Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики, страница 10

Дифференцируя ещё раз, получим WB = W A .dtdt58AKF3.RUИз доказательства следует, что все точки тела движутся одинаково: поодинаковым траекториям и в каждый момент времени имеют равные скорости и равные ускорения.Поэтому для исследования поступательного движения тела достаточно определить лишь движение какой-нибудь одной его точки. Что мы ужеумеем делать (VIII. Кинематика точки).§ 2. Вращение тела вокруг неподвижной осиВращением тела вокруг неподвижной оси называется такое движение,при котором можно указать у тела хотя бы две точки, всё время остающиеся неподвижными.Прямая, проведённая через эти точки, является осью вращения, неподвижной осью.

Этой оси задаётся направление стрелкой (рис. 9.2).Положение тела вполне определяетсяуглом поворота ϕ вокруг оси. Этот уголизмеряется в радианах. Чтобы определитьположение тела в любой момент времени,должен быть задан угол поворота какфункция времени ϕ = ϕ (t).Эта функция называется уравнениемвращения тела.Если в данный момент времени угол ϕположительный ( ϕ >0), то он откладываетсяпротив часовой стрелки. При этом надосмотреть на тело со стороны стрелки оси.Рис. 9.2Конечно, траектории всех точек тела –окружности, так как расстояния от точек дооси всё время остаются неизменными.

Эти окружности расположены вплоскостях, перпендикулярных оси.Поскольку траектории точек известны, то можно задать движение точек естественным способом. Закон движения точки по траектории, по окружности, получится такимs = Rϕ = s (t).59AKF3.RUПусть за время ∆t угол изменился на ∆ϕ . Тогда отношение их будет∆ϕхарактеризовать скорость вращения. Эта величина ωcр =называется∆tсредней угловой скоростью тела.

Конечно, чем меньше ∆t , тем точнее будет определена эта скорость. Поэтому точное значение угловой скорости∆ϕ d ϕω = lim ωср = lim=.dt∆t → 0∆t →0 ∆tСледовательно, угловая скорость есть первая производная по времениот уравнения вращения, от угла поворотаdϕω== ϕ .dtЕдиница измерения угловой скорости – радианы в секунду. Так какрадиан безразмерная величина, то обозначают просто с −1 . В технике скорость вращения часто определяют числом оборотов в минуту n. Зависиπnмость между этими единицами измерения: ω =.30Если в данный момент времени окажется ω >0, то это будет означать,что вращение происходит против часовой стрелки (если смотреть на телосо стороны стрелки оси).

Угловая скорость указывает направление вращения тела.GУгловую скорость можно изобразить вектором ω , отложенным по осивращения из какой-нибудь точки в такую сторону, что, если смотреть с егоконца, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 9.2).Пусть за время ∆t угловая скорость изменилась на величину ∆ω .∆ω= εср будет определять среднее ускорение вращения,Тогда отношение∆tугловое ускорение. Точным значением его будет предел среднего при∆t → 0∆ω d ωε = lim εср = lim=.dt∆t →0∆t →0 ∆tУгловое ускорение есть первая производная от угловой скорости иливторая производная от угла поворота по времениdω d 2 ϕ .ε===ϕdt dt 2Угловое ускорение также изображают вектором, отложенным по осивращения.

Направление вектора определяется знаком (+) или (–) величиныускорения ε в данный момент времени.60AKF3.RUКомбинация знаков угловой скорости ω и углового ускорения ε определяет характер движения тела. Если их знаки одинаковы, тело вращается ускоренно. Если разные – замедленно.Так, при ω >0 и ε >0 тело вращается против часовой стрелки ускоренно.

При ω <0 и ε <0 – по часовой стрелке ускоренно. При ω <0 и ε >0 – почасовой стрелке замедленно. При ω >0 и ε <0 – против часовой стрелки замедленно.Поскольку движение точек вращающегося тела задано естественнымспособом, то нетрудно найти скорости этих точек. Например, скоростьточки M (рис. 9.3)ds ddϕv== ( R ϕ) = R= Rω .dt dtdtНаправлен вектор скорости по касательной к траектории, к окружности, тоесть перпендикулярно её радиусу, в сторону вращения.Используя правило определения векторного произведения двух векторов, можно доказать, что вектор скорости точкиG G G(9.1)v = ω× r ,есть векторное произведение вектора угловойGскорости ω на радиус-вектор точки, которое,действительно,совпадаетсвекторомскорости и по направлению, и по модулюv = ω r sin α = ω R .точки тела, см.

формулу (8.6),G УскорениеGGW = Wn + Wτ , где нормальное ускорениеv 2 R 2 ω2Wn === R ω2 ,ρRакасательноеdv ddω= ( R ω) = R= Rε .(9.2)dt dtdtРис. 9.3Направляются векторы этих двухускорений соответственно по нормали, тоесть по радиусу окружности, к оси и по касательной к окружности в соответствии с направлением углового ускорения ε .Wτ =Пример 9.1. Маятник OM качается в вертикальной плоскости так, чтоϕ = 0,5 sin 2t .

