Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Конечно, работу будет совершатьтолько первая пара с моментом m1 = m ⋅ cos γ , где γ – угол между векторомGm и осью вращения z,A = ± mϕ ⋅ cos γ .(15.9)112AKF3.RUПример 15.3. Работа силы упругости.Такая сила (рис. 15.5) возникает при деформации упругого тела. Еслисила подчиняется закону Гука, то ее величина будет пропорциональна деформации.
Так, при удлинении, например, пружины на величину x сила равнаF = cx . (Постоянная, коэффициент с,называется жесткостью пружины). Сила эта переменная. Поэтому по (15.4)Рис. 15.5dA = – F·dx = – cx·dx. И, если началокоординат О находится на конце недеформированной пружины, то полнаяработа при перемещении конца пружины от положения х1 до х2 (x2 > x1)x21A = − ∫ cx ⋅ dx = − c( x22 − x12 ) .2x(15.10)1Конечно, при увеличении деформации (сжатия или растяжения) работа силы – отрицательная; при уменьшении – положительная.Этот результат верен для любого упругого тела. И деформацией может быть не только линейное перемещение, но и угол поворота, и объемтела и др. Соответственно изменится и размерность коэффициента жесткости.§2.
Потенциальная энергияЧасть пространства, в которой на помещенную туда материальнуюточку действует сила, зависящая от места положения точки, называется силовым полем.Причем, эта сила определяется с помощью силовой функции u = u(x, y, z).Если эта функция не зависит от времени, то такое поле называется стационарным. Если во всех точках она одинакова, то поле – однородное.Если же проекции силы на декартовы оси есть частные производныеот силовой функции по соответствующим координатамX=∂u,∂xY=∂u,∂yZ=∂u,∂z(15.11)то такое поле называется потенциальным..Вычислим работу силы потенциального поля при перемещении точкииз положения М1 в положение М2 (рис. 15.6).113AKF3.RUЭлементарная работа по выражению (15.4)∂u∂u∂udA = Xdx + Ydy + Zdz =⋅ dx +⋅ dy +⋅ dz = du .∂x∂y∂zЭто есть полный дифференциал силовой функции.Работа на конечном перемещенииA=u2∫ du = u 2 − u1 ,(15.12)u1где u2 и u1 – значения силовой функции вточках М2 и М1.Следовательно, работа силы потенциального поля не зависит от траекториидвижения точки, а определяется лишь значениями силовой функции в начальном и коРис.
15.6нечном положениях точки.Естественно, если точка вернется в начальное положение, работа силыGF будет равна нулю. Работа окажется равной нулю и при переходе в другую точку М3, если там значение силовой функции будет такое же, как и вначальном положении.Нетрудно догадаться, что точки с одинаковыми значениями силовойфункции будут образовывать целую поверхность. И что силовое поле – это«слоёное пространство», состоящее из таких поверхностей (см. рис.15.6).Эти поверхности называются поверхностями уровня, или эквипотенциальными поверхностями. Уравнения их: u(x, y, z) = C (C – постоянная, равная значению u в точках этой поверхности). А силовую функцию называют соответственно потенциалом поля.Конечно, эквипотенциальные поверхности не пересекаются.
Иначесуществовали бы точки поля с неопределенным потенциалом. Посколькупри перемещении точки по эквипотенциальной поверхности работа силыGF равна нулю, то вектор силы перпендикулярен поверхности.Выберем среди этих поверхностей какую-нибудь одну и назовем еенулевой поверхностью (положим у нее u = u0).GРабота, которую совершит сила F при переходе материальной точки из определенного места М на нулевую поверхность, называют потенциальной энергией П точки в этом определенном месте М.Следовательно,П = А = u0 – u.(15.13)114AKF3.RUЗаметим, что потенциальная энергия в одной и той же точке поля зависит от выбора нулевой поверхности.
