Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Хорошо, что анаРис.3.1логичным конструкциям в строительной механике уделяется хоть немноговнимания. А в курсе теоретической механики, к сожалению, об этом вообще ничего не говорится.Дело в том, Алёша, что кроме статически определимых и статическинеопределимых систем, о которых говорится в теоретической механике,существуют ещё и мгновенно изменяемые системы, конструкции.Это такие системы, отдельные части которых имеют возможность совершать малые перемещения, допускаемые связями. С такими перемещениями ты, Алёша, знаком.
О них подробно говорилось в разделе динамики.Это – возможные перемещения.- Конечно, вспоминаю. Был такой принцип возможных перемещений.- Правильно. Вспомни ещё, что для плоской конструкции возможныеперемещения точек определяются при повороте на малый угол вокругмгновенного центра скоростей Cv . А для пространственной конструкции –при повороте вокруг мгновенной оси вращения Ω.Если мгновенно изменяемая система состоит из нескольких тел, то укаждого тела должен быть свой мгновенный центр скоростей, но возможные перемещения точек контакта этих тел должны быть совместимы.
Вотнесколько примеров таких мгновенно изменяемых систем (рис. 3.2).На схемах 3.2a и 3.2, б мгновенная изменяемость очевидна: все точкител ACB имеют возможные перемещения, определяемые мгновеннымицентрами скоростей. Да и у схемы 3.2, в всё понятно: возможные перемещения определяются поворотом тел вокруг шарниров A и D и пропорциональны. А у схемы 3.2, д легко обнаружить совместимость возможных перемещений муфты M и соответствующей точки у стержня AO1.201а)б)г)AKF3.RUв)д)е)Рис. 3.2202AKF3.RUУ конструкции 3.2, г, имеющей два совпадающих мгновенных центраскоростей стержней BC и EK, можно доказать, что возможные перемещения точек стержней пропорциональны расстояниям до этих центров.
Упространственных конструкций (3.1 и 3.2, е) легко находятся мгновенныеоси вращения Ω.- Николай Степанович, так возможно ли какое-то решение при исследовании таких систем? Ведь конструкции-то их осуществимы.- Если определять реакции связей таких конструкций, выявляются интересные результаты.В конструкции 3.1 ты, Алёша, их уже обнаружил: нет решения, невозможно определить усилия в четырёх стержнях от силы P, веса плиты.
Аещё интереснее получилось бы решение, если добавить ещё силу F, направленную по стороне AB. Составив уравнение моментов сил относительно оси Ω, ты обнаружил бы, что эта сила F = 0! Так как моменты других сил, усилий в стержнях и силы P равны нулю.Такой же интересный результат получился бы и в системе 3.2, е, еслиприложить силу к плите, направленную по стороне AB, например.Кроме того что исследование мгновенно изменяемых систем практически невозможно, появляется ещё одна, более опасная особенность. После того, как система совершит малые перемещения, то есть несколько изменит свою форму, система станет статически определимой. Но реакциинекоторых связей окажутся очень большими и конструкция может разрушиться.Если хочешь, Алёша, можешь проверить и убедиться, что это так.
Например, дай малое перемещение уголку ACB на схеме 3.2, б (это положениепоказано штриховыми линиями) и составь уравнение моментов, при AC=aΣMА(Fi) = 0; – F·a + RB'·δsB = 0.F ⋅a. Перемещение δsB очень мало. Значит реакция RB'δS Bполучится очень большой.- Так как же проверить систему на мгновенную изменяемость? Толькотак, как вы, Николай Степанович, сейчас показали? Или существуют другие методы и способы?- Можно использовать некоторые специальные признаки. Есть однадовольно интересная статья [1] в сборнике научно-методических статей потеоретической механике, опубликованной ещё в 1981 г., в которой авторАлександров В.В.
доказал, что если определитель системы уравнений, составленный из коэффициентов при неизвестных, окажется равным нулю,то такая система является мгновенно изменяемой. Конечно, если число неизвестных равно количеству уравнений равновесия.Получим RB' =203AKF3.RUЕсли хочешь, можешь проверить, исследовав схемы на рис. 3.2. Всеопределители окажутся равными нулю.- Да, нет. Я верю, Николай Степанович. А как можно исправить такуюмгновенно изменяемую конструкцию, чтобы она могла работать?- Надо лишь немного изменить её конструкцию, изменить углы илиразмеры.
Вот, например, в схеме 3.2a - изменить направление хотя бы одного какого-нибудь стержня так, чтобы они не пересекались в одной точке.В схеме 3.2, в можно изменить длины балочек AB и MD. Например,шарнирную опору D опустить ниже.- Ну, спасибо, Николай Степанович. Я, кажется, стал немного умнее.Пойду, расскажу всё своему соседу. Может поймёт, как интересна теоретическая механика.БЕСЕДА ЧЕТВЁРТАЯ «О РАБОТЕ СИЛЫ»Николай Степанович встретил Игнатьева в коридоре.- Ну-ка, Алёша, зайди ко мне. Есть интересное предложение.Взял его за локоть, как старого знакомого, довёл до кафедры, усадилрядом.- В апреле, Алёша, будет студенческая научная конференция.
