Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики, страница 3

1.2). Под действием таких сил телонаходится в равновесии. Естественно, если ктелу приложить еще какие-нибудь уравновешивающиеся силы или убрать их, равновесиеРис. 1.2тела не нарушится.5. Равнодействующая. Равнодействующей будем называть такую силуR , которая может заменить несколько сил, то есть оказывает на тело такоеже действие, как эти силы. Таким образом, равнодействующая – это сила,эквивалентная нескольким силам.Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке тела, находится построением параллелограмма на этих силах (рис. 1.3) иопределяется как их векторная сумма:R = F1 + F2 .Модуль равнодействующей как диагональ параллелограммаR = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos α .Рис.

1.3Конечно, R ≠ F1 + F2 . Такое равенствобудет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по однойпрямой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярны-ми, то R = F12 + F22 .6. Нам потребуется третий закон Ньютона, который запишем так:∗Если на чертеже сила изображена вектором, то знак вектора можно не ставить(рис. 1.2).12AKF3.RUПри действии одного тела на другое возникают две силы, равные повеличине, направленные по одной прямой в противоположные стороны иприложенные к телам в точке касания.Конечно, эти силы не уравновешиваются, потому что они приложенык разным телам.7.

Свободное и несвободное тело. Свободным телом будем называтьтело, которое может быть перемещено из данного положения в любом направлении. Если хотя бы в одном направлении движение тела ограничено,то оно называется несвободным.Материальные тела или устройства, которые ограничивают перемещение тела, называются связями.Например, тело, лежащее на столе – несвободное тело. Связью его является плоскость стола, которая препятствует перемещению тела вниз.Очень важен так называемый принцип освобождаемости, которымбудем пользоваться в дальнейшем.

Записывается он так.Любое несвободное тело можно сделать свободным, если связи убрать, а действие их на тело заменить силами такими, чтобы тело оставалось в равновесии.Эти силы, заменяющие связи, называются реакциями этих связей.Так, у тела, лежащего на столе, связь – стол. Тело несвободное. Сделаем его свободным – стол уберем, а чтобы тело осталось в равновесии, заменим стол силой, направленной вверх и равной, конечно, весу тела.На рис. 1.4 даны наиболее типичные виды связей и их реакции.Несколько замечаний к этому рисунку.а) Реакцию нити (или стержня, прикрепленного к телам шарнирами)обозначают S и направляют по нити (или стержню) от тела.

Если дажезаранее можно догадаться, что реакция направлена к телу, все равно ее надо направить от тела. Таково правило. Оно избавляет от лишних и ненужных предположений и, как убедимся далее, помогает установить, сжатстержень или растянут.б) Реакцию поверхности (нормальная реакция N ) всегда надо направлять к телу перпендикулярно касательной к этой поверхности и прикладывать к телу в точке соприкосновения.Если поверхности негладкие, надо добавить еще одну силу – силу трения Fтр , которая направлена перпендикулярно нормальной реакции N всторону, противоположную возможному скольжению тела.13AKF3.RUРис. 1.414AKF3.RUв) Шарнирно-подвижная опора А препятствует движению тела тольков направлении, перпендикулярном плоскости скольжения опоры.

Поэтомуреакция направляется перпендикулярно этой плоскости.г) Направление реакции шарнирно-неподвижной опоры B предугадатьтрудно. Поэтому рассматривают ее как сумму взаимно перпендикулярныхсил X B и Y B .д) Тело, неподвижно прикрепленное к поверхности (заделка). Этасвязь препятствует и перемещению во всех направлениях, и повороту тела.Поэтому ее реакция состоит из двух взаимно перпендикулярных сил и пары, которая препятствует вращению (понятие о паре будет дано ниже).е) При определении реакций связи других конструкций надо установить, разрешает ли она двигаться вдоль трех взаимно перпендикулярныхосей и вращаться вокруг этих осей. Если препятствует какому-либо движению, показать соответствующую силу, если препятствует вращению – парус соответствующим моментом.8.

Иногда приходится исследовать равновесие нетвердых тел. Приэтом будем пользоваться предположением, что если это нетвердое тело находится в равновесии под действием сил, то его можно рассматривать кактвердое тело, используя все правила и методы статики.II. Система сходящихся силСистема сходящихся сил – это силы, приложенные к телу, линии действия которых пересекаются в одной точке.§1. Сложение системы сходящихся силПусть на тело действует несколько сил, линии действия которых пересекаются в одной точке O (ограничимся тремя силами, чтобы чертеж получился попроще). Силы приложены в точках А1, А2, А3 и расположены не водной плоскости, а, как говорят, в пространстве (рис.

