Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Из графикавидно, что при сопротивлении амплитуда колебаний – конечная величина. И максимум амплитуды буРис. 20.10дет не при p = k, а при несколькоменьшей частоте p* . Ее можно определить, отыскав максимум амплитуды А или лучше минимум функцииF = (k 2 − p 2 ) 2 + 4n 2 p 2 . Приравняв к нулю производную от этой функции,dF= 2(k 2 − p 2 )(−2 p ) + 8n 2 p = 0, найдем эту частоту p* = k 2 − 2n 2 .dpИ тогда величина максимальной амплитуды, подставив p* в (20.22),Q0Amax =.2n k 2 − n 2XXI. Удар§1. Явление удараУдаром будем называть кратковременное действие на тело некоторойсилы F .
Силы, возникающей, например, при встрече двух массивных тел.Опыт показывает, что взаимодействие их очень кратковременно (времяконтакта исчисляется тысячными долями секунды), а сила удара довольновелика (в сотни раз превышает вес этих тел). Да и сама сила не постояннапо величине. Поэтому явление удара – сложный процесс, сопровождаю-182AKF3.RUщийся к тому же деформацией тел. Точное исследование его требует знания физики твердого тела, законов тепловых процессов, теории упругостии др.Мы же воспользуемся довольно простыми методами исследования,но которые, как подтверждает практика, достаточно правильно объясняютявление удара. Поскольку сила удара F очень велика, а продолжительность его, время τ, мало, при описании процесса удара будем пользоватьсяне дифференциальными уравнениями движения, а теоремой об измененииколичества движения.
Потому что измеряемой конечной величиной являτется не сила удара, а ее импульс S = ∫ F dt.0Чтобы сформулировать первые особенности явления удара, рассмотрим сначала действие такой силы на материальную точку.Пусть к материальной точке М, движущейся под действием обычныхсил F i по некоторой траектории (рис. 21.1), в какой-то момент была приложена мгновенная, большая сила F .
С помощью теоремы об измененииколичества движения за время удара τ составляем уравнениеGG JJGGGmv2 − mv1 = S , где v2 и v1 – скорости точки в конце и в начале удара;S – импульс мгновенной силы F . Импульсами обычных сил, под действием которых точка двигалась, можно пренебречь – за время τ они будуточень малы.Из уравнения находим изменение скорости за время удара (рис. 21.1)JGG GG S∆v = v2 − v1 =.mЭто изменение скорости оказывается конечнойвеличиной.Рис. 21.1Дальнейшее движение точки начнется соGскоростью v2 и продолжится под действием прежних сил, но по траектории, получившей излом.Теперь можно сделать несколько выводов.1.
При исследовании явления удара обычные силы можно не учитывать.2.Так как время τ мало, перемещением точки за время удара можнопренебречь.3. Единственный результат действия удара – только изменение вектораскорости.183AKF3.RU§2. Прямой центральный удар двух телУдар называется прямым и центральным, если центры масс тел доудара двигались по одной прямой, по оси х, точка встречи их поверхностейоказывается на этой же прямой и общая касательная Т к поверхностям будет перпендикулярна оси х (рис.
21.2).а)б)Рис. 21.2Если касательная Т не перпендикулярна этой оси, удар называетсякосым.Пустьтела двигались поступательно со скоростями их центров массGGGGv1 и v2 . Определим, каковы будут их скорости u1 и u2 после удара. Завремя удара τ на тела действуют ударные силы F , импульсы S которых,приложенные в точке касания, показаны на рис.
21.2, б. По теореме об изменении количества движения в проекциях на ось х получим два уравненияm1 (u1 − v1 ) = − S , ⎫⎬m2 (u2 − v2 ) = S , ⎭(21.1)где m1 и m 2 – массы тел; v1 , v 2 , u1 , u 2 – проекции скоростей на ось х.Конечно, этих двух уравнений недостаточно для определения трехнеизвестных ( u1 , u 2 и S). Нужно еще одно, которое, естественно, должнохарактеризовать изменение физических свойств этих тел в процессе удара,учитывать упругость материала и его диссипативные свойства.Рассмотрим сначала удар пластичных тел, таких, которые по окончании удара не восстанавливают деформированный объем и продолжаютдвигаться как одно целое со скоростью u, то есть u1 = u 2 = u.