Если непротив, я могу предложить тебе очень интересную тему. Не возражаешь?- Да, нет. Я могу. Ещё целый месяц впереди.- Ну и хорошо. Я сначала дам тебе маленькую, но необычную задачку. Такую дажене в каждом сборнике найдёшь. Я уже и услоBвие приготовил. Вот смотри (рис. 4.1). Со стола спускается тяжёлая однородная нить длиной l. Сначала конец её A был на краю стола инить была неподвижна. Пренебрегая всякимиAсопротивлениями и жесткостью нити, нужноопределить, как будет соскальзывать нить состола, как будут двигаться её точки, например,Рис. 4.1точка A.Решай задачу с помощью теоремы об изменении кинетической энергии. Только имей в виду, что работу веса свешивающейся части нити придётся находить с помощью элементарной работы, так как эта сила переменна и точка приложения её относительно нити перемещается.
Ведь так?Больше ничего подсказывать не буду. Мне интересно, заметишь ли ты некоторые особенности и как ты с ними справишься. Недели тебе хватит? Нуи хорошо. Жду тебя в следующий четверг.204AKF3.RUИгнатьев, как и договаривались, появился в точно назначенное время.- Вот, Николай Степанович, посмотрите, что у меня получилось. С кинетической энергией всё просто. В начале движения T1 = 0; после того, как1m v2 =часть нити соскользнёт со стола, кинетическая энергия T2 =21 P 2=v , так как все точки нити имеют одинаковые скорости. Работа2 gвеса P2 горизонтальной части нити равна нулю. А вот при вычисленииработы, которую совершит вес P1 свешивающейся части, как вы и намекнули тогда, появляется что-то интересное.
По правилам элементарную работу надо вычислять по формуле dA = X dx,где X - проекция силы на ось x (рис. 4.2),0Bа dx – дифференциал координаты x точкиприложения силы, находящейся посереxдине свешивающейся части. ЭлементарнаяsP2работа получается такой, имея в виду, чтоP1PPP1 = 2 x , dA = 2 x ⋅ dx . Проинтегрировав,All0,5 SxPx dx , где s = 2x длиполучим A = 2l∫0Рис.4.2навертикальной части нити, или1P 21P 2A=s .
По теореме T2 − T1 = A получаем уравнениеv2g4l=1P 2s ,4l1g 2s .2l- Ты, Алёша, как это кажется, действовал правильно. Но давай сделаем небольшую проверку. Когда конец B, последняя точка нити, соскользнёт со стола, то есть при s = l, скорость нити по твоему решению будет v =1=gl . Так? А должно получиться иначе. Ведь, когда вся нить станет2lвертикальной, работа веса нити будет A = Ph = P , где h – высота, на ко2торую опустится центр тяжести всей нити.
По теореме об изменении кине1P 2lv = P , откуда v = gl . Больше, чем втической энергии получим22gтвоём решении! Значит метод, которым ты решал задачу и вроде бы правильно делал, не верен!из которого находим скорость точек нити v=205AKF3.RUДавай договоримся так. Я тебе дам одну статейку на эту тему. Ты еёпроштудируй, разберись и сделай сообщение на методическом семинаренашей кафедры. Многим из нас это будет очень интересно. А для тебя –хорошая тренировка для будущей научной работы. Только не тяни. Студенческая конференция не за горами.
Надо будет, приходи – я помогу.Сообщение студента Алексея Игнатьева на методическом семинарекафедры теоретической и прикладной механикиЭлементарная работа силы определяется по известной формулеG GdA = F ·d r = X dx + Y dy + Z dz ,Gгде r – радиус-вектор точки приложения силы; x, y, z – координаты этойточки; X, Y, Z – проекции силы на оси.Но эта формула верна лишь для силы, вектор которой закреплён вточке тела. Если же точка приложения вектора силы меняет своё положение на теле, то не всё оказывается понятным. Действительно, какое в этомслучае надо вычислять изменение радиуса-вектора? Абсолютное?В сборнике научно-методических статей по теоретической механике(выпуск 11-й) [7] доказана теорема, которая даёт ответ на этот вопрос.G«Мощность некоторой силы F , точка приложения которой перемещается по телу, есть скалярное произведение вектора этой силы на вектор скорости той точки тела, с которой совпадает в данный моментначало вектора этой силы».Здесь и далее для удобства доказательств и решения задач вычисляется мощность силы, с помощью которой легко определяется затем и работасилы.Очень полезны следствия из этой теоремы.1.
Если тело движется поступательно (скорости всех точек его одинаковы), то перемещение точки приложения силы по телу можно не учитывать и предполагать этот вектор закреплённым в произвольно выбраннойточке тела.2. Если вектор силы перемещается по твёрдому телу вдоль определённой линии действия, то мощность, а значит и работа силы, не будут зависеть от такого перемещения, так как проекции вектора скорости точек телана эту линию равны (см. теорему на с. 74).206AKF3.RUСилы, точка приложения которых перемещается относительно движущегося тела, встречаются нередко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
