Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Из пушки, установленной на высоте h, произвели выстрел под углом α к горизонту (рис. 13.3). Ядро вылетело из ствола орудиясо скоростью u. Определим уравнения движения ядра.97Чтобы правильно составить дифференциальные уравнения движения,надо решать подобные задачи по определенной схеме:а) назначить систему координат (количество осей, их направление иначало координат). Удачно выбранные оси упрощают решение;б) показать точку в промежуточном положении. При этом надо проследить за тем, чтобы координаты такого положения обязательно были положительными (см.
рис. 13.3);в) показать силы, действующие на точку в этом промежуточном положении (силы инерции не показывать!).GВ примере 13.2 – это только сила Р , вес ядра. Сопротивление воздухаучитывать не будем;г) составить дифференциальные уравнения по формулам (13.1):РPx = 0,y = − P . Отсюда получим два уравнения: x = 0 и y = − g ;ggд) решить дифференциальные уравнения.Полученные здесь уравнения – линейные уравнения второго порядка,в правой части – постоянные.
Решение этих уравнений элементарно.AKF3.RUx = C1 ,⎫⎬y = − gt + D1 ,⎭иx = C1t + C2 ,⎫⎪⎬1 2y = − gt + D1t + D2 .⎪⎭2Осталось найти постоянные интегрирования. Подставляем начальныеусловия (при t = 0 x = 0 , y = h, x = v x = u cos α , y = v y = u sin α ) в этичетыре уравнения: u cosα = C1, u sinα = D1, 0 = С2, h = D2.Подставляем в уравнения значения постоянных и записываем уравнения движения точки в окончательном видеx = ut cos α,⎫⎪⎬1 2y = − gt + ut sin α + h.⎪⎭2Имея эти уравнения, как известно из раздела кинематики, можно определить и траекторию движения ядра, и скорость, и ускорение, и положение ядра в любой момент времени.Как видно из этого примера, схема решения задач довольно проста.Сложности могут возникнуть только при решении дифференциальныхуравнений, которые могут оказаться непростыми.98AKF3.RU2. Определение движения точки естественным способомКоординатным способом обычно определяют движение точки, не ограниченное какими-либо условиями, связями.
Если на движение точки наложены ограничения на скорость или координаты, то определить такоедвижение координатным способом совсем непросто. Удобнее использовать естественный способ задания движения.Определим, например, движение точки по заданной неподвижной линии, по заданной траектории (рис. 13.4).На точку М, кроме заданных акGтивных сил Fi , действует реакция линии. Показываем составляющие реакGG G Gции R по естественным осям N , T , B.Составим основное уравнениеGG G G GидинамикиmW = ∑ Fi + N + T + Bспроектируем его на естественные осиmWn = ∑ Fin + N ,⎫⎪mWτ = ∑ Fiτ + T , ⎬mWB = ∑ Fib + B. ⎪⎭Рис. 13.4v2dvs , Wb = 0, то получим дифференциТак как Wn =, Wτ == dtρальные уравнения движенияv2m= ∑ Fin + N ,ρ(13.2)ms = ∑ Fi τ + T ,0 = ∑ Fib + B.GЗдесь сила T равна силе трения. Если линия, по которой движетсяточка, гладкая, то сила Т = 0 и тогда второе уравнение будет содержатьтолько одну неизвестную – координату s:ms = ∑ Fiτ .Решив это уравнение, получим закон движения точки s = s(t), а значит, при необходимости и скорость,G и ускорение.Первое и третье уравнеGния (13.2) позволят найти реакции N и B .Пример 13.3.
Лыжник спускается по цилиндрической поверхности радиусом r. Определим его движение, пренебрегая сопротивлениями движению (рис. 13.5).99AKF3.RUСхема решения задачи та же, что и при координатном способе (пример 13.2). Отличие лишь в выборе осей. Здесь оси N и Т движутся вместе слыжником. Так как траектория – плоскаялиния, то ось В, направленную по бинормали, показывать не нужно (проекции наось В действующих на лыжника сил будутравны нулю).Дифференциальные уравнения поформуле (13.2) получим такиеРP v2s = P cos ϕ;= N − P sin ϕ.
