Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Так какπd 2πd 2l=vt и плотность ее ρ, то K Ш = ρVIII v =объем жидкости VIII =44153AKF3.RUπd 2 2πd 2 2=ρv t. Тогда по (**) получим уравнение ρv t = Nt , из которого441N = πd 2ρv 2 .Давление на опору равно N, но будет направлено, конеч4но, в противоположную сторону.§3. Теорема об изменении момента количества движения1. Момент количества движенияТак как количество движения – вектор, имеющий определенную линию действия (и даже определенную точку приложения), то можно находить момент этого вектора относительно точки и оси так же, как определяли соответствующие моменты силы.Сначала о моменте количества движенияматериальной точки.GЕе момент количества движения k Gотносительно точки О по величине равен lО = kh, где h – плечо вектора k с соответствующим знаком (+)или (–).
Как вектор он определяетсяпроизведением (рис. 19.6)G векторнымG Glo = r × k .Момент количества движения l z относительно оси находится так жекак находили ранее момент силы. И зависимостьмежду моментами относительно точки и осианалогичнаl z = lO cos α .То есть момент количества движения материальной точки относительно оси равен проекциивектора момента количества движения относительно какой-либо точки О, расположенной наоси, на эту ось.Рис. 19.6Для движущейся материальной системывводится понятие главного момента количествдвижения относительно центра О как векторной суммы моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра ОGLO = ∑ lOi .(19.11)Вводится и понятие главного момента количеств движения относительно оси как алгебраической суммы моментов количеств движенияточек системы относительно этой оси zLz = ∑ lzi .(19.12)154AKF3.RUЗависимость между ними аналогична зависимости между соответствующими главными моментами силLz = LO cos γ.(19.13)Главный момент количеств движенияотносительно оси равен проекции вектораглавного момента относительно точки, расположенной на оси, на эту ось.
Для твердого тела как материальной системы при некоторых движениях главный моментотносительно оси определяется довольнопросто.Так, если тело вращается вокруг неподвижной оси z (рис. 19.7), главный момент количеств движения относительно осивращенияРис. 19.7Lz = ∑ l zi = ∑ ki hi = ∑ mi vi hi = ∑ mi hi ω ⋅ hi = ω∑ mi hi2 = ω ⋅ J z . То есть равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на(19.14)угловую скорость Lz = J z ωи направлен он по направлению вращения тела.Если однородное тело имеет плоскость симметрии, перпендикулярную осивращения, то вектор количества движениятела K расположен в этой плоскости нарасстоянии h от оси, равномLJ ωJ ωJh = OA = z = z = z = z .
(19.14a)K M vc Maω MaРис. 19.8На рис. 19.8 показано сечение тела этой плоскостью симметрии и положение вектора количества движения K . Заметим, что этот вектор приложен к той же точке А, к которой приложена равнодействующая силинерции точек тела R ин (см. рис. 16.1).Можно найти главный момент количеств движения тела и при плоскопараллельном движении относительно центральной оси С (рис.
19.9).G GGСкорость произвольно выбранной точки M i vi = vc + vMC , а соответствующие скоростям модули векторов количества движения равны kei = mi vc155AKF3.RUи k ri = mi vMC = mi ri ω. Главный момент количеств движения точек телаотносительно оси С, перпендикулярной плоскости движения:LC = ∑ l ei + ∑ l ri .Но первая сумма равна нулю, так как по теореме Вариньона эта сумма моментов векторовРис. 19.9K ei равна моменту их «равнодействующей», которая приложена к центру масс С, потому что переносное движение при плоскопаралельном движении поступательное (XIX, §2). Поэтомуглавный момент количеств движения будет равенLC = ∑ lri = ∑ kri ⋅ ri = ∑ mi ri ωi ⋅ ri = ω∑ mi ri2 = ω ⋅ Ј С .Значит, главный момент количеств движения точек тела при плоскопараллельном движении относительно центральной оси С, перпендикулярной плоскости движения, равен произведению момента инерции телаотносительно этой оси на угловую скоростьLc = J c ω(19.15)и имеет направление, совпадающее с направлением вращения, с направлением угловой скорости.Аналогичный результат получается и для главного момента количеств движения относительно оси Cv , проходящей через мгновенныйцентр скоростей.
Действительно, скорость точек тела vi = ai ω (рис. 19.10)и главный моментLCv = ∑ l Cv i = ∑ ki ai = ∑ mi vi ai = ∑ mi ai ω ⋅ ai = ω∑ mi ai2 = ω ⋅ J Cv .Итак,LCv = J Cv ω ,(19.16)где J Cv – момент инерции тела относительно осиРис. 19.10156Cv , проходящей через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения.При плоскопараллельном движении такжеможно найти положение вектора количествадвижения K (см. рис. 19.10).
