теория (Некоторые вырезки из учебников), страница 8

х Используя полученные формулы при этих условиях, имеем: Рис. 33 у,, =о; у,,„,=о; у„~=о. Следовательно, оси Ох', Оу', Ог' есть главные оси инерции для произвольной точки О, расположенной на главной центральной оси инерции Сг. Теорема доказана. Из доказанной теоремы в качестве следствия получаем: главная центральная ось инерции является главной осью инерции для всех своих точек. Действительно„главная ось инерции Ог' для точки О, лежа(цей на главной центральной оси инерции Сг, совпадает : этой осью.

Главная ось инерции таким свойством не обладает. Главные оси инерции для точки О„расположенной на главной оси инерции точки О, не параллельны главным осям инерции для этой гочки. Они в общем случае повернуты относительно этих осей. 8 7. СВОЙСТВА ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ Теорема 1. Если одна из декартовых осей координат, например Ог (рис. 31), является главной осью инерции для точки О, а две другие оси Ох и Оу -- любые, то два центробежных момента инерции, содержащих индекс главной оси инерции Ог, обращаются в нуль, т. е. У,„,=О и /„,=О.

Главная ось инерции Ог является осью сймметрии эллип- сонда инерции. Поэтому каждой точке эллипсоида, например М(0, у, г), соответствует симметричная относительно этой оси точка М'(О, — у, г). Подставляя в уравнение эллипсоида инерции (27) последовательно координаты этих точек, получим 1+1 1 2у 1. у( )г+у 1 21 ( ) Вычитая нз первого уравнения второе, имеем -41~,уг =О. Так как всегда можно выбрать точки, для которых у и г отличны от нуля, то У„=О. Айалогнчные рассуждения для двух симметричных относительно оси Ог точек Ж(х, О, г) и А('( — х, О, г) приводят к заключению, что л„,=О.

В аналитической геометрии прй исследовании уравнений поверхностей )ч'(' н(1 Рис. 31 285 второго порядка доказывается обратное утверждение, что если Х„, =0 и У„=О, то ось О- есть главная ось. Таким образом, обращение в нуль центробежных моментов инерции л„, и У„является необходимым и достаточйым условием, чтобы ось Ог была главной осью инерции для точки О. Теорема 2. Если однородное теРис. 32 ло имеет плоскость симметрии, то для любой точки, лежащей в этой плоскости, одна из главных осей инерции перпендикулярна плоскости симметрии, а две другие главные оси инерции расположены в этой плоскости.

Для доказательства теоремы выберем в плоскости симметрии П точку 0 и в ней оси прямоугольной системы координат Охуг, причем ось Ог направим перпендикулярно плоскости симметрии (рис. 32). Тогда каждой точке тела М„(х„, у„, г„) массой т, соответствует симметричная относительно плоскости П точка М',(х„, у„, — г ) с такой же массой. Координаты точек М„ и М„' отличаются только знаком у координат г„. Для центробежного момента инерции У», имеем У„= 2 тьуьгь =",)" т у г1+2 т у1( — г„)=0, 1=1 (1) (в) так как часть тела (1), соответствующая точкам с положительными координатами г„, одинакова с частью тела (П), у которой точки имеют такие же координаты г„, но со знаком минус. Аналогично доказывается, что .)"„, = ,') т х„г =О.

1=1 Так как центробежные моменты инерции У„, и )„, обращаются в нуль, то ось Ог есть главная ось и!!ерции для точки О. Другие две главные оси инерции перпендикулярны оси Ог и, следовательно, расположены в плоскости симметрии. Центр масс однородного симметричного тела находится в плоскости симметрии.

Поэтому одна из главных центральных осей инерции перпендикулярна плоскости симметрии, а две другие, расположены в этой плоскости. Доказанная теорема справедлива и для неоднородного тела, имеющего плоскость материальной симметрии. Теорема 3. Если однородное тело имеет ось симметрии или неоднородное тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции. Теорема доказывается аналогично предыдущей. Для каждой гочки тела М„с положительными координатами х„, у„, г„ 286 и массой'т1 существует симметричная относительно оси точка с такой же массой и такими же по величине, но отрицатель- ными координатами — х„— у„+г„если осью симметрии является ось Ог.

