Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 23
Текст из файла (страница 23)
⎪⎭(19.2)Сравнивая эти уравнения с дифференциальными уравнениями движения материальной точки (13.1) и уравнение (19.1) с основным уравнением динамики (12.1), можно сформулировать закон движения центра масс.147AKF3.RUДвижение центра масс материальной системы определяется также, как движение материальной точки, масса которой равна массе всейсистемы, под действием внешних сил, приложенных ко всем точкам системы.Теорема о движении центра масс позволяет сделать несколько важных замечаний.Первое. Внутренние силы не могут изменить движение центра масссистемы.
Они вызывают движение лишь отдельных тел и точек системы.Так, движение автомобиля по горизонтальной плоскости может происходить только под действием внешних сил, равных силам трения, действующих на колеса со стороны дороги. И торможение автомобиля тожевозможно только этими силами, а не трением между тормозными колодками и тормозным барабаном. Если дорога гладкая, то как бы тормозные колодки не затормаживали колеса, они будут скользить и не остановят автомобиль.Или после взрыва летящего снаряда (под действием внутренних сил)части, осколки его разлетятся так, что центр масс их будет двигаться попрежней траектории.Второе.
Если внешние силы на систему не действуют или действуют,но сумма их равна нулю, то центр масс системы будет либо находиться впокое, либо двигаться равномерно и прямолинейно, так как ускорение центра масс равно нулю WC = 0.Например, если на тело начнутдействовать две силы, образующиепару сил (рис.
19.1), то центр масс С егобудет двигаться по прежней траектории. А само тело будет вращатьсяРис. 19.1вокруг центра масс. И неважно, гдеприложена пара сил.Кстати, в статике мы доказывали, что действие пары сил на тело независит от того, где она приложена. Здесь мы показали, что вращение телабудет вокруг центральной оси С.148AKF3.RUПример 19.1. Человек перешел с кормы лодки на нос.
Определим перемещение лодки s (рис.19.2). Вес лодки – Р1, человека – Р2, длина лодки – l.Сопротивление движению не учитываем. Определим движение центрамасс С системы, состоящей из человека и лодки.Составляем дифференциальное уравнение движения центра масс пооси х (19.2): MxC = ∑ X i(e) . Но так как проекции внешних сил P 1, P 2 , и Nна ось х равны нулю, то xC = 0. Проинтегрировав дважды это уравнение,получим xC = C1 и x C = C1t + C 2 . Но в начале движения система была неподвижна : vc = xc = 0.
Значит, C1 = 0 и xC = const .Рис. 19.2Найдем координату xC в первом положении системы, когда человекнаходился на корме, как координату центра тяжести по формулам (14.2)P1 ( a + 0,5l ) + P2a1 P1l.=a+P1 + P22 P1 + P2И во втором положении, когда человек перейдет на нос лодки:xC =P1 (a − s + 0,5l ) + P2 ( a − s + l )P + 2 P2=a−s+ 1l.P1 + P22( P1 + P2 )Приравниваем координаты, так как xC = constxC =a+1 P1P + 2 P2l=a−s+ 1l.2 P1 + P22( P1 + P2 )Из этого равенства находим перемещение лодки1 P1P + 2 P2P2s= 1l−l=l.P1 + P22( P1 + P2 )2 P1 + P2149AKF3.RU§2. Теорема об изменении количества движенияКоличеством движения материальной точки называется произведениеGGмассы точки на ее скорость k = mv .
Это есть вектор, который направляетсякак вектор скорости по касательной к траектории (рис. 19.3).Количеством движения материальной системы будем называть векторнуюсумму количеств движения всех точексистемыGGK= ∑ mi vi .(19.3)Рис. 19.3GG ∑ mi riКак известно (14.1), радиус-вектор центра масс rC =илиMGG∑ mi ri = MrC .
Найдем производную по времени от этого равенстваGGGGdridrC=Mили ∑ mi vi = M vc . Значит, по формуле (19.3) количество∑ midtdtдвижения материальной системы при любом ее движении определяетсядовольно просто как произведение массы системы на скорость ее центра массGGK = M vc .(19.4)Направляется вектор количества движения так же, как вектор скорости центра масс С. Количество движения точки – связанный вектор, онприложен к этой точке.
Поэтому и для вектора количества движения системы можно ввести понятие точки приложения. Правда, найти ее не всегдапросто. Но при поступательном движении твердого тела это сделать несложно.Так как при поступательном движении все точки тела имеют равные,параллельные векторы скорости, то и векторы количества движения их буGдут параллельны. Поэтому точку приложения вектора K можно опредеGлять как центр параллельных векторов ki (см. раздел «Статика»), радиусGGGG ∑ ki ri ∑ mi vi riG ∑ mi ri G.
