Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Оно иногда бывает более удобным, так как используются конечные величины скоростей, а не бесконечно малые перемещения.Этот принцип, общее уравнение статики, позволяет решать задачи наисследование равновесного состояния системы, в частности находить инеизвестные реакции связей. Естественно, при этом возникает вопрос: какже так, ведь реакции идеальных связей не входят в уравнение работ? Выход прост – надо сделать тело свободным, реакции отнести к разряду активных сил и затем назначать такие возможные перемещения, чтобы этинеизвестные силы совершали работу.Общее уравнение статики – довольно эффективный метод и применять его, конечно, надо для исследования равновесия сложных систем; хотя и при решении обычных задач статики он оказывается тоже выгодным.133AKF3.RUПример 17.1.
Какую силу F надо приложить к желобу с грузом весом Р,чтобы удержать его в равновесии (рис.17.3)?Эту задачу можно решить известными методами статики, составляяуравнения равновесия. Но при этом придется прежде отыскать усилия встержнях. Принцип возможных перемещений позволяет найти силу Fпроще с помощью общего уравнения статики.Показываем активные силы Р и F .Даем системе возможное перемещение,повернув стержень АО на угол δφ (см.рис.17.3). Так как желоб совершитпоступательное движение, то значитперемещения всех его точек будутодинаковыδs A = δs B = δs C = AO ⋅ δϕ = a ⋅ δϕ,где a = AO = BD .Рис.
17.3Составляем уравнение работ: F δs A cos(90o −β) − P δsC cos ϕ = 0 . Уголφ = 90о–α – (90о–β) = β – α.Поэтому получимFaδϕ ⋅ sin β −cos(β − α)− P a δϕ cos(β − α ) = 0. Отсюда F = P.sin βПример 17.2. На рис.17.4 изображена конструкция, состоящая из четырех одинаковых Т-образных рам, соединенных шарнирами К, М, Q.а)б)Рис. 17.4Опоры А и Е – шарнирно-неподвижные, В и D – шарнирно-подвижные.134AKF3.RUJJGОпределим горизонтальную составляющую Х E реакции опоры Е, вызван-ную силой F , приложенной к левой раме.Методы статики дадут довольно сложное и длинное решение, так какпридется рассматривать равновесие четырех рам и решать систему из 12уравнений с 12 неизвестными.Принцип возможных перемещений дает более простое и короткоерешение.
Надо изменить конструкцию опоры Е. Сделаем ее подвижной, ачтобы система осталась в равновесии, приложим к опоре силу Х Е , ту силу, которую нужно определить (рис.17.4, а).Даем затем системе возможное перемещение, повернув левую рамувокруг опоры А на угол δφ. С помощью мгновенных центров скоростей С1,С2 и С3 каждой рамы обнаруживаем, что δsН = δsК = δsМ = δsQ , аEC32aδsЕ EC3или δsЕ =δsQ =δsQ = δsQ 2.
Составляем уравнение=QC3δsQ QC3a 2работ,общееуравнениестатики− F δsН cos 450 − X E δsE = 0или21− X E δsQ 2 = 0 . Отсюда X E = − F .22Чтобы определить вертикальную составляющую Y E реакции опоры Е, ее надо вновь переделать (рис. 17.4, б), дать системе соответствующее возможное перемещение и составить уравнение работ.− FδsН§3. Принцип возможных перемещений при движении материальнойсистемы. Общее уравнение динамикиПо принципу Даламбера материальную систему, движущуюся поддействием некоторых сил, можно рассматривать находящейся в равновесии, если ко всем точкам системы приложить их силы инерции. Значит,можно воспользоваться и принципом возможных перемещений.В уравнение работ (17.1) добавится еще сумма работ сил инерцииточек на их возможных перемещенияхин∑ Fi δsi cos αi + ∑ Fi δsi cos βi = 0.(17.3)Или по принципу возможных скоростей (17.2)∑ Fi vi cos αi + ∑ Fiин vi cos βi = 0.Эти уравнения называют общим уравнением динамики.
