Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики, страница 9

Скорость точки при векторном способе задания движенияПусть точка M за малое время ∆tперешла из положения M в M 1 . Приэтом радиус-вектор её изменится наG G G∆r = r1 − r (рис. 8.5). Так как время ∆tмало, можно предположить, что частьтраектории MM 1 почти прямая, равнахорде ∆r и движение близко к равноРис. 8.5мерному. Тогда приближённо скоростьGGG∆rG(так как ∆r – вектор, то и vср – вектор).точки можно найти так: vср =∆t51Конечно, чем меньше время ∆t , тем ближе будет значение скорости кистинному. ПоэтомуGGGG∆r drv = lim vср = lim= .dt∆t →0∆t →0 ∆tИтак, скорость точки есть производная от радиуса-вектора точки по времениGGdrv=.dtGНаправление вектора скорости v находим как предельное направлеGние vср при ∆t → 0 , то есть при приближении точки M 1 к точке M .

Нотакой процесс определяет касательную в точке M . Следовательно, векторGскорости v направлен по касательной к траектории и в сторону движения.И, наоборот, вектор скорости определяет направление движения точки вданный момент времени.AKF3.RU2. Скорость точки при координатном способе задания движенияKG drКак уже установлено, v =. Учитывая (8.1), получим:dtG dx G dy G dz GGd Gv=x i + y j + zk = i +j + k.dtdtdtdtG()(8.2)Вектор скорости как всякий вектор можно разложить на составляющие по осямGGGG(8.3)v = vx i + v y j + vz k .Сравнивая (8.2) и (8.3), устанавливаем, что проекции вектора скоростина оси есть первые производные от соответствующих координат по времени:dxdydzvx == x; v y == y; v z == z.dtdtdtИ модуль скоростиv = v 2x + v 2y + v 2z = x 2 + y 2 + z 2 .(8.4)Направление вектора скорости можно определить графическим способом, откладывая в масштабе соответствующие составляющие векторапараллельно осям с учетом знака или с помощью направляющих косинуvyvxvzсов: cos α = ; cos β = ; cos γ = , где α, β, γ – углы между вектоvvvGром v и направлениями осей x, y, z соответственно.52AKF3.RU3.

Скорость точки при естественном способе задания движенияВеличину скорости (см. п.1) можно определить как предел ( ∆r – длинахорды MM1 )∆r∆r ∆s∆r∆s= lim⋅= lim⋅ limv = lim,∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆s ∆s →0 ∆s ∆t →0 ∆tгде ∆s – длина дуги MM1 . Первый предел равен единице, второй предел –ds.производнаяdtСледовательно, скорость точки есть первая производная по времениот закона движенияdsv = = s.dtНаправлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательнойк траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля,то вектор скорости направляется в положительном направлении (см. §1, п.1).§ 3.

Ускорение точкиУскорение точки – это характеристика движения точки, которая определяет изменение вектора скорости по величине и по направлению.Если точка движется равнопеременно и по прямой линии, то величина∆vускорения определяется делением изменения скорости на время, W =.tВ общем же случае определение ускорения зависит от способа заданиядвижения точки.1. Ускорение точки при векторном способе задания движенияПусть за время ∆t точка перешла из положения M в M 1 и за это вреGмя вектор скорости изменился на ∆ v (рис. 8.6).Полагая из-за малости времени ∆t дугу MM 1 почти прямой, а движение близким к равнопеременному, найдём приближенное среднее ускореGKKG∆vние Wср =(так как ∆v – вектор, то и Wср – вектор, направленный парал∆tGлельно ∆ v ). Конечно, чем меньше ∆t , тем точнее будет определено ускорение.

Поэтому точное ускорениеGGGK∆ v dv=.W = lim Wср = limdt∆t →0∆t →0 ∆t53AKF3.RUСледовательно, ускорение точки есть производная от вектора скоростиили вторая производная от радиуса-вектора точки по времениK d vG d 2 rGW==.(8.5)dt dt 2KНаправление вектора ускорения Wможно определить как предельное положеKние вектора Wср при ∆t → 0 . Нетрудно обнаружить, что ускорение не направлено по касательной, а направлено, вероятно, в сторонувогнутости траектории (см.