Это и будет недостающее третье уравнение. Тогда имеемm1 (u − v1 ) = − S , ⎫⎬m2 (u − v2 ) = S . ⎭184(21.2)AKF3.RUРешив эти уравнения, получим:u=m1v1 + m2 v2,m1 + m2(21.3)S=m1m2( v1 − v2 ).m1 + m2(21.4)Так как величина импульса S должна быть положительной, то для тогочтобы произошел удар, требуется выполнение условия v1 > v2 . Нетрудноубедиться, что удар пластичных неупругих тел сопровождается потерей ихкинетической энергии.11Кинетическая энергия тел до удара T1 = m1v12 + m2 v 22 .
После удара221111T2 = m1u 2 + m 2 u 2 . Отсюда T1 − T2 = m1 ( v12 − u 2 ) + m2 ( v22 − u 2 ) =222211= m1 ( v1 − u )( v1 + u ) + m2 ( v2 − u )( v2 + u ).Или,учитывая(21.2),22111T1 − T2 = S ( v1 + u ) − S ( v2 + u ) = S ( v1 − v2 ). И, подставив значение им222пульса S, по (21.4) получим:1 m1m2(21.5)∆T = T1 − T2 =( v1 − v2 ) 2 .2 m1 + m2Эта «потерянная» энергия расходуется на деформацию тел, на нагревание их при ударе (можно убедиться, что после нескольких ударов молотком деформированное тело сильно нагревается).Заметим, что если одно из тел до удара было неподвижным, например v 2 = 0 , то потерянная энергия∆Τ =m21 m1m2 21T1 =T1v1 =m1m1 + m22 m1 + m2+1m2(так как энергия тел до удара в этом случае была только у первого тела1T1 = m1v12 ).
Таким образом, потерянная энергия, затраченная на деформа2цию тел, составляет часть энергии ударяющего тела.185AKF3.RUСледовательно, при ковке металла, когда желательно, чтобы ∆Τm1было побольше, отношениенужно сделать как можно меньше,m2m 2 >> m1 . Поэтому наковальню делают тяжелой, массивной. Аналогичнопри клепке какой-либо детали молоток надо выбирать полегче. И, наоборот, при забивании гвоздя или сваи в грунт молоток (или бабу копра) надобрать потяжелее, чтобы деформация тел была меньше и большая частьэнергии пошла на перемещение тела.Перейдем теперь к удару упругих тел.
Ударный процесс таких телпроисходит гораздо сложнее. Под действием ударной силы деформация ихсначала увеличивается до тех пор, пока скорости тел не уравняются. А затем за счет упругости материала начнется восстановление формы. Скорости тел начнут изменяться до тех пор, пока тела не отделятся друг от друга.Разделим процесс удара на две стадии: от начала удара до того момента, когда скорости их уравняются и будут равными u; и от этого момента до конца удара, когда тела разойдутся со скоростями u1 и u 2 .Для каждой стадии получим по два уравненияm1 (u − v1 ) = − S1 , ⎫⎬m2 (u − v2 ) = S1 ; ⎭(21.6)m1 (u1 − u ) = − S 2 , ⎫⎬m2 (u2 − u ) = S2 , ⎭(21.7)где S1 и S2 – величины импульсов взаимных реакций тел для первой и второй стадий.Уравнения (21.6) аналогичны уравнениям (21.2). Решая их, получим:u=m1v1 + m2 v2,m1 + m2S1 =m1m2( v1 − v2 ).m1 + m2В уравнениях (21.7) три неизвестные величины ( u1 , u 2 , S2).
Не хватает одного уравнения, которое опять должно характеризовать физические свойства этих тел.SПоложим отношение импульсов 2 = k . Это и будет дополнительноеS1третье уравнение.186AKF3.RUОпыт показывает, что величину k можно считать зависящей толькоот упругих свойств этих тел. (Правда, более точные эксперименты показывают, что есть некоторые зависимости и от их формы). Определяется этоткоэффициент экспериментально для каждых конкретных тел. Называетсяон коэффициентом восстановления скорости. Величина его 0 ≤ k ≤ 1.У пластичных тел k = 0, у абсолютно упругих тел k = 1.Решая теперь уравнения (21.7) и (21.6), получим скорости тел послеокончания удара:(21.8)u1 = u + k (u − v1 ); u2 = u + k (u − v2 ).Можно найти, как и при ударе пластичных тел, потерю кинетическойэнергии при ударе упругих тел.
