Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Но первая суммаравна нулю, так как по теореме Вариньонаона равна моменту равнодействующей силинF ie , которая приложена к центру масс,Рис. 16.3потому что переносное движение тела приплоскопараллельном движении – поступательное.Вторая сумма также равна нулю, так как линии действия этихинсил F in пересекают ось С. ПоэтомуинτM cин = ∑ M c ( F iτ ) = −∑ Fiинτ ⋅ ri = −∑ miWic ⋅ ri == − ∑ mi ⋅ ri ε ⋅ ri = −ε ∑ mi ri2 = −ε ⋅ J c .Итак, главный момент сил инерции точек тела при плоскопараллельном движении относительно центральной оси С, перпендикулярной плос126AKF3.RUкости движения, равен произведению момента инерции относительно этойоси на модуль углового ускоренияM cин = J cε .Направляется этот момент в сторону, противоположную направлению углового ускорения ε .При желании можно найти равнодействующую сил инерции.
ОнаGбудет равна главному вектору Rин = R 'ин = − M W c , параллельна ему, а ли-ния действия ее будет находиться на расстоянии h =M синR ' инот центра масс,отложенном перпендикулярно R 'ин в сторону, определяемую направлением момента M син (см. рис.16.3).Принцип Даламбера удобно использовать при решении задач, в которых требуется определить неизвестные силы и иногда ускорение.Пример 16.1. Шар весом Р скатывается без скольжения по наклонной плоскости.
Определим реакции плоскости и ускорение центра масс С.Показываемвнешниесилы,действующие на шар: вес P , реакции N иF тр (трение качения учитывать не будем).Добавляем силы инерции: главный векторR' ин , приложенный к центру масс, иглавныймоментсилинерцииотносительно центральной оси (рис.16.4).Величина ихPR 'ин = MWC = WC ;gРис. 16.42 P 2 WC 2 PM cин = J c ε =r=rWC .r5g5gСоставляем уравнения равновесия:∑ M icυ = 0 ; R 'ин ⋅ r − Pr ⋅ sin α + M cин = 0 ;∑ M ic = 0 ; − Fтр ⋅ r + M cин = 0 ;∑ Yi= 0;N − P cos α = 0 .127AKF3.RUИз первого уравнения находим ускорение центра масс. Так какP2P5WC r − P ⋅ r ⋅ sinα +WC r = 0 , то WC = g ⋅ sinα .
Из второго уравнеg5g72ния – силу трения Fтр = P ⋅ sin α ; из третьего – нормальную реакцию7N = P cos α..Так как при движении без скольжения сила трения Fтр ≤ fN , то шарбудетскатыватьсябезскольжения, если выполняется условие22P sin α ≤ fP или f ≥ tgα .77Пример 16.2. Однородный стерженьвесом Р и длиной l качается как маятник ввертикальной плоскости, вращаясь вокругоси О (рис.16.5). Определим движениестержня и реакции оси.На стержень действуют сила P иGGреакции оси X o и Yо . Добавляем силыинерции. Приводим их к точке О на осивращения. Главный вектор сил инерции,Рис. 16.5состоит из двух векторов, равным по величине:Pl 2 Pl 2PlPlnτ .Rин= MWCn =ω =ϕ ;Rин= MWCτ =ε=ϕg2g2g2g2Главный момент сил инерции относительно оси вращения О1P 2 1P 2 .М оин = J оε =l ε=l ϕ3g3gНаправляем его в сторону, противоположную предполагаемому положительному направлению углового ускорения ε.Составляем уравнение равновесия, уравнение моментов сил относительно оси O,lΣM io = 0; − M оин − P sin ϕ = 0 .2Подставив значение M оин , получим дифференциальное уравнение вращения2 g +ϕsin ϕ = 0 .(16.2)3 l128AKF3.RUЭто нелинейное дифференциальное уравнение.