рис. 8.6).Рис. 8.62. Ускорение точки при координатном способе задания движенияGПодставив в (8.5) выражение радиуса-вектора r через координаты(8.1), получим:G d 2x G d 2 y G d 2z GG d 2 rG d 2GG=k.W=x⋅i + y ⋅ j + z ⋅k =i+j+22222dtdtdtdtdt()Отсюда следует, что проекции вектора ускорения на оси равны вторым производным по времени от соответствующих координат точкиWx =d 2xdt 2= x; W y =d2ydt 2= y; Wz =d 2zdt 2= z.Поэтому модуль вектора ускоренияW = Wx2 + W y2 + Wz2 = x 2 + y 2 +z 2 .Направление вектора можно найти или графическим способом, откладывая в масштабе составляющие параллельно осям с учётом знака, илиWyWW; cos γ = zс помощью направляющих косинусов: cos α = x ; cos β =WWWG( α, β, γ – углы между вектором W и направлениями осей x, y , z соответственно).Пример 8.3.

Движение точки задано уравнениями x = 2 t , y = 3 − 4t 2 .xИз первого уравнения t = . Подставив во второе, получим уравне22ние траектории: y = 3 − x . Это уравнение параболы (рис.8.7).54AKF3.RUВ начале движения при t = 0 точка находилась на самом верху, в положении M 0 ( x0 = 0, y0 = 3 см ).А например, при t = 0,5c она будет в положении M с координатамиx1 = 1 см; y1 = 2 см.Проекции скорости на осиv x = x = 2 см⋅ с-1, v y = y = − 8t см⋅ с-1 .Приt = 0,5cv x = 2 см⋅ с-1,v y = − 4 см⋅ с-1 . И модуль скоростиv=v 2x + v 2y =22 + 42 = 4,47 см⋅ с-1 .Составляющие скорости по осям и вектор её показаны в масштабе на рис. 8.7.Рис. 8.7x = 0, Wy = y = −8 см⋅ с −2 .

Так как проекПроекции ускорения Wx = Gция вектора W на ось x равна нулю, а на ось y – отрицательна, то векторускорения направлен вертикально вниз, и величина его постоянна, не зависит от времени.3. Ускорение точки при естественном способе задания движенияПрежде всего – несколько сведенийиз дифференциальной геометрии.MнаПокажемвточкепространственной линии три взаимноперпендикулярные оси. Ось T направимпо касательной к линии (рис.

8.8). Оси Nи B – в плоскости, перпендикулярной осиT (в нормальной плоскости I). Ось N ,которая называется главной нормалью,направлена по линии пересеченияΙинормальнойплоскостиРис. 8.8соприкасающейся плоскости ΙΙ в сторону вогнутости линии.Плоскость ΙΙ названа соприкасающейся потому, что она как бы приставлена сбоку к кривой, соприкасается с ней.Ось B , перпендикулярная N и T , называется бинормалью (“вторая”нормаль).55НазываютсяПри движении точки M эти оси движутся вместе с нею.G G Gэти оси естественными осями. Единичные векторы τ, n , b , направленныепо осям, являются ортами соответствующих осей.GGdτПроизводная= k ⋅ n характеризует крутизну, кривизну линии вdsточке M , k – кривизна линии.

А величина, обратная кривизне ρ = 1 / k ,называется радиусом кривизны в точке M. Точка C , расположенная наглавной нормали N на расстоянии CM = ρ , называется центром кривизны.Векторточки направлен по оси T . Поэтому его можно запиG скоростиGGсать так: v = v ⋅τ ( v – алгебраическая величина скорости v ).Ускорение точкиKG d vG dG dv Gdτ= (v ⋅ τ) =τ+v .W=dt dtdtdtСледовательно, ускорение состоит из двух векторов.

