Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2.1Плечо h1 будет меньше h2. И моменты сил станут не равными. Праваячаша весов B1 потянет рычаг вниз, угол ϕ окажется по другую сторону горизонтали, плечо h1 станет больше h2. Вращение начнётся в другую сторону. После нескольких колебаний рычаг практически при наличии сил трения займёт горизонтальное положениеОбрати внимание, Алёша, если шарнир О находится ниже прямой ABи рычаг вывести из горизонтального положения, то левое плечо h1 будетбольше h2h1 = b cosφ + a sinφ,h2 = b cosφ – a sinφи левая чаша весов A1 потянет рычаг вниз, против часовой стрелки.Угол φ станет увеличиваться ещё больше и ни о каком равновесии говорить не придётся.- Теперь понятно, - сказал Алексей, - оказывается, действительно, всёдовольно просто.- Ты, Алёша, затронул очень интересный и очень важный вопрос - обустойчивости положения равновесия твёрдого тела.
Вот в первом рассмотренном нами случае равновесие весов было устойчиво: если рычаг вывестииз горизонтального положения, он вновь вернётся в первоначальное положение. Во втором случае, если отклонить рычаг от такого же равновесного горизонтального положения даже на очень малый угол, он уже никогда не вернётся в горизонтальное положение, угол будет увеличиваться.Равновесие окажется неустойчивым.196AKF3.RUК сожалению, в нынешних учебниках по теоретической механике, даи вообще в прикладной механике, почему-то никто не рассматривает этоточень важный для практики вопрос.Если хочешь, Алёша, приходи к нам на кафедру в следующий четвергна методический семинар.
Там мы об этом будем говорить.- Спасибо, Николай Степанович, я приду и, если можно, приведу ещёдвоих…- Приходите.Сообщение Николая Степановича на методическом семинарекафедры теоретической и прикладной механикиКак следует из курса теоретической механики, твёрдое тело будетнеподвижным, в состоянии покоя или равновесия, если выполняются дваусловия: главныйсил, приложенных к телу (векторная сумма сил),G ' векторGравен нулю, R = Σ F i = 0, и главный момент сил (векторная сумма моменGGGтов сил относительно любой точки) тоже равен нулю, M O = Σ M O ( Fi )= 0.Что произойдёт с этим телом, если в некоторый момент оно изменитсвоё положение: повернётся на малый угол или переместится в другоеблизкое место? Вернётся оно в первоначальное положение или равновесиенарушится, и тело начнёт удаляться от положения равновесия? То есть устойчиво было равновесие тела или неустойчиво?Предполагая время выхода тела из равновесного состояния достаточно малым, можно считать, что точки приложения сил к телу и направлениевекторов сил относительноG неподвижной системы не изменились.
Естественно, главный вектор R′ останется прежним, равным нулю. Но главныйGмомент M O изменится, так как плечи сил будут другими, станет не равным нулю. Тело начнёт вращаться под действием появившейся пары сил.Если эта пара будет стремиться вернуть тело в прежнее равновесноесостояние, равновесие считается устойчивым. Если же она будет направлена в сторону, в которую началось вращение, и тем самым будет удалятьтело от первоначального положения, то такое равновесие тела следует считать – неустойчивым.В этом легко убедиться, рассмотрев, например, равновесие тела поддействием двух сил. Такие силы, конечно, равны по модулю и направленыпо одной прямой в противоположные стороны. Но они могут оказывать натело разное действие в зависимости от взаимного направления: либо будутсжимать тело, либо растягивать.
В первом случае, при сжатии, равновесиебудет неустойчивым; во втором, при растяжении, устойчивым. Это довольно очевидно, достаточно повернуть тело на малый угол в любом направлении.197AKF3.RUИтак. Об устойчивости равновесия твёрдого тела можно судить лишьпо поведению главного момента сил, приложенных к телу.Пусть тело, находящееся в равновесии, повернулось вокруг некоторойоси z, перпендикулярной плоскости чертежа, на малый угол ∆φ, например,против часовой стрелки (рис. 2.2).Fi•900Fi′Fi∆Fi∆ϕ ′Airiz∆ϕOРис. 2.2Только в дальнейшем для удобства математического анализа положим, что не тело, а силы повернулись вокруг точек приложения на одинаковые углы ∆φ', равные ∆φ, но в противоположном направлении.GНа рисунке показана только одна из всех сил, сила Fi .
Её повернулиGвокруг точки приложения Ai и она заняла положение Fi′ , изменившись наGGGGвектор ∆ Fi такой, что Fi′ = Fi + ∆ Fi . Изменение силы при малом угле ∆φ'можно считать по модулю равным ∆Fi = Fi ∆φ' и направленным перпендиGкулярно Fi в сторону поворота силы.GНайдём теперь сумму моментов повёрнутых сил Fi′ относительно неGкоторой точки O, то есть момент M вр соответствующей пары сил:GGGGGGG GG GGM вр = Σ M o ( Fi′ ) = Σ( ri × Fi′ ) = Σ( ri × Fi ) + Σ( ri × ∆ Fi ) = Σ M O ( Fi ) +GG+Σ M O (∆ Fi ).Но первая сумма здесь – есть главный момент заданных сил.
