Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Обычно это силы трения, возникающие при скольжении одного тела по поверхности другого; сила тяжеститела переменной массы или формы; натяжение нити, намотанной на телои некоторые другие силы.Вот несколько примеров.Задача, предложенная Николаем Степановичем (см.
рис. 4.2). Тамцентр тяжести, точка приложения веса P1 свешивающейся части нити перемещается по нити. И эта часть нити движется поступательно, поэтомуточку приложения силы P1 удобно перенести на конец A нити.Направим ось x вниз и начало координат возьмём на краю стола. ТоPPгда элементарная работа силы P1 = x будет dA = xdx . А полная работаllxP1P 2A= ∫ x d x =x . И, так как в начале движения, когда x = 0, кинетическая2ll0энергия T1 = 0, а в промежуточном положении T2 =11P 2m v2 =v , то по22gтеореме об изменении кинетической энергии (T2 – T1 = A) получим урав1P 21P 2нениеv =x , из которого находим v =2l2gx2g.lВ частности, когда последняя точка нити B соскользнёт со стола (x == l), скорость точек нити будет v =lg . Решение получается правильным.Ещё одна задача.
Тяжёлая однородная нить длиной l была прикреплена обоими концами к точке O, располагалась вертикально и была неподвижна. Затем один конец её отцепился от точки O и точки правой частинити стали двигаться вниз так, что вся нить оставалась вертикальной(рис.4.3). Определим движение свободного конца нити.Начало координат возьмём в точке O. Движение конца нити определяем координатой x. Вес движущейся в этот момент части нитиP1 l−x.Px = lx = Pl2l207AKF3.RUКинетическая энергия точек нити в начале движения T1 = 0; в проме1P l −x 21Pжуточном положении T2 = x v 2 =v .
Элементарная работа веса4g l2 gдвижущейся части нити, так как она опускается поступательно dA = Px·dxx1 l−x1P1P(l − x) dx = x(2l − x) .dx . Работа веса на перемещении x A == P∫l22l 04lПо теореме T2 – T1 = A, получим уравнение1Pl−x 2 1Pv =x (2l − x) ,4l4g l(2l − x) xg.l−xТеперь можно определить скорость конца нитиO°в любом положении.Николай Степанович терпеливо выслушал решение этой задачи и сделал замечание.- Ты, Алёша, использовал теорему об измененииlкинетической энергии.
Но, к сожалению, в таком виx2де эта теорема здесь не работает, так как мы имеемдело с телом переменной массы. Так что полученный результат не верен. А вот решение первой задачи было правильным, там масса движущейся нитипостоянна. Об определении движения тел переменной массы мы с тобой как-нибудь специально погоlxворим. Но даже при твоём не совсем правильномsPxрешении можно сделать неожиданный, но правильный вывод.
Обрати внимание, что в конце движенияпри x = l скорость v становится бесконечно большой. Правда, это очень интересно? Если ты когданибудь видел и слышал, как хлопают кнутом пастуxхи, то теперь можешь объяснить, как это у них полуРис.4.3чается. Скорость точки на конце кнута преодолеваетзвуковой барьер (как реактивный самолёт) и слышится резкий хлопок.Можешь сам попробовать: щёлкнуть даже коротким хлыстом с тонкимконцом.- У меня, Николай Степанович, есть ещё один, кажется, интересныйпример. Вот я нарисовал диск, который равномерно вращается с угловойскоростью ω (рис.4.4), а по нему с постоянной скоростью v в одной плоскости с осью вращения скользит вертикальный стержень.из которого находим скорость конца нити в данном положении v =208AKF3.RUСилы трения действуют и на диск, и на стержень.
Какую работу совершают эти силы?υωОF1α○MF2Рис.4.4На основании первого следствия из теоремы следует показать две сиGлы трения. Одна сила F1 приложена к стержню, направлена в сторону, противоположную его скорости относительно вращающегося диска, и мощность её равна W1 = – F1· v ·cosα = – N f v cosα, где N – нормальная реакциядиска, f – коэффициент трения скольжения, α – угол между вектором скоGGGрости стержня v и вектором силы трения F1 . Другая сила F2 , равная иGпротивоположно направленная силе F1 , приложена к диску. Мощность её,определяемая скоростью той точки диска, на которую опирается стержень,равна W2 = - F2 v esinα = - F2 OM ω sinα = - Nf v t ω sinα.Из рис.4.5, на котором показаны скорости точки M стержня, следуетF1ve v t ωωυe== ωt .tgα =vvυO°sin αMαЗначит, cosα =.