Он будет наGправлен параллельно скорости центра масс vc инаходиться на расстояниях от центра масс CAKF3.RULJω J ω JAC = c = c = c = cK M vc Maω Maи от мгновенного центраскоростейCvLCv JCvω JCvω JCv.===K Mvc M aω MaОчень похоже на результат, полученный при вращении тела вокругнеподвижной оси. Но разница в том, что здесь положение точки А меняется, так как меняется положение мгновенного центра скоростей Cυ .ACv =2. Теорема о моменте количества движенияРассмотрим движение материальной системы под действием внеш(e)(i )них F j и внутренних F j сил ( j = 1,2,3,…).Определим момент количеств движения каждойG точки этойсистемыG Gотносительно некоторого неподвижного центра О lOj = r j × k j и найдемего производную по времениGGGG G dk jdr j G G dk j Gd Gd G G.= v j × k j + rj ×lOj = (r j × k j ) =× k j + rj ×dtdtdtdtdtGGПервый член равен нулю, так как векторы v j и k j совпадают по наGdk j(e)(i )= F j + F j , то второй членправлению.
Так как по (19.7)dtHGGG GG GG dk j G= r j × F j(e) + F j(i ) = M O F j(e) + M O F j(i ) .rj ×dtGG(e)(i )d GПоэтому lOj = M O ⎛⎜ F j ⎞⎟ + M O ⎛⎜ F j ⎞⎟. Сложим правые и левые часdt⎝⎠⎝⎠ти этих равенств, составленных для всех точек системы:G ⎛ (e) ⎞G ⎛ (i ) ⎞dG∑ lOj = ∑ M O ⎜ F j ⎟ + ∑ M O ⎜ F j ⎟.dt⎠⎠⎝⎝()( )( )Вторая сумма в правой части равна нулю, так как главный моментвнутренних сил относительно любой точки равен нулю.
Оставшуюся частьравенства перепишем так:G ⎛ (e) ⎞d G∑ lOj = ∑ M O ⎜ F j ⎟dt⎠⎝илиGd GLO = M O(e) .dt(19.17)Производная по времени главного момента количеств движенияматериальной системы относительно неподвижной точки О равна главному моменту внешних сил, приложенных к системе, относительно тойже точки О.157AKF3.RUОказывается, точно так же формулируется эта теорема и относительно центра масс произвольно движущейся материальной системы. Действительно, рассмотрим движение системы как сумму двух движений: переносного – поступательного движения системы осей вместе с центром масси относительного – относительно этих осей.В разд. XIII, §3 мы установили, что движение точек, а значит, и всейматериальной системы относительно движущейся системы координатныхосей можно определять так же, как относительно неподвижных, еслиучесть переносные и кориолисовы силы инерции.Значит, таким способом можно записать и теорему о моменте количества движения относительно движущегося центра масс СGGG ⎛ ин ⎞G ⎛ ин ⎞dLC= M C(e) + ∑ M C ⎜ F ei ⎟ + ∑ M C ⎜ F кор.i ⎟.dt⎠⎠⎝⎝Но сумма моментов кориолисовых сил инерции равна нулю, так какпри переносном поступательном движении эти силы отсутствуют.
И первая сумма, сумма моментов переносных сил инерции, тоже равна нулю.Потому что по теореме Вариньона она равна моменту равнодействующейинR e этих сил, которая при переносном поступательном движении приложена к центру масс (см. XVI, §1).Поэтому теорема об изменении количества движения относительноцентра масс С движущейся системы записывается так же, как относительно неподвижной точкиGd LC= M C(e) .(19.18)dtСпроектировав векторные уравнения (19.17) и (19.18) на какуюнибудь ось, проходящую через точку О или точку С, получим уравнения, спомощью которых и решаются задачи динамики:dL z( e)=Mz ,(19.19)dtdLc= M c(e) ,(19.20)dtгде Lz и Lс – главные моменты количеств движения системы относительно(e)неподвижной оси z и оси С, смотри выражение (19.13), а M zглавные моменты внешних сил относительно этих осей.158и M c(e) –AKF3.RUК теореме о моменте количества движения следует сделать оченьважные и полезные замечания.
