Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики, страница 5

4.3).Покажем радиусы-векторы точек А1 и А2 и векторr , соединяющий эти точки. Тогда момент пары силотносительно точки ОM O ( F1 , F2 ) = M O ( F1 ) + M O ( F2 ) = r1 × F1 + r2 × F2 .Рис. 4.3Но r1 = r2 + r . Поэтому M O ( F1, F2 ) = (r2 + r ) × F1 ++ r2 × F2 = r2 × ( F1 + F2 ) + r × F1 . Но F1 + F2 = 0 , а r × F1 = m . Значит,M O ( F1, F2 ) = m .Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары.Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, вовторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повернута в своей плоскости, действие ее на тело будет одинаково.

Так какмомент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, равный моменту этой пары m .Поэтому можно сформулировать еще два свойства.25AKF3.RU3. Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия ипереносить в любую другую параллельную плоскость.4.

Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяетсялишь величиной момента, произведением одной из сил на плечо, то у парыможно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах F1 = F2 = 5 H и плече а = 4 см момент парыm = 20 H⋅см. Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а = 10 см. Приэтом момент останется прежним 20 Н⋅см и действие пары на тело не изменится.Все эти свойства можно объединить и сделать вывод, что пары с одинаковыми векторами момента m и неважно где расположенные на телеоказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны.Поэтому на расчётных схемах пару можно изображать в виде дуги сострелкой, указывающей направление вращения, и рядом написать величинумомента m. Или, если это пространственная конструкция, показывать только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладыватьк любой точке тела.

Значит, вектор момента пары m – свободный вектор.И еще одно дополнительное замечание. Так как момент пары равенвектору момента одной из сил ее относительно точки приложения второйсилы, то по аналогии с III, §3 момент пары сил относительно какой-либооси z есть проекция вектора момента пары m на эту ось:m z = m ⋅ cos γ ,где γ – угол между вектором m и направлением оси z.§3. Сложение парПусть даны две пары с моментами m1 и m2, расположенные в пересекающихся плоскостях (рис. 4.4).Сделаем у пар плечи одинаковыми, равными а = АВ. Тогда модулиmсил, образующих первую пару, должны быть равны F1 = F1′ = 1 , а обраamзующих вторую пару: F2 = F2′ = 2 .a26AKF3.RUЭти пары показаны на рис.

4.4, где F1′ = − F1 , F2′ = − F2 . И расположены они в своих плоскостях так, что плечи пар совпадают с прямой АВ налинии пересечения плоскостей.Сложив силы, приложенные кточкам А и В, построением параллелограммов получим их равнодействующие R B = F1 + F2 и R A = F '1 + F ' 2 . Таккак R B = − R A , то эти силы R A и R Bбудут образовывать пару с моментомm = a × R B , где a – радиус-вектор точки В, совпадающий с АВ.Так как R B = F1 + F2 , то момент полученной парыРис. 4.4m = a × ( F1 + F2 ) = a × F1 + a × F2 = m1 + m 2 .Следовательно, в результате сложения пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, получится пара сил. Момент ее будет равен векторной сумме моментов слагаемых пар.При сложении нескольких пар, действующих в произвольных плоскостях, получим пару с моментом m = ∑ mi .Конечно, эта результирующая пара будет располагаться в плоскости,перпендикулярной вектору m .Равенство нулю момента результирующей пары будет означать, чтопары, действующие на тело, уравновешиваются.

Следовательно, условиеравновесия пар∑ mi = 0 .Если пары расположены в одной плоскости, векторы моментов их будут параллельны. И момент результирующей пары можно определить какалгебраическую сумму моментов пар.Например, пары, показанные на рис.4.5, расположены в одной плоскости и моменты их m1 = 2 H·см,m2 = 5 H·см, m3 = 3 H·см.

Пары уравновешиваются,потому что алгебраическая сумма их моментов равнанулю∑ mi= m1 − m 2 + m3 = 2 − 5 + 3 = 0 .Рис.4.527AKF3.RUV. Произвольная система сил§1. Приведение силы к точкеРанее мы установили, что вектор силы можно переносить по линиидействия в любую точку тела.Попробуем силу F (рис. 5.1) перенести в какую-нибудь точку О, нерасположенную на линии действия.Приложим к этой точке две уравновешивающиеся силы F ' и F ' ' , параллельныесиле F и равные ей по величине,F '= F ''= F .В результате получим силу F ' , равнуюсиле F и приложенную к точке О. То естьмы как бы перенесли заданную силу F източки А в точку О, но при этом появиласьРис. 5.1пара, образованная силами F и F ' ' .

Моментэтой пары m = r × F = M 0 ( F )равен моменту заданной силы F относительно точки О.Процесс замены силы F равной ей силой F ' , приложенной к точке О,и парой называется приведением этой силы к точке О.Точка O называется точкой приведения; сила F ' , приложенная к точкеприведения, - приведенной силой. Появившаяся пара – присоединеннойпарой.2.

Сложение сил, произвольно расположенных в пространствеПусть дана система, состоящая из нескольких произвольно расположенных сил (на рис. 5.2 показаны три силы F1 , F2 , F3 ). Требуется сложитьэти силы и посмотреть, что в результате получится.28AKF3.RUПриведем все силы к произвольно выбранной точке О, центру приведения. Получим систему приведенных сил, приложенных к точке О, равных заданным силам: F1′ = F1 ,F2′ = F2 , F3′ = F3 , и системуприсоединенных пар, моментыкоторых равны векторам моментов заданных сил относительно центра приведения О:m1 = M O ( F1 ) ,m2 = M O ( F2 ) ,m3 = M O ( F3 ) (на рис. 5.2 самихпар нет, показаны только векторы их моментов).Сложив первую систему,Рис.

