Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В проекциях на осии теоремы о моменте количества движенияdtx и y получим уравнения: mvx − mv0 cosα = S x ;mvy − mv0 sinα = S yи217AKF3.RUJc(ω – ω0) = Sx·r. Где v0 – скорость центра масс диска в начале удара ссоответствующей угловой скоростью ω0; vx и vy – проекции скоростицентра масс на оси в конце удара при угловой скорости ω; Sx и Sy - проекции импульса ударной силы в точке A.После преобразований получим три уравненияvx = v0 cosα + Sx /m,vy = v0 sinα + Sy /m,ω = ω0 + Sx·r / Ј c .Определим ещё скорость точки A,точки контакта диска с горизонтальной плоскостью в конце удара, проекции которой Vx = vx – rω и Vy = vy .Нам не хватает двух уравнений, которые должны характеризовать результат удара, физические свойства поверхности и тела. Будем считать, чтоскольжение отсутствует. Тогда Vx = 0 и, значит, vx = rω.Затем положим, как это обычно предполагается при исследованииудара, что скорость отскока после удара пропорциональна скоростиКоэффициентk – называетсяв начале удара: Vy = - k V0y.коэффициентом восстановления скорости.
Определяется он опытным путём. Так как V0y = - v0 sinα, то vy = Vy = k v0 sinα (см. рисунок).Итак, имеем пять уравнений с пятью неизвестными, и все они теперьмогут быть определены. Так, для диска, момент инерции которого Jc == 0,5 mr2, легко находим проекции скорости центра масс на осиvx = v0 (2 cosα – 1),vy = k v0 sinα.Значит, диск подскакивает над плоскостью под углом γ таким, чтоvysin αтангенс его tg γ ==k, и диск будет вращаться с угловой скоvx2cos α − 1vvростью ω = x = 0 ( 2cos α − 1) = ω0 ( 2cos α − 1) .rrЕсли упругость поверхности равна нулю (k = 0), то скорость центра vcбудет направлена параллельно плоскости, горизонтально ( vy = 0) и равнаvc = rω = v0 (2 cosα – 1). Интересно, что при α ≥ 60о скорость vc ≤ 0, чтоневозможно.
Значит, диск остановится. Вся энергия уйдёт на деформациюповерхности.И ещё один важный вывод. Чтобы не произошло такого удара и всехэтих нежелательных явлений, переход от наклонной плоскости к горизон-218AKF3.RUтальной должен быть плавным, по кривой, радиус кривизны которой должен быть больше радиуса диска.- Спасибо, Николай Степанович, за интересную задачу. А вот с явлением удара мне надо познакомиться подробнее. До свидания.БЕСЕДА ВОСЬМАЯ «КОЕ-ЧТО О СКАЛЯРНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ»- Ну и любопытный же ты, Алёша … Откуда ты об этом узнал?- Я подслушал, как у вас на кафедре об этом говорили. Не то возмущались, не то удивлялись. А толком не понял, о чём шёл разговор.- Что ж, если тебе интересно, я сейчас расскажу.
Тем более это тебебудет полезно. Ведь ты после института всерьёз хочешь заняться теоретической механикой. Разговор шёл о принципе возможных перемещений и, вчастности, об этом возможном, или по-другому виртуальном перемещении. Ты знаешь, что это такое, объяснять не буду. Мы спорили о том, какего изображать – вектором или малым отрезком касательной к траекториивозможного движения точки. Большинство учёных представляют его в виGде вектора, малого приращения радиуса-вектора точки – δ r .
И в результате из-за этого иногда получают странный и неверный вывод. Началом разговора на кафедре послужила цитата из одного солидного учебника, авторкоторого считался большим авторитетом ещё сто лет тому назад [8, с.303].Короче. Он написал буквально следующее.« … Для любого виртуального перемещения сумма элементарных работGGреакций идеальных связей равна нулю: ∑ Ri ⋅ δ ri = 0 , при этом для поступаGтельного перемещения множитель δ ri один и тот же для всех частиц, и поGGтому он может быть вынесен за знак суммы, т.е.
мы имеем δri ⋅ ∑ Ri = 0;GGотсюда ввиду произвольности δ ri находим: ∑ Ri = 0 , что мы и хотели доказать».Так он хотел доказать, что при поступательном движении тела векторная сумма реакций идеальных связей равна нулю.Даже простой пример показывает, что это не так. Действительно, принекотором поступательном скольжении твёрдого тела по гладкой плоскости реакциями являются перпендикулярные плоскости силы и сумма их,конечно, не равна нулю.При доказательстве им допущена грубая ошибка. Ведь скалярное произведение двух векторов может быть равно нулю не только тогда, когдаравен нулю один из них, но и тогда, когда они перпендикулярны друг дру219AKF3.RUгу. Если бы он записал условие идеальности реакций в алгебраическом виде, то получилось бы так:G GR∑ i ⋅ δri = Σ Ri δri cos α i = δri ΣRi cos α i = 0.Отсюда следует, что это условие будет выполняться не только приGo∑ Ri = 0 , но и при α i = 90 или cos α i = 0, то есть, если возможные перемещения перпендикулярны силам.
Как это и получилось в моём примере.- Ого, Николай Степанович, мне кажется, что даже я не сделал бы такой элементарной ошибки.- Надеюсь. Получается так, что чем умнее и опытнее учёные мужи,тем больше у них небрежности в рассуждениях. Аналогичные ошибки мыобнаружили и в других, более современных учебниках.Вот сам посуди.
