРис. 10.6рость этого движения точки – относительная скорость vr , а скорость враGщения тела – угловая скорость переносного движения ωe .GGGУскорение Кориолиса Wc = 2ωe × vr направлено перпендикулярноэтим двум векторам по правилу направления вектора векторного произведения так, как показано на рис. 10.6.85AKF3.RUНетрудно сформулировать более удобное правило определения наGправления вектора Wc : нужно спроектировать вектор относительнойGскорости vr на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения изатем повернуть эту проекцию на 90 градусов в плоскости по направлеGнию переносного вращения.
Конечное положение проекции вектора vrукажет направление кориолисова ускорения. Это правило было предложено Н.Е. Жуковским.Пример 10.3. Вернемся к примеру 10.1. Найдем абсолютное ускорениеколечка МGGGGWM = We + Wr + Wс .(10.13)Переносное ускорение при движении колечка по окружностиGGGрадиусом OM = s :We = W en + W eτ , где Wen = s ⋅ ωe2 = 12t 2 см ⋅ с −2 ,c = 0.а Weτ = sεe = s ⋅ϕGGЗначит We = Wen (рис.10.7).Относи-тельное ускорение Wr = s = 6 см ⋅ с −2 .Ускорение КориолисаWс = 2 ω e v r sin 90 ° = 2 ⋅ 2 ⋅ 6 t = 24t см ⋅ с - 2 .GВектор Wc направлен перпендикулярностержню в сторону вращения (по правилуРис.10.7Жуковского).Величину абсолютного ускорения колечка М найдем с помощью проекций на подвижные оси x1 и y1 .
Проектируя равенство (10.13) на оси, получим: Wx1 = Wr − We = 6 -12t −2 = 6(1 − 2t −2 ),ТогдаW y1 = Wc = 24t.WM = (Wx ) 2 + (W y1 ) 2 = 6 (1 − 2t 2 ) 2 + 16t 2 см⋅ с −2 .1XI.Сложное движение твердого телаТак же как при сложном движении точки, нередко и движение теламожно рассматривать как сумму нескольких движений. Например, как состоящее из двух поступательных движений или как поступательного движения и вращения вокруг оси.
Часто встречаются движения, состоящие издвух вращений вокруг осей или поступательного движения и вращения вокруг точки. Исследование движения точек, принадлежащих телу, совершающему сложное движение, можно проводить методами, изложенными в86AKF3.RUразд.Х, никаких трудностей это не вызывает. Но анализ сложного движения тела, состоящего из нескольких вращений, обнаруживает некоторыеособенности, которые следует рассмотреть специально.§ 1. Сложение вращений тела вокруг двух осейНа рис. 11.1 изображено тело, которое совершает сложное движение –вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, неподвижнойоси.
Естественно, первое вращение следует назвать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозначить z r и ze .Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересеченияосей О. (Еcли тело имеет больший размер, то его точка, совпадающая с О,все время будет неподвижной). Угловые скорости переносного вращения иGGотносительного вращения изображаются векторами ωe и ωr , отложеннымииз неподвижной точки О, точки пересечения осей, по соответствующим осям.Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положениеGкоторой определяется радиусом-вектором r (рис 11.1).Как известно, она складывается из двух скоростей: относительной иGGGпереносной (10.5) vM = vr + ve .
Но относительное движение тела (используяправилоостановкивразд.Х,§1) есть вращение с угловойGскоростью ωr вокруг оси z r , аположение точки М при этомGопределяется радиусом-вектором r .GGKПоэтому по (9.1) vr = ωr × r .Переносное движение тела вданный момент времени, опятьиспользуя правило остановки, тожеесть вращение, но вокруг оси ze сРис. 11.1Gугловой скоростью ωe , и положениеGточки М опять будет определяться тем же радиусом-вектором r . ПоэтомуGGGи переносная скорость ve = ωe × r .Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижнойточки О, при сферическом движении определяется аналогично (по формуGG GGле 9.3) vM = ω × r , где ω – абсолютная угловая скорость, направленная помгновенной оси вращения Р.87AKF3.RUG G G G G GПо формуле сложения скоростей получим ω × r = ωr × r + ωe × r илиG K GGG GGGω × r = (ωr + ωe ) × r .
Отсюдаω = ωe + ω r .То есть мгновенная угловая скорость, угловая скорость абсолютногодвижения есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения P, направленная по вектоGру ω , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторахGGωe и ωr (см. рис 11.1).Частные случаи:1. Оси вращения ze и z r параллельны, направления вращений одинаковы(рис 11.2).GGТак как векторы ωe и ωrпараллельны и направлены в однусторону, то абсолютная угловаяскорость по величине равна сумме ихмодулей ω = ωe + ωr , и вектор еенаправлен в ту же сторону.Мгновенная ось вращения Р делитрасстояние между осями на части,Рис. 11.2обратно пропорциональные ωe и ωr :a1ω= r(аналогично равнодействующей параллельных сил).a2ωeВ этом частном случае тело А совершает плоскопараллельное движение.
