Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Он рассуждал так. Вопервых, надо сделать длиннее стержни и тогда ∆1 будет значительно больше, торможение станет меньше. И, во-вторых, надо сделать не восемьстержней, а как можно больше. Стержни будут беспрерывно перекидываться и торможения, мол, практически не будет.Хороша его идея? Но научное учреждение, куда он направил свойпроект, отвергло его, даже не рассмотрев. И правильно сделало. Но я всёже попробовал провести небольшой анализ, чтобы убедить сторонниковОрфериуса, что его конструкция работать не будет.222Вот это колесо (рис.
9.2). Я, правда, нарисовал не очень много этихгрузиков, всего 24, но определенные выводы можно всё-таки сделать.Тебе понятна его конструкция? Я сначала предположил, что колесовращается по часовой стрелке (рис. 9.2). Тогда грузики расположатся так,как показано на рисунке.C1ϕR1ϕOO2R3AKF3.RUC2C3R2Рис. 9.2Из рисунка видно, что расположение грузиков можно разбить на триобласти: первая – состоящая из грузиков, откинутых на косые стороныупоров и расположенных на полуокружности радиусом R1 = l / sinφ; вторая – из вертикально висящих грузиков, расположенных на четверти окружности радиусом R2 = r, равном радиусу самого колеса с центром O2,смещённым вниз на длину стержней l.
И третья область – занимающая тоже четверть окружности, окружности радиусом R3 = r + l, образованнойгрузиками, стержни которых опираются на прямые стороны упоров.Центр тяжести грузиков в каждой области можно найти как центр тяжести соответствующих дуг окружностей (полагая, что грузики располагаются по ней равномерно) по известной формуле OC = Rsin ϕ / 2. Так,ϕ/ 2центр C1 первой области находится на расстоянии OC1 по оси симметриидуги, равномOC 1 = R 1sin π / 2 2 l=.
Центр тяжести C2 грузиков воπ/2π sin ϕвторой области – на расстоянии O2C2, расположенном под углом 45о, рав223ном O2C2 =4rπ2 2r . Центр тяжести грузиков в третьей области наsin =4ππходится аналогично:OC3 = R 3sin π / 4 2 2=(r + l).π/ 4πТеперь можно определить момент сил тяжести грузиков относительно осивращенияMО = P1·OC1·sinφ + P2·O2C2·sin45o - P3·OC3·sin 45o.Учитывая количество грузиков в каждой области, получим:MО = 12 P2 l2 222 22lr− 6P= 12 P > 0 .sin ϕ + 6 P(r + l )22π sin ϕπππAKF3.RUТо есть на самом деле при таком расположении грузиков они будутвращать колесо не по часовой, а против часовой стрелки.
И располагатьсябудут тогда так, как показано на рис. 9.3. Но при таком расположении грузиков даже без математических расчётов ясно, что вращение будет происходить по часовой стрелке.C1R1OC3O2C2R2R3Рис. 3.9При такой неопределённости направления вращения естественнопредположить, что существует положение равновесия, в котором колесо224AKF3.RUпри наличии трения в подшипниках оси в конце концов остановится и успокоится.Я, Алёша, специально направил нынешнего изобретателя к тебе, чтобы обратить твоё внимание на эти «вечные двигатели».
Чтобы ты сразу, спорога, отвергал их и не тратил силы на доказательства.Кстати, ещё недавно, в феврале нынешнего (!) года, я увидел по центральному телевидению нового изобретателя «вечного двигателя». Какойто токарь построил у себя в гараже электродвигатель, который работает отсилового поля постоянного магнита. И КПД двигателя якобы больше единицы – 1,2! Мало того, какие-то профессора пытаются и не могут объяснить это явление! Так что материал и выводы из нашей беседы, Алёша, досих пор актуальны.БЕСЕДА ДЕСЯТАЯ «ПРО МАССУ, КОТОРАЯ ИЗМЕНЯЕТСЯ»- Помнишь, Алёша, как-то мы с тобой говорили о работе силы, точкаприложения которой перемещается по движущемуся телу. И ты в качествепримера определял движение тяжёлой нити с помощью теоремы об изменении кинетической энергии (см.
