Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики (1079976), страница 17
Текст из файла (страница 17)
А моменты инерции некоторых тел, которыечаще всего встречаются при исследовании движенияматериальных систем, даны на рис. 14.2.Рис. 14.2На рисунке даны моменты инерции тел относительно осей симметрии.Но нередко при исследовании движения реальных механизмов приходитсяопределять моменты инерции относительно осей, не совпадающих с осямисимметрии.
Этому помогают следующие теоремы.106AKF3.RUТеорема Гюйгенса-Штейнера о моментах инерции телаотносительно параллельных осейНайдем зависимость между моментами инерции тела относительнопараллельных осей z и С (рис. 14.3). Ось С, проходящая через центр масстела, называется центральной осью. Расстояние между осями – а.По определению (14.3) J z = ∑ mi ri2 , причёмri2 = xi2 + yi2 .Но из заштрихованного прямоугольногоczтреугольника (см. рис. 14.3) следует, чтоρ i2 = xi2 + ( a − yi ) = xi2 + yi2 + a 2 − 2 ayi =2ri= ri2 + a 2 − 2ayi . Значит ri2 = ρi2 − a 2 + 2ayiи момент инерции относительно оси zJ z = ∑ m i ρ i2 − ∑ m i a 2 + ∑ m i 2 a y i == J c − Ma 2 + 2a ∑ mi yi .Но по формуле∑ mi yi = M y c = Ma .(14.2)суммаximiρiCOriyixρiyaРис.14.3Поэтому Ј z = Ј c − Ma 2 + 2 Ma 2 = Ј c + Ma 2 .Следовательно, момент инерции тела относительно оси z равен сумме момента инерции тела относительно центральной оси С, параллельнойоси z, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осямиJ z = J c + Ma 2 .(14.4)Так, например, момент инерции стержня относительно оси z211⎛l⎞(см.
рис.14.2) J z = Ml 2 + M ⎜ ⎟ = Ml 2 . А момент инерции прямо 123⎝2⎠угольного параллелепипеда относительно оси z , проведенной по ка⎛ a 2 b2 ⎞122+ ⎟=кому-нибудь вертикальному ребру J z = M a + b + M ⎜⎜124 ⎟⎠⎝ 41= M a 2 + b2 .3(())107AKF3.RUМомент инерции тела относительно произвольной осиНайдем момент инерции тела относительно оси u, проходящей черезнекоторую точку О (рис. 14.4).По определению момент инерцииJ u = ∑ mi ρi2 .Поместим в точку О начало координатных осей x, y, z. Из прямоугольноготреугольникаОАМiследуетρi2 = ri2 − OA2 , где r 2i = xi2 + y i2 + z i2 .И так как радиус-вектор точки M iG GGGравен ri = xi + yi + zi , то, проектируяэто равенство на ось u, получимOA = xi cos α + yi cos β + zi cos γ (α,β,γ –– углы между осью u и осями x, y, z).Как известно из тригонометрииРис.