(13.3)Рис. 13.5gg rПервое уравнение получилось нелинейным: s = g cos ϕ . Так как s = rϕ, то его можно переписать так: −ϕgcos ϕ = 0 . Такое уравнение можно один раз проинтегрировать. Заrdϕ dϕdϕ 1 dϕ 2 =пишем ϕ⋅= ϕ=. Тогда в дифференциальном уравненииdt dϕdϕ 2 dϕgпеременные разделятся dϕ 2 = 2 cos ϕ ⋅ dϕ . Интегрирование дает решениеrgϕ 2 = 2 sin ϕ + C1. Так как при t = 0 ϕ = 0 и ϕ = ω0 = 0 , то С1 = 0 иrgϕ = 2 sin ϕ , а s = rϕ = 2 gr sin ϕ.rК сожалению, в элементарных функциях второй интеграл найти невозможно. Но и полученное решение позволяет сделать некоторые выводы. Можно найти скорость лыжника в любом положении как функцию угπла ϕ. Так, в нижнем положении при ϕ = , v = s = 2 gr . А из второго2P v2π=уравнения (13.3) при ϕ = можно определить давление N = P +2g r= P+P 2 gr= 3P . То есть давление на лыжника в нижнем положении равg rно его трехкратному весу.100AKF3.RU§3.
Относительное движение материальной точкиВ предыдущем параграфе показано было, как определяется движениеточки относительно неподвижной системы отсчета, абсолютное движение.Нередко приходится исследовать движение материальной точки относительно системы, которая сама движется и довольно сложным образом.GТочка М (рис. 13.6) под действием некоторых сил Fi совершает сложное движение. Абсолютное определяется координатами x, y, z, относительное – координатами x1, y1, z1.Составим основное уравнение динаGGмики для точки: mW = ∑ Fi , где абсолютG GGGное ускорение W = We + Wr + Wc . ПоэтомуGGGGуравнение будет m(We + Wr + Wc ) = ∑ FiGGGGили mWr = ∑ Fi − mWe − mWc .GGНо (− mWe ) = Feин – переносная силаGGинерции, (− mWc ) = Fсин – кориолисоваРис.
13.6сила инерции. Поэтому основное уравнение динамики для относительного движения запишем так:GG GGmWr = ∑ Fi + Feин + Fсин .(13.4)Спроектировав это векторное равенство на подвижные оси x1, y1, z1,имея в виду, что проекции вектора ускорения на оси – есть вторые производные от соответствующих координат по времени, получим дифференциальные уравнения относительного движенияmx1 = ∑ X i + X еин + X cин ,⎫⎪⎪ининmy1 = ∑ Yi + Yе + Yc , ⎬(13.5)⎪mz1 = ∑ Z i + Z еин + Z cин . ⎪⎭Сравнивая эти уравнения с дифференциальными уравнениями абсолютного движения (13.1), замечаем, что относительное движение материальной точки определяется такими же методами, что и абсолютное,надо лишь кроме обычных сил учесть переносную силу инерции и кориолисову силу инерции.Если переносное движение поступательное, равномерное и прямолиGнейное, то есть подвижная система инерциальная, то ускорения We = 0 и101AKF3.RUGGGWс = 0 .
Значит, Fеин = 0, Fсин = 0 и дифференциальные уравнения (13.5)будут точно совпадать с дифференциальными уравнениями абсолютногодвижения (13.1). Следовательно, движение точки во всех инерциальныхсистемах описывается аналогичными законами (отличаются только постоянными интегрирования, зависящими от начальных условий).Поэтому невозможно установить, наблюдая за движением точки,движется система поступательно, равномерно и прямолинейно или находится в покое.
Этот вывод впервые был сделан Г. Галилеем и называетсяего именем – принцип относительности Галилея.GПример 13.4. Вагон движется с постоянным ускорением W . Определим траекторию движения предмета, упавшего с полки высотой h, которуюувидит наблюдатель, пассажир, сидящий в вагоне (рис. 13.7).Порядок решения задачи тот же, чтои при определении абсолютного движения. Только оси надо провести по вагонуGи учесть кроме веса предмета Р переносPную силу инерции Fеин = m ⋅ We = WgG(кориолисова сила инерции Fсин = 0 , переносное движение поступательное).Дифференциальные уравнения относительного движения получаются такими:P⎫x1 = Fеин ,⎪x1 = W , ⎫g⎪или⎬⎬yg=−P.⎭1y1 = − P, ⎪⎪⎭gРис.
13.7Решение этих уравнений:1x1 = Wt 2 + C1t + C2 ,21y1 = − gt + D1, y1 = − gt 2 + D1t + D2 .2Используя начальные условия (при t = 0 x1 = 0, y1 = h, x1 = 0, y1 = 0 ,x1 = Wt + C1,так как vr = 0 ), найдем постоянные интегрирования: С1 = С2 = D1 = 0,102AKF3.RU11D2 = h. Поэтому уравнения движения x1 = Wt 2 , y1 = h − gt 2 . Траекто22gрию движения получим, исключив параметр t: y1 = h − x1 . Это уравнеWние прямой (см. рис. 13.7).
