Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики, страница 6

Если спроектировать это векторное равенство на какуюнибудь ось, например z, проходящую через точку А, то, имея в виду доказанный ранее результат (3.4), получим теорему Вариньона в другой форме.Если у системы сил имеется равнодействующая, то момент ее относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой осиM z ( R) = ∑ M z ( Fi ).(5.9)2. Возможен и другой случай, при котором, наоборот, главный векторравен нулю ( R ' = 0), а главный момент относительно данного центра О неравен нулю ( M O ≠ 0 ). Это означает, что в результате сложения сил получится только пара с моментом M O .А так как момент пары сил относительно любой точки равен моментуэтой пары (IV, §2), то в этом случае, когда R' = 0, главный момент не зависит от выбора центра приведения.

Относительно любой точки О он будетодинаков и равен M O = ∑ M O ( Fi ) .3. И, наконец, может оказаться, что и главный вектор R' , и главныймомент M O равны нулю. В этом случае силы уравновешиваются, а телопод действием этих сил находится в равновесии.А таккак R' = (∑ X i ) 2 + (∑ Yi ) 2 + (∑ Z i ) 2 иглавныймоментM O = [∑ M x ( Fi )]2 + [∑ M y ( Fi )]2 + [∑ M z ( Fi )]2 , (5.3) и (5.6), то дляравновесия тела необходимо выполнение шести условийG⎪∑ M x ( Fi ) = 0;⎫∑ X i = 0;⎫⎪G⎪⎪0;=(5.10)YMF=()0;∑y i⎬∑ i⎬G⎪∑ M z ( Fi ) = 0.⎪⎪∑ Z i = 0; ⎪⎭⎪⎭Эти условия называются уравнениями равновесия сил, произвольнорасположенных в пространстве.В частности, если силы расположены в одной плоскости, то, направивоси так, чтобы ось z стала перпендикулярна этой плоскости, третье уравнение ∑ Z i = 0 , четвертое ∑ M x ( Fi ) = 0 и пятое ∑ M y ( Fi ) = 0 обратятся в32AKF3.RUтождества, а в шестом – моменты сил относительно оси z будут равны моментам относительно точки О, точки пересечения оси и плоскости.Останутся только три уравнения из шести:⎫∑ X i = 0;⎪∑ Yi = 0;⎬∑ M 0 ( Fi ) = 0.

⎪⎭(5.11)Так как в системе уравнений (5.10) уравнения моментов удовлетворяются относительно любой оси, то таких уравнений моментов можно составить больше трех, хоть все шесть.Точно так же в системе уравнений (5.11) для плоской системы силможно составить и два, и три уравнения моментов. Поэтому возможны триварианта∑ X i = 0, ⎫⎪∑ Yi = 0, ⎬ I∑ M Ai = 0.⎭⎪∑ X i = 0, ⎫⎪∑ M Ai = 0, ⎬ II∑ M B i = 0. ⎭⎪∑ M Ai = 0,⎫⎪∑ M Bi = 0,⎬ III∑ M C i = 0.⎪⎭(5.12)Правда, имеются ограничения на выбор точек и осей. Например, прииспользовании II варианта точки А и В не должны лежать на прямой, перпендикулярной оси; а в III варианте – точки А, В и С не должны располагаться на одной прямой.Пример 5.1.

Рама АВ (рис. 5.4) удерживается в равновесии шарниромА и стержнем ВС. На краю рамы находится груз весом Р. Определим реакции шарнира и усилие в стержне.Рис. 5.4Порядок решения задач остается прежним (см. пример 2.2).Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.Строим расчетную схему, изобразив раму свободным телом и показавGвсе силы, действующие на нее: реакции связей и вес груза P .

Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.33AKF3.RUКаким вариантом уравнений (5.12) нужно воспользоваться? Желательно составить такие уравнения, чтобы в них было по одной неизвестной силе. Поэтому попробуем воспользоваться III вариантом, составляя уравнения моментов относительно трех точек, точек пересечения линий действиянеизвестных сил.В нашей задаче это точка А, где приложены неизвестные X A и Y A ;точка С, где пересекаются линии действия неизвестных сил Y A и S ; точкаD – точка пересечения линий действия сил X A и S .

Но, поскольку расстояния до точки D находятся не очень просто, воспользуемся II вариантом, составив уравнение проекций сил на ось у (на ось х проектировать нельзя, т.к.она перпендикулярна прямой АС).И прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное замечание. Если на расчетной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо ее найти сложно, то при определении момента рекомендуется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные.

Вданной задаче разложим силу S на две: S x и S y (см. рис. 5.4) такие, чтомодули их S x = S sin α, S y = S cos α.Y A − P − S cos α = 0;Составляем уравнения: ∑ Yi = 0;∑ M Ai = 0; − Pa − S y a − S x b = 0;∑ M Ci = 0;X A ⋅ AC − Pa = 0.Из второго уравнения находим S = − Paa. Из третьегоa cos α + b sin αaуравнения X A = P=P. Теперь из первого уравнения получимACb + a ctg αa⎛⎞.YA = P + S cos α = P⎜1 −⎟⎝ a cos α + b sin α ⎠Пример 5.2. Прямоугольная полка весом Р удерживается в горизонтальном положении двумя стержнями СЕ и DE, прикрепленными к стене вточке Е (рис. 5.5). Стержни одинаковой длины, AB = 2a, EO = a. Определим усилия в стержнях и реакции петель А и В.Рассматриваем равновесие плиты.

