Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Потенциальная энергия шарика в положении М1 имеет минимум, в положении М2 –максимум. Можно заметить, что вположении М1 равновесие будет устойчивым; в положении М2 – неустойчивым.Равновесие считается устойчивым,если телу в этом положении сообщитьРис. 18.5малую скорость или сместить на малоерасстояние, то эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положенииравновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.Для консервативной системы с одной степенью свободы условиеминимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положенияравновесия, определяется второй производной, ее значением в положенииравновесия∂ 2Π> 0.(18.7)∂q 2Пример 18.2.
Стержень ОА весом Р может вращаться в вертикальнойплоскости вокруг оси О (рис.18.6). Найдем положения равновесия и исследуем их устойчивость.Стержень имеет только одну степеньсвободы. Обобщенная координата – угол ϕ.Относительно нижнего, нулевого,положенияпотенциальная энергия П=Рh или⎛l l⎞ 1Π = P ⎜ − cos ϕ ⎟ = Pl (1 − cos ϕ). В положении⎝2 2⎠ 2∂Π 1равновесия должно быть= Plsin ϕ = 0 .Рис. 18.6∂ϕ 2равновесия141AKF3.RUОтсюда имеем два положения, соответствующие углам ϕ1 = 0 и ϕ2 = π(положения ОА1 и ОА2 ).Исследуем их устойчивость.
Находим вторую производную∂ 2Π 1∂ 2Π 1= Pl cos ϕ. Конечно, при ϕ = ϕ1 = 0,= Pl > 0. Положение∂ϕ 2 2∂ϕ 2 2∂ 2Π1= − Pl < 0. Значит, вто2∂ϕ 2рое положение равновесия – неустойчиво. Результаты очевидны.равновесия устойчиво. А при ϕ = ϕ2 = π,§4. Обобщенные силы инерцииПо той же методике (18.4), по которой вычислялись обобщенные силы Qk, соответствующие активным задаваемым силам, определяются иобобщенные силы Qkин , соответствующие силам инерции точек системы:GG∂rnnJJGJJGJJGин Gин δriин11Qkин == ∑ Fi ⋅ i . (18.8а)∑ Fiинδsi cos βi =∑ Fi δri = ∑ Fiδqkδqkδqk i =1∂qki =1GGGnJG инJJGdvd v ∂r(18.8б)И так как F i = − mi W i = − mi i , то Qkин = − ∑ mi i i .dtdt ∂qki =1Немного математических преобразований.G GGGd ⎛ G ∂ri ⎞ d vi ∂ri G d ∂ri+ vi. ОтсюдаОчевидно, ⎜ vi⎟=dt ⎝ ∂qk ⎠ dt ∂qkdt ∂qkG GGGd vi ∂rid ⎛ G ∂ri ⎞ G d ∂ri.(18.9)= ⎜ vi⎟ − vidt ∂qk dt ⎝ ∂qk ⎠dt ∂qkG GТак как ri = ri (q1,q2 ,q3,...,qs ,t ) , а qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), тоGGGGGGdqG dri ∂ri∂ri∂ri∂ri∂rivi =, где q k = k .=q1 +q2 + ...
+qk + ... +q s +dt ∂q1∂q2∂qk∂qs∂tdtGЗначит, частная производная скорости vi по qkGG∂vi∂ri.(18.10)=∂qk ∂qkКроме того, в последнем члене (18.9) можно поменять порядок дифференцированияGGGd ∂ri∂ dri ∂vi.(18.11)==dt ∂qk ∂qk dt ∂qk142AKF3.RUПодставляя (18.10) и (18.11) в (18.9), а потом (18.9) в (18.8б), получим:QkинGGn⎡ d ⎛ 1 ∂vi2 ⎞ 1 ∂vi2 ⎤⎡ d ⎛ G ∂vi ⎞ G ∂vi ⎤= − ∑ mi ⎢ ⎜ vi⎥.⎟⎟ −⎥ = − ∑ mi ⎢ ⎜⎜⎟ − vidtqqdt2q2q∂∂∂∂=i =1i1kkkk⎝⎠⎢⎥⎦⎣⎦⎠⎣ ⎝nРазделив последнюю сумму на две и имея в виду, что сумма производных равна производной от суммы, получим:Qkин = −d ∂ ⎛ n mi vi2 ⎞ ∂ n mi vi2d ∂T∂T,=−+∑⎜⎜ ∑⎟⎟ +dt ∂qk ⎝ i =1 2 ⎠ ∂qk i =1 2dt ∂qk ∂qk(18.12)dqmi vi2– кинетическая энергия системы, q k = k – обобщеннаягде T = ∑i =1 2dtскорость.n§5.