Решение его в элементарных функциях не существует. Но первый интеграл можно найти.dϕ dϕ ϕ dϕ =, то в уравнении (16.2) переменные разделяТак как ϕ=dt dϕ dϕ12g2gcos ϕ + C1 .sin ϕ⋅ d ϕ . Проинтегрировав, получим ϕ 2 =3l23lЕсли движение началось из горизонтального положения (при t = 0ются: ϕ d ϕ = −ϕ=4gπ, ϕ = 0 ), то постоянная C1 = 0 . И тогда ϕ =cos ϕ .23 lСоставив уравнения проекций сил на оси х и у,∑ Xi∑ Yiτn= 0; X о − Rинcos ϕ + Rинsin ϕ = 0,= 0;τnYо − P − Rинsin ϕ − Rинcos ϕ = 0,найдем реакции:τnX о = Rинcosφ − Rинsinφ ==PlPl 2φcosφ−φ sinφ =g2g21P2g4g1l ⋅( −sinφ ⋅ cosφ −cosφ ⋅sinφ) = − P ⋅ sin2φ;2g3l3l2τnYо = P + Rинsinφ + Rинcosφ = P +=P+PlPl 2φsinφ+φ cosφ =g2g2Pl2g 24g1⋅(−sin φ +cos 2 φ) = P (2 + 3cos 2 φ) .g23l3l3π2X o = 0 и Yo = Р.325А в нижнем положении при ϕ = 0 X o = 0 и Yo = Р.3Заметим, что при решении этой задачи вместо главного вектора иглавного момента сил инерции можно было показать только равнодействующую сил инерции, равную, конечно, главному вектору и приложеннуюТак, например, в начале движения при ϕ =(см.
выражение (16.1)) к точке А на расстоянии OA =2JоM l2== l.M ⋅ OC 3M ⋅ 0,5l 3129AKF3.RUXVII. Принцип возможных перемещений§1. Возможные перемещения. Классификация связейРассмотрим возможные перемещения точки М на стержне, прикрепленном к неподвижной поверхности шарниром О (рис.17.1,а). Конечно,стержень позволяет точке двигаться по сферической поверхности в любомнаправлении и на любое расстояние. Все эти перемещения возможны.Возможно, кстати, перемещение и вниз. Но такое перемещение не стоитназывать возможным, потому что нарушается связь, стержень.Кроме того, возможным перемещением будем называть только малое перемещение, настолько малую часть траектории, что ее можно заменить прямой, отрезком касательной.Теперь можно сформулировать определение возможного перемещения.Возможным перемещением δs точки материальной системы будемназывать ее бесконечно малое перемещение, допускаемое связями этойсистемы и без нарушения этих связей.К этому определению следует добавить несколько замечаний.Первое.
Само название таких перемещений показывает, что онитолько возможны, но не обязательны; что этих перемещений из данногоположения системы может быть много; что среди них только одно естьдействительное*; что эти перемещения происходят не под действием сил,приложенных к системе, а, так сказать, по нашему желанию.Второе.
За счет малости таких перемещений направляются они покасательной к траектории и имеют, таким образом, направление, совпадающее с вектором скорости. Эту скорость в данном случае также называют возможной скоростью, а не действительной.Третье. При наличии связей между точками материальной системывозможные перемещения этих точек связаны между собой определеннымизависимостями, уравнениями связей.На рис. 17.1 дано несколько примеров возможных перемещений точек некоторых материальных систем. Из этих примеров следует, что возможным перемещением всего тела, вращающегося вокруг оси, являетсямалый угол поворота δφ. И возможные перемещения точек его можно определить с помощью этого угла.
Так, например, δs M = OM ⋅ δϕ ;δs A = OA ⋅ δϕ ; δs B = OB ⋅ δϕ (рис. 17.1,а и 17.1,б)._____________*Если связи – не стационарные, изменяются с течением времени, то действительное перемещение может не быть одним из возможных.130Так как направления возможных перемещений имеют направленияскоростей, то перемещения точек звена АВ (рис.17.1, в) определяются спомощью мгновенного центра скоростей Cv этого звена. А возможное перемещение всего тела при плоскопараллельном движении есть поворот намалый угол δφ1 вокруг оси, проходящей через мгновенный центрскоростей.