рис. 4.3). А я тогда забраковал твоё решение, так как масса нити изменяется и теорему в обычном виде применять нельзя.- Да, я помню. И сегодня вы хотите растолковать мне, как определяется движение тел переменной массы? Это, наверно, не так просто.- Но и не очень сложно.
Всю теорию я рассказывать не собираюсь.Познакомлю только с выводами, методами решения задач.Впервые основной закон динамики точки переменной массы был открыт профессором Петербургского политехнического института И.В. Мещерским ещё в 1897 году [3, 4, 5]. Идея его сводится к тому, что при исследовании движения тела, к которому непрерывно прибавляются или откоторого отделяются частицы, материальные точки, надо учитывать кромеGобычных сил ещё и дополнительные реактивные силы Ф , зависящие как отGмассы этих частиц dm, так и от скорости их u .Для точки переменной массы M основное уравнение динамики записывается так:GGGdvM= ∑ F (e) + Ф .(10.1)dt225AKF3.RUGGGGdm Gdm 2 GРеактивная сила Ф = − 1 ( u1 − v ) +( u 2 − v ) , где dm1 и u1 –dtdtGмасса и абсолютная скорость отделяемых частиц, а dm2 и u2 – соответстGвенно масса и скорость присоединяемых частиц, v - скорость самой точки.Основные теоремы для тела переменной массы по форме похожи насоответствующие теоремы для тела постоянной массы.
Надо только иметьв виду, что центр масс перемещается по телу. Поэтому, например, количество движения определяется также, как для тела постоянной массы:GGGK = М vc , только здесь vc – скорость той точки тела, с которой совпадаетцентр масс в данный момент.- Николай Степанович, ведь мы как раз говорили об этом в одной «беседе», когда докладывали на кафедре о работе силы, точка приложения которой перемещается по телу!- Да-да, правильно. Ну, а теорема об изменении количества движениятела переменной массы после несложных математических преобразованийзапишется так, в дифференциальном виде:GGddm G dm G(10.2)( M vc ) = ∑ F (e) − 1 u1 + 2 u2 .dtdtdtВ частности, для системы переменной массы, у которой частицы либотолько отделяются, или только присоединяются (dm2 = 0 или dm1 = 0) этоуравнение соответственно становится проще.
Интересен и случай, когдаабсолютные скорости тех и других частиц равны нулю – уравнение становится совсем удобным, похожим на теорему об изменении количествадвижения тела постоянной массыGGd(10.3)( M vc ) = ∑ F (e) .dtПолезна при решении задач и теорема об изменении кинетическойэнергии тела переменной массы. Например, для тела, от которого лишь отделяются частицы, теорема записывается так (при dm < 0):⎛ M vc2 ⎞ 1 2G G(10.4)d⎜⎟ + v dm = dA + ( u ⋅ v ) dm .22⎝⎠А если частицы отделяются с абсолютной скоростью, равной нулю,GG Gu = 0, или u ⊥ v , то совсем просто:⎛1⎞ 1d ⎜ M vc2 ⎟ + v 2 dm = dA .(10.5)22⎝⎠То есть от кинетической энергии тела вычитается кинетическая энергияотделяющихся частиц (dm<0).226AKF3.RU- Николай Степанович, вы говорили, что всё очень просто.
А мне кажется – совсем не просто. Ведь для тела постоянной массы теорема выглядит удобнее, записывается в проинтегрированном виде. Там оставалосьтолько подставить значения кинетической энергии в двух положениях ивычислить работу сил. А тут, наверное, придётся решать дифференциальное уравнение и совсем не простое.- Ты прав, конечно. Но математики дифференциальные уравненияумеют решать разными способами. Так что это трудности не механики, аматематики.Вернёмся к твоей задаче: движение по вертикали одного конца нити призакреплённом втором (см. рис.4.3). Помнишь эту задачу? Там как раз скоGрость отделяемых частиц u = 0. Поэтому воспользуемся уравнением (10.5).1 Pl−xМасса движущейся части нити M =, масса отделяемых частиц2g l1P1 l−xdx .