Первый векторG dv KdvW1 =τ. Величина его равна, а направлен вектор по оси T .dtdtЧтобы определить величину и направление второй составляющей, надо найти производнуюKKKAKF3.RUGd τ d τ ds d τ dsvG=⋅ =⋅ = k n v = n.ρdt dt ds ds dtKKd τ v2 KПоэтому второй вектор W2 = v=n.ρdtGТеперь становится понятно, что вектор W2 по модулю будет равенv2и направлен по главной нормали, по оси N , так же как единичный векρGтор n .Так как первая составляющая ускорения направлена по касательной кK dv Kτ;траектории, это ускорение называют касательным ускорением Wτ =dtвторую составляющую соответственно её направлению – нормальным усK v2 Kn . Поэтому полное ускорениекорением Wn =ρG GGW = Wτ + Wn .(8.6)Величина этих составляющих ускоренияdvWτ =;dt56v2Wn = .ρAKF3.RUGОбратим внимание на то, что вектор ускорения W находится в соприGкасающейся плоскости, проекция его на бинормаль B равна нулю, Wb = 0 .GGТак как векторы Wτ и Wn перпендикулярны друг другу, тоW = Wτ2 + Wn2 .Рассмотрим два частных случая.Первый случай.

Точка движется по прямой линии с переменной скоv2= 0 равно нулю, так как радиусростью. Нормальное ускорение Wn =ρdvкривизны прямой линии равен бесконечности. А касательное Wτ =≠0dtG Gне равно нулю. Поэтому W = Wτ .Второй случай. Точка движется по кривой линии, но с постоянной поdvv2величине скоростью. В этом случае Wτ == 0, а Wn =≠ 0, так какdtρG Gрадиус кривизны ρ конечная величина. Значит, W = Wn .Сравнение этих двух случаев позволяет сделать вывод, что касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине,а нормальное ускорение – изменение вектора скорости по направлению.Пример 8.4 Точка движется по окружности радиусом R = 3 см по закону s = 4t - t 2 - 2 (см) .

При t = 0 s0 = − 2 см . Значит, движение началосьиз M 0 (рис. 8.9). Далее, при t = 1c s1 = 1 см;при t = 2 с s2 = 2 см; при t = 3 с s3 = 1 см;при t = 4 с s4 = 2 см.Судя по этим результатам, точкасначала двигалась в положительномнаправлении, а затем пошла обратно.В крайнем положении скорость точкистанет равной нулю.ds= 4 − 2t , то, положивТак как v =dtРис. 8.9v = 0 , найдём время t∗ , момент, когда точкаокажется в этом крайнем положении: t* = 2 c. Следовательно, s2 определяет это положение точки.57AKF3.RUНайдёмскоростьиускорениеточкиприt = 1c.Скоростьv1 = 4 − 2 ⋅ 1 = 2см⋅ с-1 . Направлен вектор скорости в положительном направлении ( v1 >0).KdvКасательное ускорение Wτ == −2 см⋅ с-2 .

Вектор Wτ направлен в отdtv12 22рицательном направлении. Нормальное ускорение Wn = = = 1,33 см⋅с-2ρ 3(радиус кривизны дуги окружности равен её радиусу, ρ = R ). Полное ускорение W1 =Wτ2 + Wn2 = 2,4 см⋅ с −2 .GGТак как вектор скорости v1 и вектор касательного ускорения Wτ направлены в противоположные стороны, точка в этот момент движется замедленно.IX. Основные виды движения твёрдого тела§ 1 . Поступательное движение телаПоступательным движением тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, всё время перемещается параллельно своему первоначальному положению (рис. 9.1).Конечно, траектории точек при поступательном движении тела могутбыть и кривыми линиями.GПроведём в теле радиус-вектор r , определяющий положение какойнибудь точки B относительно A (см.

рис. 9.1). Так как этот вектор при поступательном движении твёрдого телавсё время перемещается параллельноиGдлина его неизменна ( r = const), тотраектория точки Вполучаетсяпараллельным переносом траекторииGточки А, определяемом вектором r .Следовательно, траектории этих точекA и B , а значит, и всех точек телабудут одинаковы.Рис.9.1Если же положение точек A иG G GGGB определять радиусами-векторами rA и r B такими, что rB = rA + r (см.Gрис.9.1), то, взяв производную по времени, получим (при r =const):GGGGdrB drAGG=или vB = v A .