Она получится такой:∆Τ = T1 − T2 =1 m1m2( v1 − v2 ) 2 (1 − k 2 ).2 m1 + m2(21.9)Заметим, что при ударе абсолютно упругих тел (k = 1) кинетическая энергия не изменяется, не «теряется» ( ∆Τ = 0, T1 = T2 ).Пример. Металлический шарик падает свысоты h1 на горизонтальную массивную плиту.После удара он подскакивает на высоту h2(рис. 21.3).В начале удара о плиту проекция скорости шарика на ось х v1 = − 2 gh , а скорость неподвижной плиты v2 = 0 .
Считая, что массаплиты m 2 >> m1 , много больше массы шарика,можно положить u = 0 и u2 = 0. Тогда по (21.8)u1 = −k v1 . (Теперь, кстати, понятно, почему коэффициент k называется коэффициентом восстановления скорости.)Рис. 21.3Итак, скорость шарика в конце удара u1 = k 2 gh1 и направленавверх (u1 > 0). Шарик подскакивает на высоту h2, связанную со скоростьюhформулой u1 = 2 gh2 . Значит, 2 gh2 = k 2 gh1 и k = 2 . По последнейh1формуле, кстати, и определяется коэффициент восстановления k для материалов, из которых сделаны шарик и плита.187AKF3.RU§3. Удар по вращающемуся телуПри исследовании удара по вращающемуся телу, кроме теоремы обизменении количества движения, приходится использовать и теорему обизменении момента количества движения (XIX, §3). Относительно осивращения (19.19) её запишем так: dL z = ∑ M z ( F )dt и послеинтегрирования за время удара τ получимLкz−Lнzτ= ∑ ∫ M z ( F i )dt или0τJ z (ω2 − ω1 ) = ∑ ∫ M z ( F i )dt , где ω1 и ω 2 – угловые скорости тела в начале0и в конце удара; F i – ударные силы.Правую часть надо немного преобразовать.
Найдем сначала интегралмомента ударной силы относительно неподвижной точки Оτ Gτ Gτ GGG τG∫ M O ( F i )dt = ∫ (ri × F i )dt = ∫ (ri × F i dt ) = ri × ∫ F i dt = ri × S i = M O ( S i ) .0000GПри этом предполагалось, что за малое время удара τ радиус-вектор riсчитался неизменным, постоянным.Проектируя результат этого векторного равенства на ось вращения z,τпроходящую через точку О, получим ∫ M z ( F i ) dt = M z ( S i ) , то есть инте0грал равен моменту вектора импульса ударной силы относительно осивращения. Теорема о моменте количества движения в преобразованномвиде запишется теперь так:J z (ω2 − ω1 ) = ∑ M z ( S i ) .(21.10)В качестве примера рассмотрим удар вращающегося тела о неподвижную преграду.
Тело, вращаясь вокруг горизонтальной оси О, ударяетсяо преграду А (рис. 21.4). Определим ударные импульсы сил, возникающихв подшипниках на оси, S x и S y .По теореме об изменении количества движения K 2 − K 1 = ∑ S i впроекциях на оси х и у получим два уравненияmv1 − mu1 = S + S x , ⎫⎬0 = Sy ,⎭где скорости центра масс С в начале и конце удара: v1 = aω1 , u1 = aω2 .Поэтому первое уравнение станет таким: ma(ω2 − ω1 ) = S + S x .188AKF3.RUТретье уравнение по формуле(21.10) получится в виде J z (ω2 − ω1 ) = Sl ,Jиз которого находим S = z (ω2 − ω1 ) .lИ так как коэффициент восста-новленияk=u1 ω2=,v1 ω1Jто S = − z (1 − k )ω1 (в нашем примереlω1 < 0, поэтому ударный импульс S > 0,направлен так, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