Поэтому полнаяωtυrмощность сил трения W = W1 + W2 =Рис.4.5⎛ 1⎞= − Nf v ⎜+ ωt ⎟ sin α .⎝ ωt⎠tg αωt=, то W = − N f v 1 + ω2t 2 .Так как sin α =1 + tg 2 α1 + ω2t 2209AKF3.RUРаботу сил трения на перемещении за время t можно найти как интеграл:t()1vNfωt 1 + ω2t 2 + Arsh ωt .ω20- Ну, ты, Алёша, молодец. Хорошо разобрался в этой теории. Да ивысшую математику знаешь неплохо.∫А = Wdt = −В заключении Николай Степанович отметил, что материал, о которомрассказал А.Игнатьев, очень интересный. И, если кто заинтересовался,пусть попробует ответить хотя бы на пару таких вопросов: будет ли совершать работу вес куска льда, поставленного на горячую сковородку и,наоборот, если испаряется только верхняя часть его; будет ли совершатьработу вес пассажира, шагающего вверх по эскалатору, который движетсявниз с такой же скоростью?БЕСЕДА ПЯТАЯ «ПОГОВОРИМ О СИЛАХ»- Николай Степанович, можно задать вам, как мне кажется, довольновредный вопрос?- Это почему же «вредный», Алёша? Ты меня прямо напугал …- А вот я сейчас посмотрю, как будете, извините, оправдывать сказанное на прошлой лекции.
Помните, когда говорили о теореме о движениицентра масс, вы доказывали, что изменить его движение могут тольковнешние силы. И привели два интересных примера. Мол, автомобиль движется под действием сил трения, возникающих между ведущими колёсамии дорогой, так как это единственные внешние силы, приложенные к автомобилю, которые направлены горизонтально и вперёд.И второй пример. Что человек может подпрыгнуть только за счёт реакции, нормальной реакции поверхности, так как это единственная внешняя сила, приложенная к человеку, которая направлена вертикально вверх.- Ну и что же тебя смущает, дорогой Алёша?- А как объяснить, почему человек, стоящий, например, на скамейке,подпрыгивает, а скамейка остаётся неподвижной? Ведь нормальная реакция поверхности приложена в первую очередь к скамейке и будет такойже, даже большей, величины? А вот, если скамейку прикрепить к ногамчеловека, то она «подпрыгнет» вместе с человеком! При условии, конечно,что скамейка не очень тяжёлая.
Значит, к человеку прикладывается какаято другая сила, направленная вверх и приложенная только к человеку!210AKF3.RU- Да, - подумав немного, сказал Николай Степанович, - это интересно.Признаться, меня самого иногда смущало такое примитивное и, казалосьбы, естественное объяснение. И если уж даже для тебя такое объяснениеоказывается не очень доказательным, давай попробуем во всём этом разобраться.
Ты, Алёша, поднимаешь интересный вопрос.- И ещё, Николай Степанович, эти силы, сила трения у колёс автомобиля и нормальная реакция у подпрыгивающего человека приложены к поверхностям тел в точках, скорости которых равны нулю, и работу не совершают. Об этом я докладывал как-то на методическом семинарекафедры. Значит, эти силы не могут изменить кинетическую энергию тел,то есть не могут и заставить эти тела двигаться.- Давай разберёмся сначала с прыгающим человеком. Тут, Алёша, намнадо рассуждать так.
Рассмотрим сам процесс прыжка.Готовясь к прыжку, человек приседает (рис. 5.1), сжимая мышцы ноги бёдер как пружины. Затем резко выпрямляется под действием силы F,вызванной этой «пружиной».Тело приобретает скорость центра тяжести υc,направленную вверх. И как только, в какой-то момент t0, выпрямление«пружины» закончится, туловище по инерции продолжит движение вверх,увлекая за собой и ноги, отделив их от поверхности пола.υCυCυ00PNPWCPtFинFt0Рис. 5.2Рис. 5.1Таким образом, прыжок человека происходит не под действием реакции пола N на подошвы ботинок, а вызывается «упругой» силой F сжатых ног, приложенной к туловищу.211AKF3.RUКстати эта сила F, вызывающая движение тела, порождает силу инерции его. По принципу Даламбера сила F = F ин – P.
А сила инерции определяется ускорением тела, изменением скорости. На рис. 5.2 даны графики характеристик движения. Видим, что скорость vC , достигнувмаксимума где-то в конце выпрямления ног, начнёт быстро уменьшаться.GУскорение Wc становится большим и направленным вниз, а сила инерции –вверх. И чем быстрее изменяется скорость, тем больше ускорение и силаинерции, а значит, и сила F, и тем выше человек подпрыгнет.Так что спортсмену надо заранее хорошо потренироваться,продумать сам процесс выпрямления ног. И не так как выпрямляетсяобычная пружина, по гармоническому закону.
А сделать так, чтобы в конце выпрямления скорость тела была как можно больше, а остановка егобыла бы резкой, кратковременной. Опытные спортсмены это знают и автоматически, а может инстинктивно, так и поступают.- Мой сосед в общежитии как раз занимается прыжками. Я его познакомлю с нашими выводами. Может, они его заинтересуют и помогут вчём-то. А теперь, Николай Степанович, давайте разберёмся с движениемавтомобиля.- Конечно. Но сначала, Алёша, скажи мне, какие силы двигают вагонетку, которую толкает человек.Вот посмотри на эту картинку(рис.5.3). Наверное, не сила тренияFтр, приложенная к подошве ботинка,хотяэто единственнаявнешняя сила действующая на сисFтему человек-вагонетка и направленная горизонтально. Скорее всегоэто будет сила F, приложенная руFтрками человека к вагонетке, и равРис.5.3ная силе трения Fтр.Теперь по аналогии можно сообразить, какие силы движут автомобиль. Конечно, это силы, приложенные колёсами к оси автомобиля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