По формуле (15.13) силовая функция u = u0 – П. Поэтому проекции силы на декартовы оси, по (15.11), таккак u0 = const∂Π∂Π∂ΠX =−; Y =−; Z =−(15.14)∂x∂y∂zG⎛ ∂Π G ∂Π G ∂Π G ⎞⋅i +⋅j+⋅ k ⎟⎟ = −grad П.и вектор силы F = −⎜⎜xyz∂∂∂⎝⎠Рассмотрим несколько потенциальных полей.1. Поле силы тяжестиВблизи поверхности Земли сила тяжести во всех точках одинакова F = P , равнавесу тела. Значит, это силовое поле однородное. Так как при перемещении точки вгоризонтальной плоскости работа силы равна нулю, то эквипотенциальными поверхностями будут горизонтальные плоскости(рис. 15.7), а уравнения их: u = z = C.Рис. 15.7Если нулевой поверхностью назначитьплоскость xOy, то потенциальная энергия точки в положении М будет равна работе силы тяжести (15.5):П = А = Ph.2.
Поле упругой силыПри деформации упругого тела, напримерпружины, появляется сила (см. пример 15.3). Тоесть около этого тела возникает силовое поле,силы которого пропорциональны деформациитела и направлены в сторону недеформированного состояния. У пружины – в точку МО, гденаходится конец недеформированной пружины(рис. 15.8).Если перемещать конец пружины так, чтоРис. 15.8бы длинаеенеизменялась,тоработаупругойGсилы F будет равна нулю.
Значит, эквипотенциальными поверхностямиявляются сферические поверхности с центром в точке О.115AKF3.RUНазначим нулевой поверхностью сферу, проходящую через точку МОчерез конец недеформированной пружины. Тогда потенциальная энергия1пружины в положении её конца М Π = А = сх 2 по формуле (15.10).2При таком выборе нулевой поверхности потенциальная энергия всегда будет положительной (П > 0) и в растянутом, и в сжатом состояниях.§3. Кинетическая энергияКинетическая энергия материальной точки – это половина произведе1ния ее массы на квадрат скорости mv 2 .
Кинетическая энергия матери2альной системы – сумма кинетических энергий всех ее точекmi vi2T =∑.(15.15)2Кинетическая энергия – скалярная и всегда положительная величина,Gтак как ( vi ) 2 = vi2 . Для твердого тела формула (15.15) принимает болееконкретный вид.1. Кинетическая энергия тела при поступательном движенииТак как при поступательном движении все точки тела имеют равныеG Gскорости vi = v , то его кинетическая энергияmi vi2m v2 11= ∑ i = v 2 ∑ mi = v 2 M или22221(15.16)T = M v2 ,2где М – масса тела, v – скорость любой его точки.T =∑Рис.
15.92. Кинетическая энергия тела, вращающегосявокруг неподвижной осиПри вращении тела вокруг неподвижной осискорости его точек vi = ri ω (рис.15.9). Поэтому ки-ω2mi vi2mi ri2ω2 ω22=∑= ∑mi ri =J z илинетическая энергия T = ∑22221T = J z ω2 ,(15.17)2где Jz – момент инерции тела относительно оси вращения z.116AKF3.RU3. Кинетическая энергия тела при плоскопараллельном движенииС помощью мгновенного центра скоростей Сυ скорость точки тела определяется как произведение расстояния ai от точки до Сυ на угловую скорость: vi = ai ω (рис.15.10).Поэтому кинетическая энергияmi vi2mi ai2 ω2 ω2122Т= ∑=∑=∑ mi ai = J C v ω ,2222где J C v – момент инерции тела относительно осиСυ, проходящей через мгновенный центр скоростейперпендикулярно плоскости движения.
Так как поРис. 15.10ложение Сυ на теле меняется, то полученный результат не очень удобен. С помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера (14.4)можно получить более удобное выражение кинетической энергииT=1111J Cv ω2 = ( J c + Ma 2 ) ω2 = J c ω2 + M (aω)22222или, так как aω = vC (см. рис.15.10),11T = M vC2 + J c ω2 ,22(15.18)где vС – скорость центра масс тела; Jс – момент инерции тела относительно центральной оси, оси С, проходящей через центр масс перпендикулярноплоскости движения.4. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.При таком движении скорости точек телаопределяются как при вращении вокруг мгновенной оси Р: vi = hi ω (рис.
