Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Основы теории колебаний§1. Основные определения колебательного движенияКолебательным движением материальной системы называется такоеее движение, при котором она через некоторые промежутки времени постоянно возвращается к определенному положению. Нетрудно обнаружить, что большинство окружающих нас систем совершают колебательноедвижение.Если время, за которое все точки системы возвращаются к любомуопределенному положению с одними и теми же скоростями, постоянно и168AKF3.RUодинаково, то такое время Т называется периодом колебаний. А эти колебания – периодическим колебательным движением.На рис.
20.1 показан пример изменения какой-то обобщенной координаты q при довольно сложном колебательном процессе. А на рис. 20.2пример более организованных, периодических колебаний.Рис. 20.1Рис. 20.2При периодическом процессе значения функции, описывающей движение системы, повторяются через каждый период Т, то естьq (t ) = q (t + T ) .(20.1)Если эта функция имеет видq = a sin( kt + β),(20.2)то такое колебательное движение называется гармоническим.
График такого движения дан на рис. 20.3.Рис. 20.3По (20.2) q 0 = a sin β – начальная координата, определяющая положение системы в начале движения (при t = 0); a – амплитуда колебаний,169AKF3.RUимеет размерность обобщенной координаты; (kt + β) – фаза колебаний,β – начальная фаза; k – частота колебаний, c −1 .Период колебаний найдем, используя свойство (20.1):a sin(kt + β) = a sin [ k (t + T ) + β].Отсюда, так как период синуса равен 2π kt + β = kt +kT +β – 2π. Значит,период колебаний2πT=.(20.3)kВообще существует много всяких типов колебаний.
Выделим в первую очередь линейные и нелинейные колебания. Названия их определяются видом дифференциальных уравнений, которые описывают колебательное движение материальной системы.Исследование нелинейных колебаний значительно усложняется, таккак нет общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Но если рассматривать малые колебания, такие, при которых координата и скорость изменяются на малую величину, то многие нелинейныеуравнения станут линейными и исследование движения значительно упростится.В дальнейшем мы будем рассматривать лишь малые, линейные колебания.
И, мало того, колебания системы только с одной степенью свободы.Естественно, колебания системы могут совершаться только около устойчивого положения равновесия.Если система консервативная, то найти положение равновесия и определить устойчивость его можно с помощью потенциальной энергии. Вразд. XVIII, §3 установлено, что в положении равновесия выполняется ус∂Π∂ 2Π= 0, и если в положении равновесия> 0, то равновесие буловие∂q∂q 2дет устойчиво.Договоримся отсчитывать координату от положения равновесия(q0 = 0), а потенциальную энергию там считать равной нулю (Π 0 = 0).Тогда, по определению малых колебаний, обобщенная координата q всегдабудет малой величиной.170AKF3.RUРазложим потенциальную энергию в ряд Маклорена около положенияравновесия⎛ ∂Π ⎞1 ⎛ ∂ 2Π ⎞1 ⎛ ∂ 3Π ⎞2Π (q ) = Π (0) + ⎜⋅q + ⎜ 2 ⎟⋅q + ⎜ 3 ⎟⋅ q 3 + ...
.⎟⎜⎟⎜⎟2! ⎝ ∂q ⎠3! ⎝ ∂q ⎠⎝ ∂q ⎠q = 0q =0q=0⎛ ∂Π ⎞⎟⎟Так как П(0) = 0 и ⎜⎜= 0 , и отбросив члены третьего и выше∂q⎝⎠ q =0порядка малости, получим1Π = cq 2 ,2⎛ ∂ 2Π ⎞>0где коэффициент c = ⎜ 2 ⎟⎜ ∂q ⎟⎝⎠q = 0(20.4)по условию устойчивости.Поэтому потенциальная энергия колебательной системы, отсчитываемая отположения устойчивого равновесия, будет всегда положительной. Кинетическую энергию системы при малых колебаниях также можно преобразовать.mi vi2, а так как радиус-вектор точек2G 2GGG GG dri ∂ri1 ⎛ ∂ri ⎞ 2 1 2ri = ri (q) и q = q(t), то vi =q. Поэтому T = ∑ mi ⎜ ⎟ q = q A(q),=22 ⎝ ∂q ⎠dt ∂qG 2⎛ ∂ri ⎞где A(q ) = ∑ mi ⎜ ⎟ . Эту функцию A(q ) можно разложить в ряд Мак⎝ ∂q ⎠лорена по степеням q около положения равновесия и учесть только первыйчлен: A(q ) = A(0) + ...
. Остальные члены можно не учитывать, так как по-Кинетическая энергия системы T = ∑сле подстановки A(q ) в кинетическую энергию Т они станут величинамитретьего и выше порядка.Обозначив постоянную A(0) = a, получим:T=1 2aq .2(20.5)Коэффициент a называется коэффициентом инерции. Конечно, a > 0, таккак кинетическая энергия не может быть отрицательной.171AKF3.RUЗамечание.
Практически при исследовании конкретных колебательных систем приходится раскладывать в ряд функции, содержащие чащевсего sin x, cos x, e x . Разложение их с точностью до малых второго порядка известны: sin x = x , cos x = 1 −1 21x , ex =1 + x + x2.22§2. Малые свободные колебания системыСвободными колебаниями называется колебательное движение системы, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе.Составим уравнение Лагранжа для консервативной системыd ∂T ∂T ∂Π−+= 0.dt ∂q ∂q ∂qИспользуя (20.4) и (20.5), получим дифференциальное уравнение свободc= k2,ных колебаний aq + cq = 0 или, обозначивaq + k 2 q = 0.(20.6)Решение этого однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами известноq = C1coskt + C2sinktили, использовав другие постоянные a = C12+q = a sin( kt + β) .(20.7)C 22иtgβ =C1C2,(20.8)Следовательно, малые свободные колебания – гармонические колебания, причем амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями (q и q при t = 0), а частота колебаний k и период Т независят от начальных условий, определяются только конструкцией системы.Обычно частоту колебаний находят сравнением полученного дифференциального уравнения с уравнением (20.6).Пример 20.1.