Но vi = vc , значит r == rC ,=вектор которого r =KM vcMравен радиусу-вектору центра масс, то есть вектор количества движениятела при поступательном движении приложен к центру масс.GПри других движениях тела определить точку приложения вектора Kсложнее.150AKF3.RUВведем еще одно понятие – импульс силы. Импульсом S постояннойсилы F за время ее действия t называется произведениеS = F ⋅t .(19.5)Если же сила переменна, то определяют сначала элементарный импульс завремя dt: d S = F ⋅ dt , а потом интегрируют на интервале от t1 до t2t2S = ∫ F ⋅ dt.(19.6)t1Перейдем теперь к выводу теоремы.Запишем для каждой j-й точки материальной системы основноеуравнение динамики, разделив силы на внешние и внутренние:Gd v j JG (e) JG (i )(e)(i )=Fj +Fj .m j W j = F j + F j или m jdtJG (e) JG (i )GdВведем массу m j под знак дифференциала(m j v j ) = F j + F j .dtn JG( e )n JG ( i )Gd nСложим все эти равенства.ПолучимF j + ∑F j∑( m j v j ) = ∑dt j =1j =1j =1n ( e)n (i )dK= ∑ F j + ∑ F j .
Но последняя сумма, векторная сумма внутdtj =1j =1ренних сил, равна нулю. Поэтомуилиn (e)dK(19.7)= ∑F j .dtj =1Производная по времени от вектора количества движения материальной системы равна векторной сумме внешних сил, приложенных к точкам системы.Чтобы получить уравнения, удобные для исследования движениясистемы, спроектируем векторное равенство (19.7) на оси:dK x= ∑ X i(e) ;dtdK ydt= ∑ Yi(e) ;dK z= ∑ Zi(e) .dt(19.8)И ещё. Проинтегрируем уравнение (19.7) за время перехода системыиз какого-нибудь одного положения в другоеK2n t2K1i =1 t1(e)∫ d K = ∑ ∫ F i ⋅ dt.151AKF3.RUПолучим теорему об изменении количества движения, записанную вдругой форме:n(e)K 2 − K1 = ∑ S i .(19.9)i =1Изменение количества движения материальной системы при переходе ее из одного положения в другое равно векторной сумме импульсоввнешних сил за время перехода.Спроектировав векторное равенство (19.9) на оси, получим скалярные уравнения, которые используются при решении задач:(e) ⎫K 2 x − K1x = ∑ Six,⎪(e) ⎪K 2 y − K1 y = ∑ Siy ,⎬(19.10)⎪K 2 z − K1z = ∑ Siz(e) .
⎪⎭Разность проекций вектора количества движения в конечном и начальном положениях системы на ось равна сумме проекций импульсоввнешних сил на эту ось.Теорему об изменении количества движения обычно используют длярешения задач, по условию которых требуется установить зависимостьмежду изменениями массы, перемещением тел системы и их скорости.Пример 19.2. Груз весом Р спускается по кузову автомобиля со скоростью u (рис. 19.4). При этомсам автомобиль начнет движение. Определим его скорость v1 .
Вес автомобиля – G.Сопротивления движению неучитываем.Составимуравнение(19.10) для оси хРис. 19.4(e)K 2 x − K1x = ∑ Six.В начале движения количество движения всей системы равно нулюK1 = 0, система была неподвижна. Во втором положении количество движеGния системы складывается из количества движения автомобиля Ka = v1g(предполагается, что он движется вправо) и количества движения груза.152AKF3.RUGGG GGАбсолютная скорость груза vгр = ve + vr . Относительная скорость vr = u ,GGпереносная ve = v1 .
Соответственно этим скоростям показываем две со-ставляющие вектора количества движения груза: K r и K e .Все внешние силы (вес P и G, реакции плоскости N 1 , N 2 ) направлены вертикально, и импульсы их будут вертикальными. Составляем уравнение, проектируя все векторы на ось х:K a + K e − K r cos α = 0.GPPПодставляем их значенияv1 + v1 − u ⋅ cos α = 0. ОтсюдаgggPv1 =u ⋅ cos α.P+GПример 19.3. Определим горизонтальное давление трубы на опору А(рис. 19.5). В трубе движется жидкость со скоростью v . Диаметр трубы – d.( e)По теореме (19.9) K 2 − K 1 = ∑ S i .
Рассмотрим движение жидкости,заключенной между сечениями 1 и 1'. Через время t сечения окажутся вположениях 2 и 2' соответственно (см. рис. 19.5).В первом положении количество движения K 1 складывалось изколичеств движения объемов I и II:K 1 = K I + K II .Во втором положении K 2 = K II + K III.Тогда изменение количества движенияK 2 − K 1 = K II + K III − K I − K II == K III − K I . И уравнение (19.9) за( e)пишется так: K III − K I = ∑ S i (*).Рис. 19.5Единственными внешними силаGми будут вес жидкости, вес трубы и реакция опоры N . Проектируются наось х только вектор импульса реакции S = Nt и вектор K III .Проектируя равенство (*) на ось х, получим K III = Nt (**).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