Длина OM = l = 1 м (рис. 9.4). Маятник вращается вокруг горизонтальной оси O, перпендикулярной вертикальной плоскости.Угловая скорость маятника ω = ϕ = cos 2t c −1 , угловое ускорение = 2 sin 2t c -2 .ε=ϕ61AKF3.RUНапример, при t = 1 c ϕ = 0,5sin2 = 0,45рад ≅ 26D; ω = cos 2 = −0,42 с −1(вращение по часовой стрелке); ε = −2 sin 2 = −1,82 c −2 (угловое ускорениенаправлено также по часовой стрелке). Вращение в этом положении ускоренное.Скорость точки MvM = l ω = 1 ⋅ 0,42 = 0,42 м ⋅ с-1(определяется модуль скорости).

Направлен векторскорости соответственно направлению угловой скорости – в сторону вращения.Нормальное ускорение Wn = lω2 =1⋅ 0,422 = 0,176м⋅ с-2,касательноеускорениеWτ = lε = 1 ⋅ 1,82 = 1,82 м ⋅ с−2 .(Определён опять модуль вектора касательного усGкорения. Направлен вектор Wτ вниз, как указываетРис. 9.4угловое ускорение).ВеличинаполногоускоренияточкиWM = Wn2 + Wτ2 = 1,828 м ⋅ с − 2 .§ 3. Вращение тела вокруг неподвижной точкиНазвание такого вида движения довольно точно его определяет.Часто это движение называют сферическим движением потому, что всеточки тела движутся по сферическим поверхностям.Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.1. Углы Эйлера.

Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкойПоложение тела определяется тремя углами. Используются различные системы углов. Например, корабельные углы, самолётные углы и др. Носамыми распространёнными являются углы Эйлера: ψ (пси), θ (тэта), ϕ (фи).Положение тела определяется следующим образом. Назначаются двесистемы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси x, y, z , начало которых берётся в неподвижной точке O тела (рис.

9.5). Вторая система, оси x1 , y1 , z1 , связывается с телом. Поэтому положение тела будет определяться положением этих осей относительно неподвижных.62AKF3.RUКогда углы Эйлера равны нулю,подвижные оси совпадают с неподвижными. Чтобы определить положениетела, соответствующее заданным угламЭйлера,производимследующиедействия.Сначала подвижные оси, а значити тело, поворачиваем на угол ψ вокругоси z . При этом оси x1 и y1 отойдут отосей x и y в горизонтальной плоскостии ось x1 займёт положение OK (рис. 9.5).Рис. 9.5Затем тело вращаем вокруг нового положения оси x1 (прямой OK ) на угол θ .

Ось z1 отойдёт от оси z на этотугол θ , а ось y1 приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси z1 наугол ϕ . Ось x1 отойдёт от положения OK в наклонной плоскости, перпендикулярной оси z1 . Это положение тела и будет соответствовать угламЭйлера (на рисунке само тело не показано).Линия пересечения неподвижной плоскости xOy и подвижной x1Oy1 ,прямая OK называется линией узлов. Угол ψ называется углом прецессии,угол θ – углом нутации, угол ϕ – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.При движении тела углы Эйлера изменяются по определённым законам ψ = ψ (t );θ = θ (t ); φ = φ (t ),которыеназываютсяуравнениями вращения.На примере вращающегося волчкаможно лучше разобраться в этих углахЭйлера (рис.

9.6). Ось волчка z1 описываетконус вокруг неподвижной оси z . Этовращение определяется углом ψ (говорят:Рис. 9.6волчок совершает прецессию). Отклонениеоси волчка от вертикали – угол нутации θ . А вращение волчка вокругсвоей оси z1 , определяемое углом ϕ , называется углом собственного вращения.63AKF3.RU2. Теорема Даламбера-Эйлера. Мгновенная ось вращенияПроведём в теле сферическую поверхность произвольного радиуса сцентром в неподвижной точке O (рис. 9.7). Покажем у тела какие-нибудьдве точки A и B , расположенные на этой сфере. Соединим их по сфередугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками).

Переместим тело в новое положение. Точки, азначит и дуга, займут положение A1 и B1 .Соединим точки A и A1 , B и B1 дугамибольшого радиуса AA1 и BB1 . Посерединеэтих дуг проведём перпендикулярные им дуги и найдём их точку пересечения P1 .СоединимэтуP1точкуA, B, A1 , B1 .Получимтреугольника∆ABP1дваисточкамисферических∆A1B1P1 ,рас-положенных на этой сфере.

Эти дватреугольника равны как треугольники с равными сторонами( AB = A 1 B 1 , а дуги AP 1 = A1 P1 и BP1 = B1 P1 – как дуги, равноудалёнРис. 9.7ные от перпендикуляров). Так как эти два треугольника расположены наодной сфере и имеют общую вершину P1 , то их можно совместить поворотом сферы, а значит, и тела вокруг прямой OP1 .Тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неЭто утверждение есть теорема Даламбера-Эйлера.подвижную точку O .Конечно, такое перемещение не является истинным движением тела.На самом деле тело переходило из первого положения в другое каким-тодругим, наверное, более сложным путём.