Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Решение дифференциального уравнения ищем в видеq = e − nt (C1 cos λt + C2 sin λt )(20.11)илиq = ae− nt sin(λt + β) ,(20.12)где постоянные C1 и C 2 или a и β находятся по начальным условиям.Сравнивая решение (20.12) с (20.2), делаем вывод, что это будут колебания, но не гармонические, так как амплитуда колебаний, равная ae −nt ,непостоянная, уменьшается с течением времени. Поэтому такие колебанияи называются затухающими.175AKF3.RUГрафик таких колебаний дан на рис.
20.5.Рис. 20.5Следует заметить, что колебательный процесс не будет периодическим. Но, так как система проходит через положение равновесия через2π2π=равное время, все-таки вводят понятие периода T =.22λk −nЕсли сравнить этот период колебаний с периодом колебаний системы безсопротивления (20.3), увидим, что сопротивление увеличивает период колебаний и уменьшает их частоту.Интересна закономерность изменения амплитуды.
Найдем отношение соседних амплитуд (через полпериода T )2ai=ai +1ae− nt− n(t +T )= enT2= const .2aeТо есть амплитуды уменьшаются по закону геометрической прогрессии,знаменателем которой является величина e nT 2 . Натуральный логарифм1ее, равный nT , называется логарифмическим декрементом колебаний.2Конечно, через период амплитуда уменьшится в e nT раз, а через mпериодов – в e mnT раз.176AKF3.RUб) Случай большого сопротивления (n>k).Корни характеристического уравнения получатся вещественными:z1, 2 = − n ± n 2 − k 2 .
В этом случае, как известно из курса математики,решение дифференциального уравнения (20.10)2222 ⎞⎛q = e − nt ⎜ C1e n − k ⋅t + C 2 e − n − k ⋅t ⎟.⎝⎠Решение явно неколебательное, непериодическое.Графики таких движений показаны на рис. 20.6. Вид движения зависит от начальных условий и величиныкоэффициента сопротивления n.в) Случай равного сопротивления (n = k).КорнихарактеристическогоуравненияполучаютсяравнымиРис. 20.6z1, 2 = −n . Поэтому решение диффе-(20.13)ренциального уравненияq = e − nt (C1 + C2t ) .(20.14)Движение и в этом случае не будет колебательным.§4. Вынужденные колебания системыЕсли сила, которая вывела систему из положения равновесия, продолжает действовать, то такое колебание не будет свободным, будет вынужденным.
И эта сила называется возмущающей силой.Рассмотрим колебательное движение под действием обобщеннойвозмущающей силы, изменяющейся по гармоническому законуQ = Q0 sin( pt + γ ) , где Q0 – максимальная величина возмущающей силы;р – частота изменения силы; γ – начальная фаза изменения силы.Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний получитсятаким:(20.15)q + k 2q = Q0 sin( pt + γ ) .Решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения. Общее решение уже было получено в §2177AKF3.RU(см.
формулу (20.7) или (20.8)). Частное решение ищем в видеqч.н = A sin( pt + γ ) . Подставив частное решение в дифференциальное уравнение (20.15), получимОтсюда− Ap 2 sin( pt + γ ) + k 2 A sin( pt + γ ) = Q0 sin( pt + γ ) .A=Q02k −p2(20.16).Значит, полное решение уравнения (20.15)q = C1 cos kt + C2 sin kt + A sin( pt + γ ) .(20.17)Так как общее и частное решения совершаются с разными частотами,то вынужденные колебания не будут гармоническими. Но, как нам уже известно, общее решение определяет свободные колебания, которые с течением времени довольно быстро затухают. Поэтому интерес представляюттолько установившиеся колебанияq=Q0sin( pt + γ ) .k 2 − p2(20.18)Отсюда следует, что установившиеся вынужденные колебания будутгармоническими с частотой р, равной частоте возмущающей силы, и чтоони не зависят от начальных условий.
И самое интересное – амплитуда колебаний А зависит от частоты р возмущающей силы. График этой зависимости дан на рис. 20.7.Первое, что надо отметить, при p =k (частота возмущающей силы равна частоте свободных колебаний) амплитудаувеличивается до бесконечности. Это явление называется резонансом. Как известно из курса высшей математики, приp = k решение (20.17) не будет удовлетворять уравнению (20.15).
Частное решениенадо искать в другом видеq = Bt cos ( pt + γ ) .Рис.20.7Подставив его в уравнение (20.15),получим:− Bpsin(pt + γ) − Bpsin(pt + γ) − Btp2 cos(pt + γ) + Btp2 cos( pt + γ) =Q0 sin( pt + γ).178AKF3.RUQ0и частное решение, определяющее вынужденные коле2pбания при резонансе, получится таким:Отсюда B = −q=−Q0t cos ( pt + γ ) .2p(20.19)Видим, что амплитуда колебаний беспредельно равномерно увеличивается (рис. 20.8). Амплитуда не сразу становится бесконечно большой.И даже малая возмущающая сила можетраскачать систему до больших амплитуди вызвать разрушение конструкции.Интересен еще один случай, при котором частота р возмущающей силыблизка к частоте свободных колебаний,p ≈ k, но не равна ей.Воспользуемся решением (20.17),положив для простоты γ = 0. Пусть в начале движения координата и скоростьравнялись нулю (при t = 0 q = 0 и q = 0 ).Подставим эти начальные условия в уравнения q = C1 cos kt + C 2 sin kt + A sin pt ,Рис.
