Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 13
Текст из файла (страница 13)
И сумма вектоω2GGров WC и WCW C равна нулю, то есть ускорение точки CW равно нулю.Следовательно, при плоскопараллельном движении у тела можноотыскать точку, ускорение которой в этот момент времени равно нулю.Такая точка CW называется мгновенным центром ускорений.Если у тела удастся найти эту точку, то определение ускорений точектела значительно упрощается. Действительно, назначив точку CW полюсом, ускорение которого равно нулю, формула сложения ускорений получится проще:GGnGτ.W A = W AC+ W ACWWТо есть ускорения точек тела определяются как при вращении вокругоси, проходящей через мгновенный центр ускорений перпендикулярноплоскости движения.
Например, в примере 9.8 мгновенный центр ускорений находится в точке В и ускорение точки А будет определяться как привращении её вокруг оси, проходящей черезточку В.Так как угол α между вектором ускорения точки и прямой, соединяющей её смгновенным центром ускорений определяется лишь угловым ускорением ε и угловойскоростью ω (9.8), одинаковыми для всехточек, то эти углы, определяющие направление ускорений, для всех точек будутРис. 9.32равными.Например, на рис.9.32 показано распределение ускорений точекстержня АВ (при W A = WB угол α = 450 ).79AKF3.RUСледует заметить, что мгновенный центр ускорений CW и мгновенный центр скоростей Cv тела – это, как правило, разные точки.X.
Сложное движение точки§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения точкиДовольно часто встречается движение точки, состоящее из нескольких движений. Вот два наглядных примера.Первый. Наблюдатель, стоящий на высоком берегу реки, смотрит напрямолинейно движущийся теплоход,на верхней палубе которого по окружности ходит пассажир (рис. 10.1).Наблюдатель же видит довольносложную «загогулину» (пунктирнаяРис. 10.1линия) как результат сложения прямолинейного движения и движения по окружности.Второй пример.
Стержень вращается в плоскости вокруг оси О, а понему движется колечко М (рис. 10.2). Неподвижный наблюдатель увидитдвижение колечка по спирали.Эти движения имеют соответствующие названия: абсолютное, относительное и переносное.Абсолютным движением называетсядвижение точки, которое видит неподвижный наблюдатель («загогулина» и спираль внаших примерах).Относительным движением – являетсядвижение точки, которое увидел бынаблюдатель, двигаясь вместе со средой (степлоходом и со стержнем).
В наших примеРис. 10.2рах – это движение пассажира поокружности на палубе теплохода и прямолинейное скольжение колечка постержню.Переносное движение – это движение среды, по которой движетсяточка (прямолинейное движение теплохода и вращение стержня).При исследовании сложного движения точки полезно применять«Правило остановки». Для того чтобы неподвижный наблюдатель увидел80AKF3.RUотносительное движение точки, надо остановить переносное движение.Тогда будет происходить только относительное движение.
Относительноедвижение станет абсолютным. И наоборот, если остановить относительноедвижение, переносное станет абсолютным и неподвижный наблюдательувидит только это переносное движение.В последнем случае при определении переносного движения точкиобнаруживается одно очень важное обстоятельство. Переносное движениеточки зависит от того, в какой момент будет остановлено относительноедвижение, и от того, где точка находится на среде в этот момент, так как,вообще говоря, все точки среды движутся по-разному. Поэтому логичнееопределять переносное движение точки как абсолютное движение тойточки среды, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка.Так, переносное движение пассажира – это движение той точки палубы, на которой находится пассажир.
И в примере с колечком – это движение той точки стержня, где находится колечко в данный момент (движениепо окружности радиусом ОМ).Ещё несколько определений.G GАбсолютной скоростью и абсолютным ускорением точки ( v, W ) будем называть скорость и ускорение при абсолютном движении.Относительной скоростью и относительным усG Gкорением ( vr , Wr ) – скоростьи ускорение точки в относительном движении.Переносная скорость ипереносное ускорение точкиG G( ve , We ) – это абсолютнаяскорость и абсолютное ускорение той точки среды, с которой совпадает движущаясяточка в данный момент времени.Рис.10.3Все эти движения можнопопробовать определить с помощью координат и векторным способом.На рис.10.3 показаны неподвижные оси x, y, z и движущиеся осиx1; y1; z1.81AKF3.RUКонечно, абсолютное движение точки М определяется уравнениямиx = x(t ),(10.1)y = y (t ),z = z (t ).Относительное движение – в движущихся осях уравнениямиx1 = x1 (t ) ,(10.2)y1 = y1 (t ) ,z1 = z1 (t ) .Уравнений, определяющих переносное движение точки, не можетбыть вообще.
Так как, по определению, переносное движение точки М –это движение относительно неподвижных осей той точки системыО1 x1 y1 z1 , с которой совпадает точка в данный момент. Но все точки подвижной системы движутся по-разному.Абсолютное движение точки М определяется радиусом-векторомG GG Gr = r (t ) , а относительное движение радиусом-вектором r1 = r1 (t ) . РадиусGвектор rO1 определяет движение начала подвижных осей O1 (но не переносное движение точки М!).§ 2. Определение абсолютной скорости точкиGG drG GGАбсолютная скорость точки v =. Но r = rO1 + r1 (см. рис.