14.4cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1.()Поэтомуρi2 = ri2 − OA 2 = ri2 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ − ( xi cos α + yi cos β + zi cos γ )2 == xi2 cos 2 α + xi2 cos 2 β + xi2 cos 2 γ + yi2 cos 2 α + yi2 cos 2 β + yi2 cos 2 γ + zi2 cos 2 α ++ zi2 cos 2 β + zi2 cos 2 γ − xi2 cos 2 α − yi2 cos 2 β − zi2 cos 2 γ − 2 xi yi cos α cos β −− 2 yi zi cos β cos γ − 2 xi zi cos α cos γ.И, группируя подобные члены, содержащие косинусы одинаковых углов,()()()ρi2 = yi2 + zi2 cos 2 α + xi2 + zi2 cos 2 β + xi2 + yi2 cos 2 γ − 2 xi yi cos α cos β −− 2 yi zi cos β cos γ − 2 xi zi cos α cos γ.Но yi2 + zi2 = ai2 ; xi2 + zi2 = bi2 ; xi2 + yi2 = ci2 , где ai , bi , ci – расстоянияот точки Мi до осей x, y, z соответственно. ПоэтомуJ u = ∑ mi ρ i2 =−2(∑ mi ai2 )cos 2 α + (∑ mibi2 )cos 2 β + (∑ mi ci2 )cos 2 γ −(∑ mi xi y y )cos α cos β − 2(∑ mi yi z y )cos β cos γ − 2(∑ mi xi z y )cos α cos γилигде108J u = J x cos 2 α + J y cos 2 β + J z cos 2 γ − 2 J xy cos α ⋅ cos β −− 2 J yz cos β ⋅ cos γ − 2 J xz cos α ⋅ cos γ,(14.5)Jx, Jy, Jz – моменты инерции тела относительно осей координат;AKF3.RUJxy, Jyz , Jxz – центробежные моменты инерции относительно осей, отмеченных в индексах.Если два центробежных момента инерции, оба содержащих в индексах названия какой-нибудь одной оси, равны нулю, то эта ось называетсяглавной осью инерции.
Например, если Jyz = 0 и Jxz = 0, то ось z – главнаяось инерции.Так как все моменты инерции зависят от того, где находится точка О,от выбора начала координат, то обязательно надо указать, для какой точкиопределены эти моменты инерции. Если начало координат взято в центремасс С, то все главные оси инерции называются главными центральнымиосями инерции.Если в данной точке координатные оси являются главными осямиинерции (центробежные моменты инерции относительно их равны нулю),то формула (14.5) упрощаетсяJ u = J x cos 2 α + J y cos 2 β + J z cos 2 γ .(14.6)Иногда по некоторым признакам нетрудно найти главные оси инерции тела.1. Если у однородного тела имеется ось симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.Действительно.
Направим координатную ось z по оси симметрии. Тогда для каждой точки тела с координатами (xi, yi, zi) можно отыскать точкус координатами (–xi, –yi, zi) и поэтому центробежные моменты инерцииJ xz = ∑ mi xi zi = 0 и J yz = ∑ mi y i z i = 0 . Значит ось z – главная ось инерциии центральная ось, так как центр масс, как известно, находится на осисимметрии. Причем, эта ось будет главной для любой точки, расположенной на оси симметрии.2.
Если у однородного тела имеется плоскость симметрии, то любаяось, перпендикулярная ей, будет главной осью инерции для всех точекэтой плоскости.Направим ось z перпендикулярно плоскости симметрии из любой ееточки О, назначив там начало координат. Тогда для каждой точки тела скоординатами (xi, yi, zi) можно найти симметричную ей точку с координатами (xi, yi, – zi). Поэтому центробежные моменты инерции Jxz и Jyz будутравны нулю.
Значит ось z – главная ось инерции.109Пример. Определим момент инерции диска относительно оси u,расположенной под углом γ к оси симметрии диска z, в плоскости yCz(рис. 14.5).Оси x, y и z – главные центральныеоси инерции, так как они являются осямисимметрии.J u = J x cos 2 α + J y cos 2 β +Тогда+ J z cos 2 γ , где γ – угол между осями uРис. 14.5и z; угол β – угол между осями u и y,равный (900 +γ); угол α – угол между осями u и x, равный 90°.
ПоэтомуJ u = J x cos 2 90 0 + J y cos 2 (90 0 + γ ) + J z cos 2 γ = J y sin 2 γ + J z cos 2 γ ==()111Mr 2 sin 2 γ + Mr 2 cos 2 γ = Mr 2 sin 2 γ + 2 cos 2 γ .424AKF3.RUXV. Энергия материальной системы§1. Работа силыЕсли точка приложения силы движется по прямолинейнойG траектории, то работой постоянной по величине и направлению силы F на перемещении точки, равном s (рис. 15.1), называется выражениеA = F ⋅ s ⋅ cos α .(15.1)Поскольку от выбора угла α или β зависит знак работы, то договоримся брать всегдаострый угол α между вектором силы и траекторией. И будем считать работу положительной, если направление силы совпадает с наРис.