Мгновенный центр скоростей Cυ находится на оси Р.2. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны(рис. 11.3).В этом случае ω = ωr − ωe (приωr > ωe ). Мгновенная ось вращения имгновенныйцентрскоростейнаходятся за вектором большейугловой скорости на расстоянияхωaтаких, что 1 = r (опять по анаa 2 ωeлогииопределенияположенияравнодействующей параллельных сил).Рис. 11.388AKF3.RU3. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположныи угловые скорости равныУгловая скорость абсолютного движения будет равна нулю и, следовательно, тело совершает поступательное движение.
Этот случай называется парой вращений по аналогии с парой сил.Пример 11.1. Диск радиусом R вращается вокруг горизонтальной осис угловой скоростью ω1 , а эта ось вместе с рамкой вращается вокруг вертикальной неподвижной оси с угловойскоростью ω2 (рис.11.4).Горизонтальная ось – это осьотносительного вращения диска z r ; вертикальная ось – ось его переносноговращения ze . Соответственно угловыескорости ωr = ω1 , ωe = ω2 , векторы ихнаправлены по осям z r и ze .
АбсолютнаяG G Gугловая скорость дискаω = ωe + ωr , аGGРис. 11.4модуль ее, так как ωe ⊥ ωr , ω = ω12 + ω22 .Скорость точки А, например, можно найти как сумму переносной иGGGотносительной скоростей: v A = ve + vr , где ve = Rωe = Rω2 , vr = Rωr = Rω1и v A = ve2 + vr2 = R ω22 + ω12 или как при абсолютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси Р, v A = Rω = R ω12 + ω22 .GВектор скорости v A будет расположен в плоскости, перпендикулярGной вектору ω и оси Р.Пример 11.2.
Водило ОА с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3вращается вокруг оси О с угловойскоростью ω0 . Колесо 2 при этом будетобкатываться по неподвижному колесу 1и заставит вращаться колесо 3.Найдем угловую скорость ω3 этогоРис. 11.5колеса.
Радиусы – R1 , R2 , R3 (рис.11.5).Колесо 3 участвует в двух движениях. Вращается вместе с водилом вокруг неподвижной оси О и относительно своей оси O1 .89AKF3.RUОсь О будет осью переносного вращения, ось O1 – относительного.Переносная угловая скорость колеса 3 – это угловая скорость водилаωe = ω0 , направленная по часовой стрелке, как ω0 .Чтобы определить угловую скорость относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным,колесо 1 вращающимся против часовой стрелки со скоростью ω0 (рис.
11.6),а колесо 3 – вращающимся с относительной угловой скоростью ωrпротив часовой стрелки. Так какω0 R2ωr R2R;==, то ωr = 1 ω0 .ω2 R1ω2 R3R3Оси вращения параллельны, направлениявращений противоположны. ПоэтомуR1скорость ω3 = ωr − ωe = ( − 1)ω0 иРис. 11.6R3направлена так же, как ωr против часовой стрелки. В частности, еслиR3 = R1 , то ωr = ωe и ω3 = 0 , колесо 3 будет двигаться поступательно.Исследование движения других подобных конструкций (планетарныхи дифференциальных редукторов, передач) ведется аналогичным способом.Переносной угловой скоростью является угловая скорость водила(рамки, крестовины и т.п.), а чтобы определить относительную скоростькакого-либо колеса, нужно водило остановить, а неподвижное колесо заставить вращаться с угловой скоростью водила, но в противоположнуюсторону.Угловые ускорениятела в абсолютном движении можно искать какGG GGG dωпроизводную ε =, где ω = ωe + ωr .
Покажем (рис.11.7) единичныеGG dtвекторы ke и k r (орты осей ze и z r ), а векторы угловых скоростей запиGGGGшем так: ωe = ωe ⋅ k e , ωr = ωr ⋅ k r .GGGGТогда ω = ωe k e + ωr k3 и угловое ускорение при k e = constGGG dω dωe G dωr Gdk rε==.ke +kr + ωrdtdtdtdt GGdω edω rdk r G= ε r и по формуле (10.10)Здесь= ωe × k r . Поэтому= εe ,dtdtdtGGGG GGGGGGG G GGε = εeke + ε r kr + ωr (ωe × kr ) или ε = ε e + ε r + ωe × ωr и ε = ε e + ε r + ε* ,90AKF3.RUGGгде ε e – угловое ускорение переносного вращения; ε r – угловое ускорениеGGGотносительного вращения; ε* = ωe × ωr – добавочное угловое ускорение, которое определяетGизменение относительной угловой скорости ωrпри переносном движении.
Направлен этотвектор перпендикулярно осям ze и z r , как скоGрость конца вектора ωr . Модуль добавочногоуглового ускорения ε* = ωe ⋅ ωr sin α , где α –угол между осями.Конечно, если оси вращения параллельны,Gэто угловое ускорение ε* будет равно нулю,так как α = 0 .Рис. 11.7§ 2. Общий случай движения телаПроизвольное движение тела – это общий случай движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