Она равGна нулю по условию равновесия. Значит момент вращающей пары M вр =GGG= Σ M O (∆ Fi ) равен лишь сумме моментов добавленных сил ∆ Fi .198AKF3.RUGПовернём теперь заданные силы Fi вокруг точек приложения по наGправлению ∆φ' на угол 90° (см. рис. 2.2). Они займут положения Fi• , совGпадающие с ∆ Fi . Поэтому можно написать: ∆Fi = Fi*·∆φ'. Тогда моментвращающей парыGGGGG GGG GM вр = Σ( ri × ∆ Fi ) = Σ( ri × Fi• ∆φ') = ∆φ'Σ( ri × Fi• ) = ∆φ' Σ M o ( Fi• ).Если эта пара, определяемая суммой моментов повёрнутых на 90° силстремится повернуть тело в начальное, равновесное, положение, то естьбудет направлена по стрелке угла ∆φ', то равновесие тела следует считатьустойчивым.
Если в противоположную сторону – неустойчивым.Теперь можно сформулировать теорему, правило определения устойчивости равновесия твёрдого тела.«Нужно заданные силы повернуть на 90° вокруг точек приложения,вокруг параллельных осей, в каком-нибудь направлении и определить суммумоментов повёрнутых сил относительно какой–либо точки, то естьнайти момент соответствующей пары Mвр.Если эта пара будет стремиться повернуть тело в том же направлении, в котором повёрнуты силы, то равновесие тела устойчиво.Если в противоположном направлении или при Mвр= 0, равновесие –неустойчиво»Замечания.1. Если на тело действуют силы произвольно расположенные, то следует проверить устойчивость равновесия при повороте вокруг трёх взаимно перпендикулярных осей. Предварительно надо разложить силы на составляющие, параллельные этим осям.2. Конечно, устойчивость равновесия имеет смысл исследовать толькоу тел, имеющих степени свободы.Небольшой пример.
Прямоугольное тело находится в равновесии подGGдействием сил F1 и F2 (F1 = F2 = F) (рис. 2.3). Реакции неподвижного шарнира O: Xo = 0, Yo = 2 F.Проверим устойчивость равновесия тела. Повернём все силы на 90°против часовой стрелки. Найдём вращающий момент относительно шарнира O: MО = – F1*h + F2* (b – h) = F (b – 2 h).199AKF3.RUF1*aAF1bhOYoooYo*OBF2Рис.
2.3F2*Чтобы равновесие было устойчивым, момент MО долженбыть положительным, направленным против часовой стрелки, тоесть чтобы выполнялось условиеh < 0,5 b.Аналогичный результат получим, конечно, определив момент сил и относительно, например, точки B:M B = − F1• ⋅ b + YO • ( b − h ) == − F ⋅ b + 2 F ( b − h ) = F ( b − 2h ) .Таким же способом можно было определить устойчивость равновесияи аптечных весов, рассмотренных на рис. 2.1, a и 2.1, б.В заключение следует заметить, что в основу данной теоремы об устойчивости равновесия твёрдого тела положена идея, предложенная ещё всороковых годах прошлого века доцентом Ленинградского инженерностроительного института В.С. Костроминым.БЕСЕДА ТРЕТЬЯ «МГНОВЕННО ИЗМЕНЯЕМАЯ СИСТЕМА»- Николай Степанович, со мной в комнате живёт студент первого курса.
Ему дали на дом задачку по статике, а он никак не может её решить.Самое смешное - и я не могу. Хвастался, что неплохо разбираюсь в теоретической механике и вот попал впросак. Чувствую, что задача какая-тостранная. А в чём дело – не пойму.- Бывает такое и нередко. Ну-ка, покажи задачку.Алексей вытащил из папки лист, на котором нарисована схема пространственной конструкции, квадратная плита весом P на шести стержнях(рис. 3.1), и решение задачи.Николай Степанович посмотрел, усмехнулся и сказал:- Знакомая задача. Даже знаю в каком сборнике её взяли [9, с.42]. Там,кстати, ещё есть подобные интересные задачи. Ну и что же у вас получилось?- Да вот результат: S1 + S3 = – 0,5 P и S5 + S 6 = – 0,5 P.
А чему ониравны – не известно. Судя по ответу, все эти силы равны и равны 0,25 P.Но ведь тут неопределённость получается. Может быть и S1 = 0, а S3 == – 0, 5 P или S1 = - 0,2 P, а S3 = – 0,3 P или даже S1 = P, а S3 = – 1,5P.200AKF3.RUА ведь задача-то статически определимая, число неизвестных равночислу возможных уравнений равновесия!- Ну что ж, Алёша, ты открыл одну очень интересную страницу в теоретической механике, про которую забывают даже некоторые авторы задачи, что ещё опаснее, даже разработчикистроительных конструкций. Не мудрено, что такие конструкции разрушаются. Вспомни, как развалился недавноаквапарк в Москве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