10.3),dtGGGG G GGгде r1 = x1i1 + y1 j1 + z1k1 , a i1 , j1 , k1 – орты подвижных осей. ПоэтомуGGGG drO1 d Gv=+ ( x1i1 + y1 j1 + z1k1 ) =dtdt(10.3)GGGGdrO1 dx1 G dy1 G dz1 Gdi1dj1dk1=+i1 +j1 +k1 + x1+ y1+ z1dtdtdtdtdtdtdtG G G(орты i1 , j1 , k1 – переменные, так как направление их меняется, функциивремени t).Используя метод остановки, с помощью выражения (10.3) можно определить относительную скорость точки и переносную. Действительно, остановив переносное движение, движение осей x1 , y1 , z1 , то есть положивGGGGrO1 = const, i1 = const , j1 = const , k1 = const , из уравнения (10.3) получимGdx1 G dy1 G dz1 Gvr =(10.4)i1 +j1 +k1 .dtdtdt82AKF3.RUА остановив относительное движение точки М ( x1 = const, y1 = const ,z1 = const ), получим её переносную скоростьGGGGdrGdi1dj1dk1Ove = 1 + x1.+ y1+ z1dtdtdtdtПоэтому из формулы (10.3) следует, что абсолютная скорость точкиесть векторная сумма двух скоростей – переносной и относительнойG GGv = v e + vr .(10.5)Пример 10.1.
Колечко М движется по вращающемуся стержню так,что OM = s = 3t 2 (см) и ϕ = 2t (рад) (рис. 10.4).Ранее было установлено, что траектория относительного движения –прямая линия, совпадающая со стержнем, и движение это определяетсяуравнением s = s (t ) . Траектория точки М при переносном движении в момент времени t – окружность радиусомOM = s .
Поэтому относительная скоростьvr = s = 6t см ⋅ с −1 и направлена по касательной к траектории вдоль стержня (см.рис. 10.4). Переносная скорость колечка,какпривращениивокругоси,ve = OM ⋅ ω = sϕ = 3t 2 ⋅ 2 = 6t 2 см⋅ с-1 .Направлен вектор этой скорости поРис. 10.4касательной к траектории точки припереносном движении перпендикулярно стержню.
Абсолютная скоростьGGGG Gколечка vM = ve + vr . Модуль ее, так как ve ⊥ vr ,vM =ve2 + vr2 = 6 t 1 + t 2 см⋅ с −1 .§3. Определение абсолютного ускорения точки. Ускорение КориолисаУскорение точки – первая производная по времени от вектора скорости. Поэтому абсолютное ускорение, используя формулу (10.3):GGGGG d vG d 2 rO1 d 2 x1 G d 2 y1 G d 2 z1 G⎛ dx1 di1 dy1 dj1 dz1 dk1 ⎞W==+ 2 i1 + 2 j1 + 2 k1 + 2 ⎜++⎟+dtdt dtdt dt ⎠dt 2dtdtdt⎝ dt dtGGGd 2i1d 2 j1d 2 k1+ x1 2 + y1 2 + z1 2 .(10.6)dtdtdt83AKF3.RUВоспользовавшись правилом остановки, можем найти относительноеи переносное ускорения точки.GGGGПоложив в (10.6) rO1 = const, i1 = const, j1 = const , k1 = const , получим относительное ускорение:G d 2 x1 G d 2 y1 G d 2 z1 G(10.7)Wr = 2 i1 + 2 j1 + 2 k1 .dtdtdtПри x1 = const, y1 = const, z1 = const получим переносное ускорениеGGGGG d 2 rO1d 2i1d 2 j1d 2 k1+ x1 2 + y1 2 + z1 2 .We =dt 2dtdtdtПоэтому из формулы (10.6) следует, что абсолютное ускорение состоит не из двух, а из трех ускоренийG GGGW = We + Wr + Wc .(10.8)GДополнительное ускорение Wc называется ускорением Кориолиса(по имени ученого, впервые обнаружившего это ускорение), оно равноGGGG⎛ dx1 di1 dy1 dj1 dz1 dk1 ⎞Wс = 2 ⎜++(10.9)⎟.dtdtdtdtdtdt⎝⎠Это дополнительное ускорение появилось из-за того, что переноснаяскорость зависит от относительного движения, от положения точки на среде, а относительная скорость изменяется за счет переносного движения.Проще всего определить ускорение Кориолиса в двух частных случаях.1.
Переносное движение – поступательное движение (система подвижных осей O1x1y1z1 перемещается поступательно).Так как подвижные оси при таком движении не поворачиваются, тоGGGорты i1 = const, j1 = const, k1 = const . И тогда по (10.9) ускорение КориоGлиса Wс = 0 , а абсолютное ускорение станет суммой лишь двух ускоренийGGGW = We + Wr .Это понятно, так как переносная скорость точки не будет зависеть ототносительного движения, а переносное движение не изменяет направление вектора относительной скорости.2.
Переносное движение – вращение вокруг неподвижной оси.Пусть подвижная система осей O1 x1 y1 z1 вращается вокругGнеподвижной оси ξ с угловой скоростью ωe (рис. 10.5).84AKF3.RUПредставим орты осей как радиусы-векторы точек, расположенных наих концах. Тогда производные от орт по времени можно рассматривать какскорости этих точек.Например, скорость точки А на концеGG Gdj1вектора j1 v A =. Но так как модуль ееdtv A = ωe a = ωe ⋅ j1 sin β , а вектор скоростиGGGv A направлен перпендикулярно ωe и j1 вGGGсторону вращения, то v A = ωe × j1 (см.9.1).GGdj1 G= ωe × j1 , аналогичноПоэтомуdtGGGGdi1 Gdk1 GРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