Оно позволяет решать большой класс задач на исследование движения довольно сложных материальных систем.135AKF3.RUСилы инерции точек и твердых тел, составляющих систему, определять уже умеем (см. XVI, §2). Стоит подчеркнуть еще одно важное достоинство этого метода, общего уравнения динамики, – реакции связей (идеальных)исключаютсяприисследовании движения системы.Пример17.3. Определим ускорение груза G (рис. 17.5). Весцилиндра – Р, радиус – r. Цилиндркатится по плоскости без скольжения.Показываем задаваемые силы –Р , G , F тр . Добавляем силы инерции. Сила инерции груза, движущегося поступательно:GRин = W .gЦилиндр совершает плоскопараллельное движение. Главный векторРис. 17.5сил инерции точек егоPPR ' ин = Wc = W .ggГлавный момент сил инерции относительно центральной оси С1 P 2 Wc 1 Pd ω d vc1 d vc Wc=rW , так как ε ====.M cин = J c ε =rdt dt CCv r dtr2g2grДаем системе возможное перемещение, сдвинув груз вниз на малуювеличину δs.
Центр цилиндра сместится вправо на величину δsс = δs, а весьцилиндр повернется вокруг мгновенного центра скоростей Cv на уголδsc δsδϕ == .rrВычисляем работу сил на этих перемещениях и составляем уравнение работ, общее уравнение динамикиG ⋅ δs − Rин ⋅ δs − R'ин ⋅δsc − M син ⋅ δϕ = 0.Так как δs = δsc = rδφ, то, подставив значения сил инерции, получим урав1PPGнение:Wr ⋅ δϕ = 0,Grδϕ − Wr ⋅ δϕ − Wr ⋅ δϕ −2ggg2GW=g.из которого находим2G + 3P136AKF3.RUVIII. Уравнения Лагранжа§1.
Обобщенные координатыОбобщенными координатами мы будем называть параметры, которые определяют положение материальной системы.Это могут быть обычные декартовы координаты точек, углы поворота,расстояния, площади, объемы и т.д. Так,на рис.18.1 положение балочки АВ и всехее точек вполне определяется углом ϕ.Положение точек кривошипношатунного механизма (рис. 18.2) можнозадать углом поворотаϕРис. 18.1кривошипаили расстоянием s, определяющим положение ползуна В (при 0 < ϕ < π ).Положение сферического маятника(рис.
18.3) определяется заданием двухпараметров, углов ϕ1 и ϕ2.Минимальное количество независимыхдруг от другаРис. 18.2Oyобобщенных координат,которых достаточно, чтобы полностью и од-xнозначно определить положение всех точексистемы, называют числом степеней свободы этой системы.Вообще для любой материальной системы можно назначить несколько обобщенных координат. Например, у кривошипно-zРис. 18.3шатунного механизма (см. рис. 18.2) указаны две обобщенные координатыϕ и s. Но это не значит, что у механизма две степени свободы, так как однукоординату можно определить через другую: s = a ⋅ cos ϕ + b 2 − a 2 sin 2 ϕ .137AKF3.RUА вот у маятника (рис.
18.3) две степени свободы, так как определяется его положение двумя независимыми обобщенными координатами. Кстати, если длина маятника изменяется, то для определения положения точкиМ потребуется еще один параметр – обобщенная координата l, длина нити. И у маятника станут три степени свободы.Обобщенные координаты в общем случае будем обозначать буквой q.Пусть материальная система имеет s степеней свободы.
Положение ее определяется обобщенными координатами: q1, q2, q3,…, qk,…, qs .Нетрудно убедиться, что декартовы координаты n точек системыможно определить как функции обобщенных координат и времениxi = xi (q1, q2 , q3,…, qs , t ),yi = yi (q1, q2 , q3,… , qs , t ),(18.1)zi = zi (q1, q2 , q3,… , qs , t ), (i = 1,2,3,..., n ).Так, у маятника (см.
рис.18.3) координаты точки Мx M = l sin ϕ1 cos ϕ 2 ,y M = l sin ϕ1 sin ϕ 2 ,z M = l cos ϕ1.есть функции координат l, ϕ1, ϕ2 и времени t, если l = l(t).Соответственно и радиус-вектор точек системы можно определитькак функцию обобщенных координат и времениG Gri = ri q1 , q2 , q3 ,… , qs ,t , (i = 1,2,3,..., n ).(18.2)()§2. Обобщенные силыКаждой обобщенной координате qk можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Qk. Вычисление производится по такому правилу.Чтобы определить обобщенную силу Qk, соответствующую обобщенной координате qk, надо дать этой координате приращение δqk (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, насоответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты δqk:Qk =1 n∑ Fi δsi cos α i ,δq k i =1(18.3)где δsi – перемещение i-й точки системы, полученное за счет изменения k-йобобщенной координаты.138AKF3.RUОбобщенная сила определяется с помощью элементарных работ.