Тело весом Р подвешено на нити, перекинутой черезблок и прикрепленной к пружине (рис. 20.4). Вес блока G, радиус – r;жесткость пружины с. Определим период свободных колебаний системы.172AKF3.RUНазначим обобщенной координатой смещение z груза по вертикалиот положения равновесия, при котором пружинабыла растянута на величину f . Тогдапотенциальная энергия относительно положения11равновесия Π = − Pz + c( z + f ) 2 − cf 2 .
Где22( z + f ) – полная деформация пружины, а1 2cf – потенциальная энергия пружины в2положении равновесия, которую вычитаемиз потенциальной энергии полностьюдеформированной пружины. Раскрыв скобки,получим:111Π = − Pz + cz 2 + czf + cf 2 − cf 2 =222Рис. 20.411= − Pz + cz 2 + czf = (− P + cf ) z + cz 2 .22В положении равновесия должно выполняться условие1∂Π= (− P + cf + cz ) z = 0 = 0.Отсюда P = cf , значит, Π = cz 2 .∂z2Кинетическая энергия системы1P 2 11 P 2 1 1 G 2 z21T=z + J o ϕ 2 =z + ⋅r ⋅ 2=(2P + G ) z 2 .2g22g2 2g4gr1Составив уравнение Лагранжа, получим:(2P + G) z + cz = 02g2cgz +z = 0.
Сравнивая с формулой (20.6), находим частотуили2P + G2cg2π2P + Gи затем период T =колебаний k == 2π.2P + Gk2cgПример 20.2. Определим период малых колебаний балочки АВ нацилиндрической поверхности (см. пример 18.4).Потенциальная и кинетическая энергии определены. Разложим их в рядс точностью до малых величин второго порядка. Для этого достаточно полоϕ2ϕ21жить sinϕ = ϕ, а cos ϕ = 1 −. Получим Π = mgr (1 − + ϕ2 − 1) = mgrϕ2 .222173AKF3.RUКинетическая энергия получится такой, если отбросить член четвертого1порядка, содержащий произведение ϕ 2 ϕ 2 :T=ml 2 ϕ 2 .24Составляем уравнение Лагранжа.Определив производные∂T 1 2d ∂T 1∂T∂Π;= ml ϕ ;= ml 2 ϕ= 0;= mgrϕ , получим уравнение∂ϕ∂ϕ 12dt ∂ϕ 12∂ϕgr1 + 12 2 ϕ = 0. Поэтому + mgrϕ = 0.
Приводим его к форме (20.6): ϕml 2 ϕ12l3 grgr2ππl, а период T ==.частота малых колебаний k = 12 2 = 2kl3 grl§3. Свободные колебания системыс учетом сил сопротивления движениюИзвестно, что свободные колебания не длятся очень долго. Как правило, они, как говорят, затухают и довольно скоро. Причиной этому является чаще всего сопротивление среды, в которой движутся части колебательной системы.Обычно считают это сопротивление пропорциональным скорости.Пусть на каждую точку материальной системы действует сила сопротивJGGления Ri = −νi υi .
Обобщенная сила, соответствующая этим силам:GGδri∂ri1GQ' =∑ R i ⋅ δri = ∑ R i δq = ∑ R i ∂q .δqGGG dri ∂riG G=q , так как ri = ri (q) – сложная функция,Скорость точек vi =dt ∂qGGGJG ∂υ∂vi ∂riкоордината q = q (t ) . Поэтому=. Значит, Q ' = ∑ Ri i =∂q ∂q∂qGG ∂vi1 ∂vi21∂ 12Обозначим= − ∑ νi vi ⋅= −∑ νi= − ∑ ν i vi2 .∑ νi vi = Φ.22 ∂q∂q∂q 2∂Φ.Тогда обобщенная сила сопротивления Q ' = −∂qЗаметим, что по форме эта функция Ф аналогична кинетическойэнергии Т. Поэтому, если разложить ее в ряд Маклорена и учесть членылишь второго порядка малости, результат получится тоже аналогич174AKF3.RU1 2bq (коэффициент b также будет положительным).
И то2гда обобщенная сила сопротивления движениюным (20.5): Φ =Q' = −∂Φ= −bq.∂q(20.9)Функция Ф называется диссипативной, или функцией рассеивания энергиисистемы.d ∂T ∂T ∂Π−+=Q'После подстановки в уравнение Лагранжаdt ∂q ∂q ∂qполучим дифференциальное уравнение aq + cq = −bq илиq + 2nq + k 2 q = 0,(20.10)cb– коэффициент сопротивления, k =– частота свободных2aaколебаний без сопротивления.Найдем решение уравнения (20.10).
Характеристическое уравнениегде n =z 2 + 2nz + k 2 = 0. Корни его z1,2 = − n ± n 2 − k 2 могут быть и комплексными, и вещественными в зависимости от сопротивления, от величины коэффициента n.Случай малого сопротивления (n < k).Корни получаются комплексными z1,2 = −n ± iλ, где λ = k 2 − n 2 ,i = − 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