(Я используюdm = dM = −dx , элементарная работа dA = P2l2 lgрезультаты твоего прошлого решения, они и тут будут такими же.) Причём, vc = v = x , так как эта часть нити движется поступательно.Находим дифференциал кинетической энергии тела⎛ M v2 ⎞ 1⎞1⎛ 1 P 21Pl−x2v dx + 2vd v ⎟ =d⎜⎟ = dM v + M 2 vd v = ⎜ −2 ⎝ 2 lg2g l⎠⎝ 2 ⎠ 2(=P⎡ − v 2 dx + 2 ( l − x ) vd v ⎤⎦4 gl ⎣)и подставляем в уравнение (10.5):P1 P⎡ − v 2 dx + 2 ( l − x ) vd v − v 2 dx ⎤ =⎦ 2 gl dx .4 gl ⎣Поделив на dt, после математических преобразований получим дифференx − x 2 = ( l − x ) g .
Положив в нём ( l − x ) = z ,циальное уравнение ( l − x ) уравнение запишем так:zz + z 2 = − g z.(10.6)C2Решение этого нелинейного уравнения, поверь мне: z 2 = 2 − g z .3z2g l 3 . ЗнаТак как при x = 0 x = 0, то z = l, z = 0 и постоянная C =32чит, z =32l2 l2gg 2 − gz =33 z3подстановки z = l – x будет такой:3− zz2v=3и скорость конца нити после12 ⎡ 33g l − (l − x ) ⎤ .⎦l−x 3 ⎣227AKF3.RUЕсли сравнить с результатом твоего прошлого неправильного решения, то можно заметить, что при одинаковой качественной зависимостиv = v (x) значения скорости получаются несколько бόльшими. Так, приl37x=gl , а у меня здесь v =у тебя v =gl .
Это естественно,223потому что при той же работе силы тяжести кинетическая энергия тела получается меньше.И ещё. Так как теорема эта используется в дифференциальном виде,то для исследования движения аналогичных систем иногда выгоднее использовать теорему об изменении количества движения, которая для тела сотделяющимися частицами записывается так:H ( e ) dM GGdMv=F−u.(10.7)( c) ∑dtdtА для некоторых частных случаев получается ещё проще. Так, если абсоGлютная скорость отделяемых частиц u = 0, уравнение становится таким:GGd(10.8)( M vc ) = ∑ F (e) .dtТо есть по форме напоминает теорему для тела постоянной массы. А еслиG Gотносительная скорость равна нулю ( u = vc ), то ещё прощеGGd vсM= ∑ F (e) .(10.9)dtВ этом случае срабатывает и закон сохранения количества движения: приG (e )G= 0 получается vc = const.∑FТолько что рассмотренную задачу можно решить проще с помощьюGэтой теоремы (10.8), так как абсолютная скорость u отделяемых частицравна нулюd⎡d ⎛ 1 P l − x ⎞ 1 l − xx⎟ = Pили( l −x) x⎤⎦ = g ( l −x).⎜dt ⎣dt ⎝ 2 g l ⎠ 2lВычислив производные, получим то же уравнение, что и ранее:( l − x ) x − x 2 = ( l − x ) g .На сегодня, Алёша, хватит.
Я сообщил довольно много сложного материала. Тебе надо его освоить, так сказать, переварить. Попробуй дома228AKF3.RUрешить вот такую непростую задачу. Я понимаю, тебе сейчас не до этого –экзаменационная сессия скоро, зачётов много. И я тебя не тороплю. Когдасможешь, приходи. Не получится, тоже приходи.Задача Николая СтепановичаsBRαРис.10.1Рулон однородной тяжёлой ленты скатывается по наклонной плоскости. При этом лента, прикреплённая свободным концом В к плоскости,разматывается. Определить скорость центра рулона как функцию длинысмотанной нити s. Полная длина нити – l0, толщина нити – δ.(Задача оказалась сложной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