Этот угол можно определить.б)AKF3.RUа)в)г)Рис. 17.1Так какползуна Вδs AOA=δϕ ,ACv ACvа перемещениеOAδϕ и точки СACvδsC = CCv δϕ1 =δs A = OA ⋅ δϕ , то δφ1=δsB = BCv ⋅ δϕ1 = BCvOAδϕ . То есть перемещения всех точек этого механизма можноACvвыразить через одно возможное перемещение, перемещение звена ОА через угол δφ.Аналогично поворотом на малый угол δφ вокруг мгновенного центраскоростей Cv определяются возможные перемещения точек колеса, которое может катиться без скольжения по неподвижной прямой (рис.17.2, г).= CCv131AKF3.RUРаботу сил, приложенных к материальной системе, на возможном перемещении будем называть возможной работой.Если рассмотреть различные типы материальных систем, можно обнаружить, что элементарная работа реакций многих связей на возможномперемещении окажется равной нулю.
Такие связи, сумма возможных работреакций которых на любом возможном перемещении равна нулю, называются идеальными связями. К таким связям относятся, например, все связибез трения. Кстати, об этом сказано было еще в XV, §4.Связи, которые не изменяются со временем, называются стационарными.Есть связи, которые называют или удерживающими, или односторонними в зависимости от того, препятствуют они перемещению точки вовзаимно противоположных направлениях или только в одном.У некоторых материальных систем встречаются и довольно сложныесвязи, ограничивающие или только положение системы, координаты ее точек, или еще и скорость их, производные от координат по времени.
Первыеназывают голономными, геометрическими, связями; вторые – неголономными, кинематическими, неинтегрируемыми. Мы в дальнейшем будемрассматривать системы только с голономными связями.§2. Принцип возможных перемещений при равновесии материальнойсистемы. Общее уравнение статикиПусть материальная система находится в равновесии.
Силы, действующие на каждую ее точку,Fi–уравновешиваются.Еслиравнодействующая всех активных сил,приложенных к i-й точке, а R i –реакция связей этой точки, то (рис.17.2)Fi + Ri = 0 .Дадим системе какое-нибудь возможное перемещение. Все точки ееРис. 17.2получат перемещения δs1, δs2, δs3,…, sn.Затем вычислим работу всех сил на этих перемещениях. Так как силы, приложенные к каждой точке, уравновешиваются и132F i = − R i , тоAKF3.RUсумма работ этих сил на перемещении δsi будет равна нулю:Fi δsi cos αi − Ri δsi cos α i = 0 .
Значит, и сумма работ всех сил, приложенныхко всем точкам, будет равна нулюnni =1i =1∑ Fi δsi cos αi + ∑ Ri δsi cos αi = 0 .Если связи идеальные, то вторая сумма всегда равна нулю. Значит,∑ Fi δsi cos α i = 0.(17.1)Этот результат, уравнение работ, называют общим уравнением статики.При равновесии материальной системы с идеальными и стационарными связями сумма работ всех активных, задаваемых сил на всяком возможном перемещении системы из положения равновесия равна нулю.Конечно, если у системы есть неидеальные связи, например с трением, или упругие, вроде пружины, то в уравнение работ надо добавить возможную работу реакций этих связей.Принцип возможных перемещений можно записать в другой форме.Если возможные перемещения точек определить с помощью возможных скоростей δsi = vi δt , где время δ t – произвольная бесконечно малая величина, то уравнение работ (17.1) запишется так: ∑ Fi vi δt cos αi = 0 ,а, поделив его на δt, получим(17.2)∑ Fi vi cos αi = 0 ,где αi – углы между направлениями сил и направлениями векторов возможных скоростей точек приложения сил.Равенство (17.2) можно назвать принципом возможных скоростей,уравнением мощностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