При свободном движении тела возможные перемещения точек есть результат суммы двух перемещений (см. рисунок): переGмещения δrc какого-либо полюса C иδρiδϕδrcFiορiF1οFnповорота точек вокруг этого полюса,GG GGGперемещения δρi : δ ri = δ rc + δϕ × ρi , гдеGδϕ вектор бесконечно малого поворотатела. Тогда по принципу возможных пеοремещений при равновесии телаG GG GGδrcG GF2ο=+FF⋅δrF⋅δr∑∑∑i ⋅ ( δϕ × ρi ) =iiicCGGG GGrc= δ rc ⋅ ∑ Fi + δϕ ⋅ ∑ (ρi × Fi ) =OοGG GGG=δr⋅F+δϕ⋅M∑ c ( Fi ) = 0.c ∑ iРис.8.1Далее авторы рассуждают так [3,5].G«В силу произвольности векторов δrc иGG GGδϕ получим: ∑ Fi = 0 и ∑ M c ( Fi ) = 0.οТо есть получаем известные условия равенства нулю главного вектора иглавного момента сил, условия равновесия тела».Но, а если эти силы, действующие на тело, параллельны и перемещеGGния δrc окажутся перпендикулярными им, да ещё и вектор δϕ назначимпараллельным этим силам, то эти условия будут удовлетворяться и для неуравновешивающихся сил.
Вот таков ляпсус получается, когда забываем,как определяется скалярное произведение векторов, что они могут оказаться перпендикулярными друг другу.220AKF3.RUПоэтому я и стараюсь, Алёша, возможные перемещения не представлять вектором. В этом нет особой необходимости и это будет проще и надёжнее.И ещё одно замечание. Вот когда ты станешь лектором … Не смейся,я надеюсь на это. Зачем же мы тогда столько копаемся в теоретическоймеханике? Вот когда ты станешь лектором, преподавателем, то, формулируя принцип возможных перемещений, не говори «сумма работ сил на любом возможном перемещении», а говори - на всяком возможном перемещении.
Чтобы хотя бы одно из них не оказалось перпендикулярным силам.Всё понял? Ну и хорошо.БЕСЕДА ДЕВЯТАЯ «PERPETUUM MOBILE»- Николай Степанович, зачем вы направили ко мне этого изобретателя? Он же придумал «вечный двигатель»! Я сначала пытался убедить его,что таких двигателей не существует и быть не может. Но он был так настойчив, что мне пришлось посмотреть его проект.
И сразу обнаружиласьего элементарная безграмотность в механике и физике. Он даже правилорычага не знает. Да и школьная математика у него хромает. В общем, онстал ругаться, обзывать меня по-всякому… и я прогнал его.- Ох, Алёша, извини меня … Я специально его к тебе направил, чтобыпотом поговорить об этих «вечных двигателях».Мне самому не раз приходилось разговаривать с такими изобретателями. И убедить их в бесплодности попыток построить такую конструкцию невозможно. Даже встречал таких изобретателей, которые и изучаликогда-то механику, знают её законы, в том числе и закон сохранения энергии.
Доказать им это практически очень трудно, так как конструкции порой такие заковыристые, что математические исследования движения этихсистем, как правило, очень сложны.Ранее были такие доморощенные изобретатели, которые всю жизньпосвящали совершенствованию своего детища. Первые конструкции «вечного двигателя» появлялись ещё в XIII веке. И, чтобы избавиться от назойливости этих изобретателей, в 1775 году французская академия сделалаофициальное заявление, что никакие проекты вечных двигателей к рассмотрению и испытаниям больше не принимаются.221AKF3.RUНесмотря на это до сих пор такие проекты поступают.
Ты сам в этомтолько что убедился. А вот на рис. 9.1 проект «вечного двигателя» ещёXIII века. Ты сможешь понять принцип его действия? Грузы на стержняхперекидываются на шарнирах и давят наупоры, прикреплённые к колесу. По мысли автора, колесо будет само всё время,вращаться по часовой стрелке.На первый взгляд он прав, так каксумма моментов правых грузов весом Pотносительно оси вращенияMпр = P(l + r) cos 45o + P(l + r) ++ P(l+r) cos45o = P(l + r)(1 + 2 cos450)больше суммы моментов левыхMлев = Pl + P(l + r) cos45o + Pr ++Prcos45o = P(l + r) + P(l + 2r) cos45o.Рис.9.1Разность их легко подсчитать∆1 = Mпр – Mлев = Pl cos45o.И когда колесо сделает четверть оборота, все стержни с грузами повернутся, картинка опять станет прежней и новые грузы заставят колесо сделатьследующую четверть оборота и так далее.
И чем больше длина стержней l ,считает автор, тем больше будет эта разность ∆1 и тем быстрее колесо будет вращаться.- Но, Николай Степанович, даже из этой картинки видно, что когдаколесо повернётся на 45о, момент сил тяжести левых грузов, наверное, станет больше момента правых! И он затормозит вращение колеса.- Да, ты прав. Момент левых будет больше момента правых на величину ∆2 = P l cos 45o.
В конце концов, учитывая ещё и трение в подшипниках оси, колесо остановится, сделав по инерции несколько оборотов. Такчто, конечно, этот «вечный двигатель» работать не будет.Но неожиданно через шестьсот с лишним лет в 1910 году нашёлся новый изобретатель похожего колеса. Даже известно имя автора, которым иназывается его изобретение – колесо Орфиреуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