Предмет упадет на пол вагона на расстоянииWот края полки (при y1 = 0 координата x1 = s ).s=hgЕсли вагон будет двигаться равномерно (W = 0), то s = 0. Наблюдательувидит траекторию – вертикальную прямую, такую же, как и при неподвижном вагоне.Пример 13.5. Внутри трубки, вращающейся с постоянной угловойскоростью ω = const вокруг вертикальной оси, находится шарик М, привязанный нитью длиной а к оси вращения (рис. 13.8). Определим движениешарика в трубке после того, как нить оборвется.
Сопротивление движениюучитывать не будем.Траектория движения шарика втрубке – прямая. Поэтому для определения этого движения достаточноcодной координаты х1. Начало координат, точка О, – на оси вращения.В промежуточном положении наGcшарик действуют силы: вес Р , двесоставляющиереакциитрубкиРис. 13.8GGN1 и N 2 . Добавляем переносную сиPPPWe = Wen = x1ω2 , кориолисову силу инерцииgggPPPFсин = Wc = ⋅ 2ωe vr sin 900 = 2 ω x1 и составляем дифференциальноеgggPx1 = Fеин . Или после подстановки значения переуравнение движенияgлу инерции Fеин =носной силы инерции и преобразований x1 − ω2 x1 = 0.Решение такого дифференциального уравнения, как известно, имеет()вид: x1 = C1eω t + C2e − ωt и x1 = ω C1e ω t − C2 e − ω t . Так как при t = 0 x1 = a103AKF3.RUи vr = x1 = 0, то С1 +С2 = а, С1 – С2 = 0.
Значит C1 = C 2 =()aи уравнение21движения станет таким: x1 = a eωt + e − ωt = a ⋅ chω t.2Относительная скорость шарика vr = x1 = aω ⋅ sh ω t . А так как222ch ωt − sh ωt = 1 , то vr = aω ch ωt − 1 = aωx122− 1 = ω x12 − a 2 . Можноaтеперь определить относительную скорость шарика в любом положении.Так, шарик вылетит из трубки длиной l со скоростью vr = ω l 2 − a 2 .XIV. Материальная система§1. Основные определения и характеристикиМатериальной системой будем называть совокупность материальныхточек, связанных между собой определенным образом (стержнями, нитями, винтами, пружинами и т.п., в том числе и силами взаимодействия).Абсолютно твердое тело также является материальной системой, укоторой точек бесконечное множество и связаны они между собой так, чторасстояния между ними не изменяются, все время остаются постоянными.Центром масс материальной системы называется геометрическая точGка С, положение которой определяется радиусом-вектором rc таким, чтоGG ∑ mi ri,(14.1)rc =MGгде ri – радиусы-векторы отдельных точек с массами mi ; M = ∑ mi – масса всей системы.Координаты центра масс∑ mi xi∑ mi yi∑ mi zi(14.2); yc =; zc =.xc =MMMУмножив числитель и знаменатель в (14.1) и (14.2) на g (ускорениесвободного падения) убедимся, что вблизи поверхности Земли (g = const)центр масс совпадает с центром тяжести материальной системы, так какmi g = Pi – вес точек системы, сила тяжести их.104AKF3.RUПри исследовании движения материальной системы силы, действующие на ее точки, иногда приходится делить на классы: или на внешние и внутренние, или на активные (задаваемые) и реакции связей.GВнешними силами (обозначать будем F (e) ) являются силы, действующие на точки системы со стороны точек, принадлежащих другим системам.GВнутренние силы ( F (i ) ) – силы взаимодействия между точками системы.
Эти силы попарно равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Поэтому их главный вектор и главныйn GGмомент относительно любой точки равны нулю, то есть: R' = ∑ F j(i ) = 0j =1GGn Gи M O = ∑ M O F j(i ) = 0.j =1( )Конечно, при этом внутренние силы не всегда уравновешиваются: поддействием этих сил отдельные точки системы могут перемещаться относительно друг друга.Реакции связей или просто – реакции, это силы, которые ограничивают движение точек системы (их координаты, скорость и др.).
В статике этобыли силы, заменяющие связи. В динамике для них вводится более общееопределение.Активными или задаваемыми силами называются все остальные силы,все кроме реакций.Необходимость этой классификации сил выяснится в следующихглавах.§2. Моменты инерции телИнерционные свойства твердого тела характеризуются не только егомассой М, определяющей инерционность при поступательном движении,но и моментом инерции, определяющим инерционность вращательногодвижения тела.Моментом инерции тела относительно оси называется сумма произведений массы каждой точки на квадрат расстояния от точки до осиJ z = ∑ m i ri2 .(14.3)105AKF3.RUРис. 14.1Заметим сразу, что момент инерции тела – этогеометрическая характеристика тела, не зависящаяот его движения (рис. 14.1).Для однородных тел простой симметричнойформы момент инерции можно найти в справочниках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