2.1). Перенесем всесилы по линиям действия в точку О. Получим «пучок» сил.Сложим сначала две силы F1 и F2 , приложенные к одной точке(см. I, п. 3), построением параллелограмма OABD. Равнодействующая ихR1 = F1 + F2 . Затем эту силу R1 складываем таким же способом с силойF3 . Найдем их равнодействующую R = R1 + F3 = F1 + F2 + F3 . Это будет15AKF3.RUравнодействующая всех заданных здесь сил. Если бы сил было больше, тои их равнодействующую можно найти таким же способом.Таким образом, делаем вывод: в результате сложения сходящихся сил получится сила, равнодействующая их, линиядействия которой проходит через точку пересечения линий действия заданных сил, и равная векторной сумме всех сил:nR = ∑ Fi ,(2.1)i =1где n – число сил.Из рис.

2.1 видно, что равнодействующую двух первых сил R1 можно было не определять, а находить равнодействующую сразу всех сил построением многоугольникаРис. 2.1ОАВС, стороны которого равны и параллельны векторам заданных сил. Этот пространственный многоугольник, сторонами которого являются векторы сил, называется многоугольником сил.Нетрудно заметить, что если конец последней силы (точка С в нашемпримере) окажется в точке О, равнодействующая будет равна нулю. Этобудет означать, что эти сходящиеся силы уравновешиваются, и тело, к которому они приложены, будет находиться в равновесии. А так какR = ∑ Fi , то условием, при котором сходящиеся силы уравновешиваются,или проще – условием равновесия системы сходящихся сил является необходимость и достаточность замкнутости многоугольника сил или равенство нулю векторной суммы всех сил:∑ Fi = 0 .§2.

Аналитический способ определения равнодействующейсистемы сходящихся сил. Уравнения равновесияДадим сначала определение проекции вектора силы на ось.Если вектор силы F1 и ось х расположены в одной плоскости(рис. 2.2), то, как видно из рисунка, проекцией силы на ось будет отрезокоси X1, равныйX 1 = F1 ⋅ cos α .16AKF3.RUТак как между линией действия силы и осью имеются два угла α и β,то, чтобы правильно вычислить проекцию, следует пользоваться такимправилом.Проекция силы на ось определяется как произведение модулясилы на косинус острого угла между осью и линией действия силы.Проекция считается положительной, если вектор силы и ось наРис. 2.2правлены в одну сторону от перпендикуляра Н к оси (см.

рис. 2.2).πКонечно, если вектор силы перпендикулярен оси ( α = ), проекция2силы равна нулю.Если вектор силы F и ось х не лежат водной плоскости (рис. 2.3), то, чтобы определить проекцию силы на ось х, надо силуспроектировать на ось х1, параллельную осих и проходящую через начало вектора силы,по предыдущему правилу. А знак проекцииопределять в зависимости от того, в какуюсторону направлены ось и вектор силы отплоскости Н, перпендикулярной оси.Заметим, что проекция силы на осьравна нулю, если вектор силы расположен в плоскости, перпендикулярной оси.Пример 2.1.

На рис. 2.4 показаны триРис. 2.3силы. Проекции сил F1 и F2 на оси х, у, zочевидныX 1 = − F1 ; Y1 = 0; Z1 = 0; X 2 = F2 sin α;Y2 = 0; Z 2 = − F2 cos α.Чтобы найти проекцию силы F3 наРис. 2.4ось х, нужно использовать правило двойного проектирования.17AKF3.RUПроектируем силу сначала на плоскость хОу, в которой расположенаось (см. рис. 2.4), получим вектор Fxy величиной Fxy = F3 sin β, а затем егопроектируем на ось х: X 3 = − Fxy cos γ = − F3 sin β ⋅ cos γ.Аналогично действуя, найдем проекцию на ось у:Y3 = − Fxy sin γ = − F3 sin β ⋅ sin γ .Проекция на ось z находится проще: Z 3 = F3 cos β .

Нетрудно убедиться, что проекции сил на ось υ равны:V1 = F1 cos γ;V2 = − F2 sin α ⋅ cos γ;V3 = Fxy cos (180° − 2γ ) = − F3 sin β ⋅ cos 2γ.Рис. 2.5При определении этих проекций удобно воспользоваться рис. 2.5, видом сверху на расположение сил и осей.GВернемся к системе n сходящихся сил Fi(рис. 2.6). Проведем оси координат с началом вточке пересечения линий действия сил в точке О.Мы уже знаем (2.1), что равнодействующая силR = ∑ Fi .