Поэтому эту силу можно вычислить иначе (см. выражения (15.3) и (15.4))G1 n G G n G δriQk =∑ Fi ⋅ δri = ∑ Fi δq .δqk i =1ki =1GG GИ так как δri есть приращение радиуса-вектора ri = ri (q1 , q 2 , q3 ,… , qs ,t ) засчет приращения координаты qk при остальных неизменных координатах иGGδri∂riможно определять как частную производную.времени t, отношениеδqk∂qkТогдаn JG ∂rGn ⎛∂x∂y∂z ⎞(18.4)Qk = ∑ F i i = ∑ ⎜ X i i + Yi i + Zi i ⎟ ,∂∂∂∂qqqqi =1i =1⎝kkkk ⎠где координаты точек – функции обобщенных координат (18.1).Если система консервативная, то есть движение происходит под дей∂Πствием сил потенциального поля (15.14), проекции которых X i = −,∂xi∂Π∂Π, где П = П(xi, yi, zi), а координаты точек – функции, Zi = −Yi = −∂yi∂z iобобщенных координат, тоn ⎛ ∂Π ∂x∂Π ∂yi ∂Π ∂z iQk = − ∑ ⎜⎜⋅ i +⋅+⋅xqyqz∂∂∂∂∂kiki ∂q ki =1⎝ i⎞⎟ = − ∂Π .⎟∂q k⎠(18.5)Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальнуюэнергию следует определять как функцию обобщенных координатП = П(q1, q2, q3,…,qs).Замечания.Первое.
При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связейне учитываются.Второе. Еденица измерения обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так, если [q] = метр, то единица измерения[Q] = H ⋅ м = ньютон; если [q] = радиан, то [Q] = Н·м; если [q] = м2, том[Q] = Н и т.п.м139AKF3.RUПример 18.1. По качающемуся в вертикальной плоскости стержнюскользит колечко М весом Р (рис. 18.4). Стержень считаем невесомым.Определим обобщенные силы.Система имеет две степени свободы.Назначаем две обобщенные координаты s и ϕ.Найдем обобщенную силу, соответствующуюкоординате s.
Даем приращение δs этойкоординате и, оставив вторую координату ϕнеизменной, вычисляя работу единственнойактивной силы Р, получим обобщенную силу1( P ⋅ δs ⋅ cos ϕ) = P cos ϕ .Рис. 18.4δsЗатем даем приращение δϕ координате ϕ, полагая s = const. При повороте стержня на угол δϕ точка приложения силы Р, колечко М, переместится на δs1 = s·δϕ. Обобщенная сила получится такой:11Qϕ =(− P ⋅ δs1 ⋅ sin ϕ) = − P s ⋅ δϕ ⋅ sin ϕ = − Ps ⋅ sin ϕ .δϕδϕТак как система консервативная, обобщенные силы можно найти ис помощью потенциальной энергии П = –Рh = –Ps·cosφ. Получим∂Π∂ΠQs = −= P cos ϕ и Qϕ = −= − Ps ⋅ sin ϕ. Получается гораздо проще.∂s∂ϕQs =§3. Уравнения равновесия Лагранжа1По определению (18.3) обобщенные силы Qk =∑ Fi δsi cos α i ,δq kпри k = 1,2,3,…, s, где s – число степеней свободы.Если система находится в равновесии, то по принципу возможныхпремещений (17.1) ∑ Fi δsi cos α i = 0.
Здесь δsi – перемещения, допускае-мые связями, возможные перемещения. Поэтому при равновесии материальной системы все её обобщенные силы равны нулюQk = 0, (k=1,2,3,…, s).(18.6)Эти уравнения, уравнения равновесия в обобщенных координатах,или уравнения равновесия Лагранжа, позволяют решать задачи статикиеще одним методом.140AKF3.RUЕсли система консервативная, то Qk = −∂Π. Значит, в положении∂q k∂Π= 0 . То есть в положении равновесия такой материальной∂q kсистемы ее потенциальная энергия либо максимальна, либо минимальна,то есть функция П (q) имеет экстремум.Это очевидно из анализа простейшего примера (рис. 18.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