Строим расчетную схему. Реакциипетель принято показывать двумя силами, перпендикулярными оси петли:Y A , Z A и YB , Z B .34Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Можем составить шесть уравнений. Неизвестных – тоже шесть.Рис. 5.5Какие уравнения составлять – надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в каждом было поменьше неизвестных.Составим такие уравнения:AKF3.RU∑ X i = 0; − S1 cos α ⋅ cos 45 + S2 cos α ⋅ cos 45 = 0;∑ M ui = 0; − Z A ⋅ a − Z B ⋅ a + P ⋅ 0,5a = 0;∑ M zi = 0; YA ⋅ a − YB ⋅ a = 0;∑ M xi = 0; S1 sin α ⋅ a + S2 sin α ⋅ a − P ⋅ 0,5a = 0;∑ Yi = 0; YA + YB − S1 cos α ⋅ cos 45 − S2 cos α ⋅ cos 45 = 0;∑ M yi = 0; − Z A ⋅ a + Z B ⋅ a − S1 sin α ⋅ a + S2 sin α ⋅ a = 0.Из уравнения (5.13) получимS1 = S 2 =1 P.4 sin αИзуравнения(5.13)(5.14)(5.15)(5.16)(5.17)(5.18)S1 = S 2 .

Тогда из (5.16)(5.14)Y A = YBипо(5.17)12Y A = 2S1 cos α ⋅ cos 45 . Значит, YA = YB = P ctgα ⋅ cos 45D. Так как S1 = S 2 ,4то из уравнения (5.18) следует Z A = Z B . Тогда по уравнению (5.14)Z A = ZB ==1P. Из треугольника ∆ ОЕС, г д е EC = OC 2 + OE 2 =4(a 2 )2 + a2 = a3 , следует sin α =OC a 22EOa3== ,==, cosα =EC a 3 3EC a 33ctgα = 2.

Поэтому S1 = S 2 = 0,25 3P , YA = YB = 0,25P, Z A = Z B = 0,25P.35AKF3.RUДля проверки решения можно составить еще одно уравнение и посмотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций:1∑ Z i = Z A + Z B − P + S1 sin α − S 2 sin α = 0,25 P + 0,25 P − P + 0,25 3 ⋅ +31+ 0,25 3 ⋅= 0. Задача решена правильно.3VI.

Центр тяжести§1. Сложение параллельных сил. Центр параллельных силПусть даны две параллельные силы F1 и F2 , направленные в однусторону и приложенные к точкам A1 и A2 (рис. 6.1).Конечно, величина их равнодействующей R = F1 + F2 . Вектор ее параллелен силам и направлен в ту же сторону. С помощью теоремы Вариньона(5.8) найдем точку приложения равнодействующей – точку С.

По этой теореме M C R = ∑ M C Fi . Значит,Рис. 6.10 = F1 ⋅ A1C ⋅ cos α − F2 ⋅ A2 C ⋅ cos α.()( )A 1C F2=. То есть точка приложения равнодействующейA2 C F1делит расстояние между точками A1 и A2 на части, обратно пропорциональные силам.Если параллельные силы направлены в противоположные стороны(рис. 6.2), то аналогично можно доказать, что равнодействующая по величине будет равна разности сил: R = F2 − F1 (если F2 > F1 ), параллельна им,направлена в сторону большей силы и расположена за большей силой – вточке С. А расстояния от точки С до точек приложения сил обратно проAC Fпорциональны силам: 1 = 2 .A2 C F1Следует заметить, что если точка приложения равнодействующей расположена на одной прямой с точками A1 и A2 , точками приложения сил,то при повороте этих сил в одном направлении на одинаковый угол равно-Отсюда36AKF3.RUдействующая также повернется вокруг точки приложения С в том же направлении и останется параллельной им.Такая точка приложения равнодействующей называется центром параллельныхсил.Конечно, если хотя бы одну из сил перенести по своей линии действия в другую точку, то и точка приложения равнодействующей, центр параллельных сил, тоже перемесРис.

6.2тится по линии действия.Следовательно, положение центра параллельных сил зависит от координат точек приложения сил.Центром нескольких параллельных сил, найденным последовательным сложением каждых двух сил, будем называть точку С, радиус-векторкоторой определяется формулойF ⋅rF ⋅rrc = ∑ i i = ∑ i i ,(6.1)R∑ Fiгде ri – радиусы-векторы точек приложения сил; R = ∑ Fi – величина равнодействующей параллельных сил, равная алгебраической сумме этих сил(знак силы определяется направлением, которое заранее выбирается и считается положительным).Используя равенство (6.1), нетрудно найти координаты центра параллельных сил.