5.2систему сходящихся приведенных сил, например, построением многоугольника сил ОАВС, получим ихравнодействующую R' , которая равна векторной сумме этих приведенныхсил, а значит, и заданных сил, потому что они векторно равныR ' = ∑ Fi ' = ∑ Fi .(5.1)А сложив систему пар, например, построением многоугольника ихвекторов моментов OA′B ′C ′ , получим пару, момент которой M 0 равенвекторной сумме моментов присоединенных пар или сумме моментов заданных сил относительно центра приведенияM O = ∑ mi = ∑ M O ( Fi ) .(5.2)Сила R′ , равная векторной сумме заданных сил, называется главнымвектором этих сил. Приложена эта сила к центру приведения.Момент M O , равный векторной сумме моментов заданных сил относительно центра приведения, называется главным моментом этих сил относительно центра приведения.Главный вектор R' можно найти так же, как находили ранее равнодействующую сходящихся сил (см.

II, §2, формула (2.2)).Проекции его на оси (см. рис. 5.2)R' x = ∑ X i′ = ∑ X i ;R′y = ∑ Yi′ = ∑ Yi ;R' z = ∑ Z 'i = ∑ Z i .29AKF3.RUПоэтому модуль главного вектораR' = (∑ X i ) 2 + (∑ Yi ) 2 + (∑ Z i ) 2.(5.3)Направление вектора R' определяется с помощью направляющих косинуR' yR'R'сов: cos α = x , cos β =, cos γ = z , где α , β, γ – углы междуR'R'R'вектором R' и направлениями осей х, у, z.Так как векторы моментов присоединенных пар также образуют систему сходящихся векторов, то и главный момент МO находим аналогичнымспособомM O = M x2 + M y2 + M z2 ,(5.4)где M x , M y , M z – проекции вектора M O на оси.

Проектируя его на оси,получим, принимая во внимание, что проекция вектора момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, есть момент относительно оси (3.4):M x = ∑ [ M O ( Fi )] x =∑ M x ( Fi ) ,M y = ∑ [ M O ( Fi )] y =∑ M y ( Fi ) ,(5.5)M z = ∑ [ M O ( Fi )] z =∑ M z ( Fi ) .Эти проекции Мх, Му, Мz вектора главного момента M O на оси, равные алгебраическим суммам моментов заданных сил относительно осей,проходящих через центр приведения, называются главными моментами силотносительно соответствующих осей.Модуль главного момента M O находится по (5.4) или с учетом (5.5)2M O = [∑ M x ( Fi )] + [∑ M y ( Fi )]2 + [∑ M z ( Fi )]2 .(5.6)Направление этого вектора можно найти с помощью направляющихMyMMкосинусов cos α1 = x , cos β1 =, cos γ1 = z ,(5.7)MOMOMOгде α1 , β1 , γ1 – углы между вектором M O и направлениями осей х, у, z.Итак, при сложении сил, произвольно расположенных в пространстве, в общем случае получается сила R' , приложенная к центру приведения,и пара с моментом M O .30AKF3.RUДва важных замечания.

Первое – главный вектор R ' не является равнодействующей R заданных сил, так как он не может один заменить действие всех сил, а только вместе с парой.Второе – главный вектор R ' как векторная сумма заданных сил не зависит от положения центра приведения. А главный момент M O зависит,так как моменты заданных сил относительно центра приведения изменятся,если этот центр будет в другом месте.Конечно, возможны различные результаты сложения сил.1.

Может оказаться, что главный момент относительно выбранногоцентра приведения О окажется равным нулю M O = ∑ M O ( Fi ) = 0 , а главный вектор R' ≠ 0 .Это значит, что в результате сложения получится только сила, равнаяглавному вектору. И она, эта сила, в данном частном случае является равнодействующей R всей системы сил. Линия действия равнодействующейбудет проходить через этот центр приведения.В этом частном случае имеет местоочень важная и полезная теорема – теоремаВариньона.Пусть на тело действует несколькосил Fi ( i = 1,2…, n ) и у них существует равнодействующая R = ∑ Fi , приложенная кцентру приведения О (рис. 5.3).Покажем радиусы-векторы, проведенРис.

5.3ные из некоторой точки А: rO – радиусвектор точки приложения равнодействующей; ri – точек M i , точек приложения сил Fi , где i = 1,2…, n . И добавим векторы ρ i , соединяющиеточку О с точками M i .Момент сил Fi относительно точки А: M A ( Fi ) = ri × Fi . А так какri = rO + ρ i , то M A ( Fi ) = rO × Fi + ρ i × Fi = rO × Fi + M O( Fi ) .Сумма моментов всех действующих сил Fi относительно точки А∑ M A ( Fi ) =∑ (rO × Fi ) + ∑ M O ( Fi ) . Но ∑ (rO × Fi ) = rO × ∑ Fi = rO × Ri == M A ( R) . А сумма ∑ M O ( Fi ) = M O , равна главному моменту сил относительно точки О, который в этом частном случае равен нулю. Поэтому∑ M A ( Fi ) = M A ( R ) .31AKF3.RUЕсли у системы сил имеется равнодействующая, то момент равнодействующей относительно любой точки А равен векторной сумме моментов всех сил относительно этой точкиM A ( R) = ∑ M A ( Fi ) .(5.8)Следствие.