Уравнения ЛагранжаПо определению (18.3) и (18.8а) обобщенные силы11Qk =∑ Fi δsi cos α i ; Qkин =∑ Fiинδsi cosβi .δqkδqkСумма их Qk + Qkин =1(∑ Fi δsi cosαi + ∑ Fiинδsi cosβi ) илиδqk(Qk + Qkин ) δqk = ∑ Fi δsi cosαi + ∑ Fiинδsi cosβi .Но на основании общего уравнения динамики (17.3) правая часть равенства равна нулю. И так как все δqk (k = 1,2,3,…,s) отличны от нуля, тоQk + Qkин = 0 .
Подставив значение обобщенной силы инерции (18.12), получим уравнение:d ∂T ∂T−= Qk , (k = 1,2,3,…,s).dt ∂qk ∂qk(18.13)Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения вобобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа. Количество этих уравнений равно числустепеней свободы материальной системы.143AKF3.RUЕсли система консервативная и движется под действием сил потен∂Πциального поля, когда обобщенные силы Qk = −, уравнения Лагранжа∂q kможно составить по формеd ∂T∂T∂Π−+=0(18.14)dt ∂qk ∂qk ∂qk∂Ld ∂L−= 0,(k = 1,2,3,…,s),(18.15)илиdt ∂qk ∂qkгде L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты qj не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П).
Такие координаты называют циклическими.Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются∂Πd ∂T∂T= 0 , топроще. Так как=0 и= 0 , (j = 1,2,3,…k).∂q jdt ∂q j∂q jПервые интегралы последних уравнений находятся сразу. Они называются циклическими интегралами∂T(18.16)= C j = const.∂q jДальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжасоставляют предмет специального раздела теоретической механики –«Аналитическая механика».Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнениис другими способами исследования движения систем.
Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакцииидеальных связей не учитываются при решении задач.И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследованияне только механических, но и других физических систем (электрических,электромагнитных, оптических и др.).Пример 18.3. Продолжим исследование движения колечка М на качающемся стержне (см. пример 18.1).Обобщенные координаты назначены – ϕ и s (рис.18.7). Обобщенныесилы определены: Q s = P cos ϕ и Qϕ = − Ps ⋅ sin ϕ .144AKF3.RUG GG1T = mv 2 .
Где v = ve + vr , а21P 2 2v 2 = ve2 + vr2 и ve = sω = sϕ , vr = s . Поэтому T =s ϕ + s 2 .2gСоставляем два уравнения Лагранжаd ∂T ∂Td ∂T ∂T−= Qs и−= Qϕ .dt ∂s ∂sdt ∂ϕ ∂ϕd ∂T P∂T Ps,= s ,= Так как∂ s gd t ∂ s g∂T P 2∂T P 2= s ϕ ,= sϕ ;∂ ϕ g∂s gd ∂T P∂T ,= 0,=2 ssϕ + s 2 ϕ∂ϕdt ∂ϕ gто уравнения получаются такими:PPs − sϕ 2 = Pcos ϕ ,ggPРис. 18.7(2sϕ + sϕ )s = − Ps ⋅ sin ϕgs − sϕ 2 − g ⋅ cos ϕ = 0, ⎪⎫или⎬ Получили два нелинейных дифференциальsϕ + 2 sϕ + g ⋅ sin ϕ = 0.⎪⎭ных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальныеметоды.Пример 18.4. Составим дифференциальное уравнение движения балочки АВ, которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис.18.8).