20.8q = −C1 k sin kt + C 2 k cos kt + Ap cos pt.Получим два уравнения 0 = C1 и 0 = C 2 k + Ap, из которых находимC1 = 0, C 2 = − AТак какp⎛p⎞. Тогда уравнение колебаний q = − A⎜ sin kt − sin pt ⎟.k⎝k⎠p≈ 1 и (k 2 − p 2 ) = (k − p )(k + p) ≈ 2 p (k − p ), то по форkмуле (20.16)A=Q0k 2 − p2≅Q0.2 p(k − p)k−pk−pk+pt ⋅ sint ≈ 2 cos pt ⋅ sint.222Уравнение движения получится таким:Кроме того,(sin kt − sin pt ) = 2 cosq=−Q0k−psint ⋅ cos pt ⋅p(k − p)2(20.20)179AKF3.RUРассматривая функцию, стоящую перед cos pt , как амплитуду колебаний, замечаем, что она изменяется по гармоническому закону с перио4πQ0от нуля до максимального значения Amax =дом T A =p (k − p )k−p2π(рис.
20.9). Сами колебания совершаются с частотой р и периодом Tк = .pРис. 20.9Чем ближе частота возмущающей силы р к частоте k, то есть чемближе к резонансу, тем больше будет период амплитуды T A и больше амплитуда Amax . И тем больше будет похож график на рис. 20.9 на график нарис. 20.8, изображающий колебания при резонансе. Эти колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями. Такое явление часто встречается, например, в радиотехнике.Мы исследовали вынужденные колебания под действием возмущающей силы, изменяющейся по гармоническому закону. Но нередко онаоказывается более сложной. Приходится использовать специальные математические методы, чтобы получить более-менее точный результат.Если возмущающая сила периодическая и ее можно разложить в рядФурье, то решение может оказаться не очень сложным. Пусть возмущающая сила описывается периодической функцией Q = Q(t) с периодом Tв =2π,pр – частота изменения этой функции, и конструкция её позволяет разло∞жить функцию в ряд Фурье Q = Q0 + ∑ Q j sin( jpt + γ j ) , где Q j и γ j – коj =1эффициенты Фурье, определяемые по специальным формулам.180AKF3.RUЧастное решение дифференциального уравнения (20.15) получитсяsQjQ0Q1в виде ряда q = A0 + ∑ 2sin(jpt+γ)=+sin( pt + γ1 ) +j2k 2 k 2 − p2j =1 k − ( jp )Q2Q3ptsin(2+γ)+sin(3 pt + γ 3 ) + ...
.2k 2 − (2 p)2k 2 − (3 p ) 2Количество s членов этого ряда стараются иметь не очень большим, еслиряд хорошо сходится.Решение получается как сумма нескольких синусоид («гармоник») скратными частотами. Наименьшая частота р называется основной частотой. Интересно, что в полученном решении возможно несколько резонан11сов, столько, сколько гармоник: при p = k, p = k , p = k и т.д.32+§5. Влияние сопротивления на вынужденные колебанияЕсли учесть сопротивление среды, пропорциональное скорости, какэто было сделано в §3, дифференциальное уравнение колебаний получитсятаким:(20.21)q + 2nq + k 2 q = Q0 sin( pt + γ ).Решение его состоит из общего и частного решений. Общее мы уженаходили в §3.
Например, при малом сопротивлении (n < k)qо.о = ae− nt sin( λt + β ) , где λ = k 2 − n 2 .Частное решение будем искать в виде qч.н. = A sin ( pt + γ − ε). Чтобыопределить коэффициенты А и ε, подставим это решение в уравнение(20.21). Получим− Ap 2 sin( pt + γ − ε) + 2 Anp cos( pt + γ − ε) + k 2 A sin( pt + γ − ε) == Q0 sin( pt + γ − ε) cos ε + Q0 sin ε ⋅ cos( pt + γ − ε)(правую часть уравнения (20.21) представили как синус суммы двух углов:sin[( pt + γ − ε) + ε] ). Полученное уравнение обратится в тождество, еслибудут выполнены два условия (сгруппировав члены, содержащиеsin( pt + γ − ε) и cos ( pt + γ − ε) ) :− Ap 2 + Ak 2 = Q0 cos ε иИз этих уравнений получимQ0;A=22 22 2k −p+ 4n p()2 Anp = Q0 sin ε.tgε =2np.k − p22(20.22)181AKF3.RUПолное решение уравнения (20.21) будет таким:q = ae− nt sin(λt + β) + A sin( pt + γ − ε).(20.23)Очевидно, за счет сопротивления с течением времени первый членстремится к нулю.
Поэтому можно заключить, что установившиеся вынужденные колебания и с учетом сопротивления среды будут гармоническими.Причем, во-первых, частотаколебаний равна частоте изменениявозмущающей силы; во-вторых, колебания не зависят от начальныхусловий и, в-третьих, амплитудаколебаний А зависит от частоты р иот сопротивления среды, характеризующегося коэффициентом n.График этой зависимости отр и n дан на рис. 20.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