15.11).Поэтому кинетическая энергия телаm v2m h2ω2 ω22T= ∑ i i = ∑ i i=∑ m i hi2221Рис. 15.11(15.19)илиT = JP ω2 ,2где J P – момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения Р.Конечно, полученный результат не очень удобен, так как ось Р все времяменяет свое положение в теле.117AKF3.RUЕсли у тела в точке О можно отыскать главные оси инерции, то поформуле (14.6) получим J P = J x cos 2 α + J y cos 2 β + J z cos 2 γ . Тогда кинетическая энергия по (15.19) получится такой:1T = [ J x (ω cos α) 2 + J y (ω cos β) 2 + J z (ω cos γ ) 2 ]21или окончательно,T = ( J x ω2x + J y ω2y + J z ω2z ) ,(15.20)2где Jx, Jy, Jz – моменты инерции тела относительно главных осей инерцииx1, y1, z1 в неподвижнойG точке О ; ωx, ωy, ωz – проекции вектора мгновенной угловой скорости ω на эти оси.Для самого общего случая движения материальной системы кинетическую энергию помогает вычислить теорема Кенига.Рассмотрим движение материальнойсистемы как сумму двух движений(рис.
15.12). Переносного – поступательного движения вместе с центром масс С и относительного – движения относительно поступательно движущихся вместе с центроммассG G осейG x1, y1, z1. Тогда скорость точекvi = vei + vri . Но переносное движение –поступательное.
Поэтому переносные скоGрости всех точек одинаковы, равны vC .Рис. 15.12G GGЗначит, vi = vC + vri и кинетическая энергияGGG Gmi vi2 11= ∑ mi ( vC + vri ) 2 = ∑ mi ( vC2 + 2 vC ⋅ vri + vri2 ) =222G GGG111= ∑ mi vC2 + ∑ mi vC ⋅ vri + ∑ mi vri2 = M vC2 + vC ⋅ ∑ mi vri + Tr .222По определению центра масс (14.1) его радиус-вектор в подвижнойGG ∑ mi riсистеме rC == 0 (центр масс находится в начале координат), значит,MGи ∑ mi ri = 0 . Производная по времени от этой суммы также равна нулюGGGdrid= ∑ mi vri = 0 .mi ri = ∑ mi∑dtdtПоэтому окончательно кинетическая энергия системыT =∑1T = M vc2 + Tr .2118(15.21)AKF3.RUКинетическая энергия материальной системы равна сумме кинетической энергии при поступательном движении вместе с центром масс икинетической энергии ее при движении относительно координатных осей,поступательно движущихся вместе с центром масс.Так, при плоскопараллельном движении по доказанной теореме Кенига формула (15.18) получается сразу, так как относительное движениеесть вращение вокруг центральной оси С.В общем случае движения тела, которое можно рассматривать каксумму двух движений (переносного – поступательного вместе с центроммасс С и относительного – вращения вокруг точки С), по теореме Кенига(15.21) получим11T = M vC2 + J P ω22211T = M vC2 + ( J x ω2x + J y ω2y + J z ω2z ) ,22илигде Jx, Jy, Jz – главные центральные оси инерции тела.§4.
Теорема об изменении кинетической энергииматериальной системыG d vGiТак как ускорение i-ых точек материальной системы Wi =, то осdtGGd vi Gновные уравнения динамики для этих точек будут mi= Fi , где Fi –dtравнодействующая сил, приложенных к i-й точке. Умножим скалярно леGGGd vi G Gвую и правую части этого равенства на vi : vi ⋅ mi= Fi ⋅ vi и введемdtGG driG. Послева вектор vi под знак дифференциала, а справа учтем, что vi =dtGd ⎛ 1 2 ⎞ G dri⎛1⎞. Или окончательно d ⎜ mi vi2 ⎟ = dA i .лучим mi ⎜ vi ⎟ = Fidt ⎝ 2 ⎠dt⎝2⎠Сложив такие равенства, составленные для всех точек системы, полу1чим: d ∑ mi vi2 = ∑ dA i или dT = ∑ dA i . Проинтегрируем затем на перехо2де системы из одного положения в другое:T2∫ dT = ∑ ∫ dAi .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