Длина балочкиАВ = l, вес – Р.В положении равновесия балочкарасполагалась горизонтально и центртяжести С ее находился на верхнейточке цилиндра. Балочка имеет однустепень свободы. Положение этой балочки определяется обобщенной коРис. 18.8ординатой – углом ϕ.Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим спомощью потенциальной энергии П = mgh, вычисленной относительногоризонтального положения. В точке касания находится мгновенный центрКинетическая энергия колечка(())145AKF3.RUскоростей и CCυ = s = rφ (CCυ равно длине дуги окружности с углом ϕ).Поэтому h = r·cosϕ + s·sinϕ – r (см.
рис. 18.8) и П = mgr (cos ϕ + φsin ϕ – 1).Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)1111 1 2 2 11T = mvc2 + J c ω2 = ms 2 ϕ 2 +ml ϕ = m(r 2 ϕ2 + l 2 )ϕ 2 .2222 12212Находим необходимые производные для уравнения∂T1= m(r 2ϕ2 + l 2 )ϕ ;∂ϕ12∂T= mr 2ϕϕ 2 ;∂ϕd ∂T ∂T ∂Π−+=0 :dt ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕd ∂T1⎡ ⎤⎥ ;= m ⎢2r 2ϕϕ 2 + (r 2ϕ2 + l 2 )ϕdt ∂ϕ12⎣⎦∂Π= mgr (− sin ϕ + sin ϕ + ϕ cos ϕ) = mgrϕ cos ϕ.∂ϕСоставляем уравнение1⎡ ⎤⎥ − mr 2 ϕϕ 2 + mgrϕ cos ϕ = 0 .m ⎢2r 2 ϕϕ 2 + (r 2 ϕ 2 + l 2 )ϕ12⎣⎦Окончательно получаем( r 2ϕ 2 +1 2 + r 2ϕϕ 2 + grϕ cos ϕ = 0 .l )ϕ12XIX.
Общие теоремы динамикиВ предыдущих разделах излагались методы определения движенияматериальной системы, которые сводились к составлению дифференциальных уравнений, как правило, второго порядка. И решение их оказывалось не всегда простым.Если ввести новые обобщенные понятия, характеризующие свойстваи движение системы в целом, то эти трудности нередко можно обойти.К ним относятся понятия о центре масс и кинетической энергии, которыеуже нам знакомы, понятия о количестве движения материальной системыи моменте количества движения.Теоремы, определяющие изменение этих характеристик, позволяютполучить более полное представление о движении материальной системы.Одна из теорем, теорема об изменении кинетической энергии, ужедоказана в XV, §4.146AKF3.RU§1. Теорема о движении центра массИногда, чтобы оценить движение материальной системы в целом,достаточно определить движение какой-нибудь одной ее точки.
Например,если бросить камень в цель, совсем не нужно знать, как он будет кувыркаться во время полета, важно установить, попадет он в цель или нет. Дляэтого достаточно рассмотреть движение какой-нибудь точки этого тела.Оказывается, довольно просто можно определить движение центрамасс материальной системы. Составим для каждой j-й точки материальнойсистемы основное уравнение динамики (12.2), разделив силы, действую(e)(i )щие на точки, на внешние и внутренние: m j W j = F j + F j . Затем сло(e)(i )жим эти уравнения: ∑ m j W j = ∑ F j + ∑ F j (*).
Вторую сумму в правойчасти равенства можно отбросить, так как векторная сумма внутреннихсил равна нулю. Левую часть можно записать иначе. Так как радиус-векторGGGG ∑ m j rjцентра масс (см.14.1) rC =, то ∑ m j r j = MrC . Взяв вторую производMGGd 2 rCd 2r jную по времени (полагая массу постоянной), получим ∑ m j 2 = Mdtdt 2или ∑ m j W j = M WC . Подставив эту сумму в левую часть равенства (*),получимM WC = ∑ F j(e).(19.1)Спроектируем это векторное равенство на оси координат x, y, и z.Вспоминая, что проекции вектора ускорения W C на оси есть вторые производные по времени от координат точки, получим дифференциальныеуравнения движения центра массMxC = ∑ X (je) ,⎫⎪(e) ⎪MyC = ∑ Y j , ⎬⎪MzC = ∑ Z (je) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