Если внешние силы на систему не действуют или действуют, но сумма моментов их относительно неподвижнойточки О или центра масс С равна нулю, то по (19.17) и (19.18) LO = constиLC = const. То есть главные моментыколичеств движения относительно этих точеквсе время остаются постоянными.То же самое можно сказать и о моментахотносительно осей: если главный моментвнешних сил относительно какой-нибудь оси z,проходящей через неподвижную точку О, илиотносительно какой-нибудь оси С, проходящейчерез центр масс системы, равен нулю, тоглавные моменты количеств движения системыотносительно этих осей остаются все времяпостоянными, Lz = const и Lc = const.Рис. 19.11Например, на фигуриста, вращающегосяна льду (рис.
19.11) вокруг оси z, действуютвнешние силы – вес и реакция гладкого льда.Моменты их относительно оси z равны нулю. Поэтому Lz = const.Но Lz = J z ω , значит, J z ω = const. Отсюда следует, что если уменьшитсямомент инерции Jz (фигурист прижмет руки к туловищу), увеличится скорость вращения.Еще пример.
Вертолет, неподвижно висящий в воздухе (рис. 19.12). Лопасти винтавращаются с угловой скоростью ωв . Вес вертолета P уравновешивается подъемной силойF . Момент их относительно вертикальнойоси С равен нулю. Поэтому Lc = const.Если изменится скорость вращения винтаω в , изменится и момент количества движеРис. 19.12ния винта Lв = J в ωв . А чтобы общий моментколичеств движения вертолета остался прежним, необходимо вращатькорпус вертолета с угловой скоростью ωк так, чтобы обязательно выполLс = J в ωв + J к ωк = const .нилось условие159Значит, если винт увеличит угловую скорость, корпус начнет вращаться, но в противоположном направлении; уменьшит – корпус начнетвращаться в том же направлении.
Чтобы не произошло этого нежелательного явления, у некоторых типов вертолетов предусмотрен еще один винтна хвосте, вращающийся в вертикальной плоскости и создающий горизонтальную внешнюю силу. Эта сила и будет ликвидировать вращение корпусаизменением момента Lс .Несколько примеров на решение задач с помощью этой теоремы.Пример 19.4. Однородный сплошной цилиндр вращается вокруг горизонтальной оси О под действием намотанной на него нити с грузом наконце (рис. 19.13). Вес цилиндра – Р1, груза – Р2.Радиус цилиндра – r.d Loe= M o( ) , так какПо теореме (19.19)dt1 P1 2L o = L ц + L гр = − J o ω − Kr = −r ω−2 gAKF3.RU−P2P + 2 P2 2vr = − 1r ω , где v = r ω , то, взяв произ2ggводную по времени и приравняв ее к M o( ) = −P2 r ,eполучим: −P1 + 2 P2 2 dωr= − P2 r . Отсюда угловоеdt2gускорение ε =Рис.
19.13W = rε =g2 P2, а ускорение грузаP1 + 2 P2 r2 P2g .P1 + 2 P2Пример 19.5. Внутри трубки, вращающейся вокруг вертикальнойоси (рис. 19.14), движется шарик М. Вначале, когда шарик находился нарасстоянии a от оси, угловая скорость трубки была ω0. Определим угловуюскорость в зависимости от положения шарика, от расстояния s. Вес шарика –Р1; трубки – Р2, длина ее – l.Главный момент внешних сил (веса, реакций подшипников) относительно оси вращения равен нулю.
Значит, Lz = const или L(z1) = L(z2) .160AKF3.RUВ первом положении, в начальном,(1)L z = L трубки + Lшарика = J z ω 0 + K e a,где момент инерции трубки относительно оси вращения как стержня1 P2 2Jz =l .3 gКоличество движения шарика в переносном движенииKe =P1Pve = 1 aω0 .ggПоэтому в первом положенииLz(1) ==1 P2 2P1l ω0 + a 2 ω0 =3 gg1( P2l 2 + 3P1a 2 ) ω0 .3gРис. 19.14Во втором положении, на расстоянии s,P11 P2 2l ω + 1 s 2ω =( P2 l 2 + 3P1 s 2 )ω.g3g3 g(Момент вектора количества движения шарика в относительном движенииGK r относительно оси вращения равен нулю).( 2)Lz = J z ω + K e s =(1)( 2)Приравнивая L z и L z , получим уравнение11( P2 l 2 + 3P1a 2 )ω 0 =( P2 l 2 + 3P1 s 2 )ω,3g3gиз которого находимω=P2 l 2 + 3P1a 2P2 l 2 + 3P1 s 2ω0 .Скорость вращения трубки будет уменьшаться с увеличением расстояния s.161AKF3.RU§4. Дифференциальные уравнения вращения твердого телаТеорема об изменении момента количества движения очень удобна приисследовании вращения твердого тела.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