15.1правлением перемещения точки приложениясилы из начального положения в конечное.Из (15.1) следует, что если вектор силы перпендикулярен траектории,работа силы равна нулю.110AKF3.RUЕсли вектор силы изменяется и точка приложения ее движется покривой линии, то формула (15.1) неприменима. В этом случае надо сначалавычислить элементарную работу силы на перемещении ds (рис. 15.2)dA = Fds ⋅ cos α ,(15.2)где α – угол между касательной осью Т иGвектором силы F . А затем, предполагая силу F и угол α функциями s, найти криволинейный интеграл на перемещении по дуге изположения M1 в положение М2:A = ∫ Fds cos α .Рис. 15.2(s)Выражение элементарной работы dA можно преобразовать, полагаяGG dr:ds = vdt и v =dtG GG GdA = F ⋅ v dt ⋅ cos α = F ⋅ v dt = F ⋅ dr .(15.3)Определим далее радиус-вектор точки М с помощью ее координат:GGGGGGGGr = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k и dr = dx ⋅ i + dy ⋅ j + dz ⋅ k , а вектор силы – с помощьюGGGGпроекций на оси: F = X ⋅ i + Y ⋅ j + Z ⋅ k .
Тогда скалярное произведениеG Gдвух векторов F ⋅ dr , то есть элементарная работа силыdA = Xdx + Ydy + Zdz.(15.4)Конечно, чтобы проинтегрировать это выражение, надо проекции силы определять как функции координат точки приложения силы.Пример 15.1. Работа веса тела (силы тяжести).Пусть тело перемещается вблизиповерхности Земли из одного положения в другое так, что центр тяжестиего движется по кривой линии(рис.15.3). Элементарная работа силыGP , постоянной и направленной вертикально вниз, по выражению (15.4),dA = – Pdz. Поэтомуz2A = − ∫ Pdz = − P ( z 2 − z1 ) = P ( z1 − z 2 )Рис. 15.3z1илиA = Ph.(15.5)111AKF3.RUСледовательно, работа веса тела (постоянной силы тяжести) не зависит от траектории движения центра тяжести.
Определяется лишь высотой,на которую опустится или поднимется центр тяжести.Пример 5.12. Работа силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.В этом случае (рис.15.4) точка приGложения силы F движется по дуге окружности радиусом r. Элементарная работа вычисляется по формуле (15.2)dA = Fds ⋅ cos α , где ds = rd ϕ .
ПоэтомуdA = Fr d ϕ ⋅ cos α .GНо Fr ⋅ cos α = Fτr = M z ( F ) . Это нетрудно установить, разложив силу натри составляющие (см. рис. 15.4). (МоGGменты сил Fb и Fn относительно оси zравны нулю). Значит,GРис. 15.4(15.6)dA = M z ( F ) ⋅ dϕ .GВ частности, если момент силы относительно оси M z ( F ) = const ,работа силы при повороте тела на угол ϕ равнаGA = ± M z (F ) ⋅ ϕ .(15.7)Знак работы определяется знаками момента силы и угла поворота. Если они одинаковы, работа положительная.Из формулы (15.7) следует и правило определения работы пары сил.Если пара с моментом m расположена в плоскости, перпендикулярной осивращения тела, то ее работа при повороте тела на угол ϕA = ± mϕ.(15.8)Если же пара сил действует в плоскости, не перпендикулярной осивращения, то ее надо заменить двумя парами. Первую расположить в плоскости, перпендикулярной оси, другую – в плоскости параллельной оси.GМоменты их определяются разложением вектора момента m по соответстG GGвующим направлениям m = m1 + m2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