Тогда 1„,= ,") т„хьг„=') т хьгь+(Гт„( — х,)г„=О, 1=! (1) о!) так как суммы по симметричным относительно оси частям тела (1) и (П) отличаются друг от друга только знаком у координаты х„. Аналогично доказывается, что У„ =О. Таким образом, ось Ог является главной осью инерции для любой точки, расположенной на оси симметрии тела. Она есть главная центральная ось инерции, так как центр масс находится на оси симметрии. Теорема 4. Главные оси инерции для точки О, расположен- ной на главной центральной оси инерции, параллельны главным центральным осям инерции (рис.

33). Выберем в точке 0 главной центральной осн инерции Сг систему декартовых осей координат Ох'у'г', взаимно параллельных главным центральным осям инерции Схуг. Тогда координаты точки тела М, в двух системах осей координат будут связаны между собой формулами парал- лельного переноса осей х„= хь; уь = у„; г„' = г„— Ь, где ))=ОС.

Используя эти формулы, вычисляем центробежные моменты инерции У„,,, 1,,„, и 1„.1.. Имеем к и к У,, = ~~ тьуьгь= ~> т,у„г„— 1) 2 тьуь=у„,— !)Мус, 1=1 1=1 1=1 так как и п ,') тьуьгь=у„, ,") тьуь=Мус, 1=1 1=1 где М вЂ” масса тела; ус — координата центра масс относительно системы координат Схуг. Аналогично получаем л',,„=У,„— ЬМхс;,У„„, =У„к ("(» Если С вЂ” центр масс системы, то хе=0 и ус=О. Для главных централь- О !) У' ных осей инерции центробежные моменты инерции равны нулю, т. е. С У 1„,=0; У,„=о; У„„=о. х Используя полученные формулы при этих условиях, имеем: Рис.

33 у,, =о; у,,„,=о; у„~=о. Следовательно, оси Ох', Оу', Ог' есть главные оси инерции для произвольной точки О, расположенной на главной центральной оси инерции Сг. Теорема доказана. Из доказанной теоремы в качестве следствия получаем: главная центральная ось инерции является главной осью инерции для всех своих точек. Действительно„главная ось инерции Ог' для точки О, лежа(цей на главной центральной оси инерции Сг, совпадает : этой осью. Главная ось инерции таким свойством не обладает. Главные оси инерции для точки О„расположенной на главной оси инерции точки О, не параллельны главным осям инерции для этой гочки. Они в общем случае повернуты относительно этих осей.

увердого тела можно представить состоящим из двух движений: зоступательного вместе с какой-либо точкой тела и вращения его юкруг этой точки. В качестве точки, вместе с которой эассматривается поступательное движение, выбирают центр масс гела, так как для него имеется теорема о движении центра масс. К изучению движения тела вокруг, например, центра масс можно зрименить общие положения о движении тела вокруг неподвижчой точки. $1. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Имеем твердое тело, одна из точек которого закреплена. Движение тела рассматривается относительно некоторой систе!«ы координат Охук (рис.

132), начало которой находится в закрепленной точке тела. Вращение тела вокруг неподвижной гочки в каждый момент времени есть вращение вокруг !«гновенной оси с угловой скоростью в, направленной по этой оси. Для кинетического момента Ко относительно неподвижной точки, согласно его определению, имеем К =,'! г,хи!ко,, (1) х=! где и, радиус-вектор какой-либо точки тела; т! — масса точки; й! скорость этой точки относительно выбранной системы отсчета. Для сплошного тела роль точек выполняют малые элементарные частицы тела, на )У которых оно разбито.

Из кинематики известно, что скорости точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки вычисляются по векторной формуле Эйлера Г «х Уг вх ву Х У! Гх = ! (в,г! — в,у„)+ й =вэ«г„= +«х(В, Х! — В„Г!)+ К (ВхУ, — В,Х„), (2) которую в проекциях на оси координат, учитывая, что векторное произведение можно представить в виде определите- ля, выразим в форме вух вэу ! 0«хУ! 0кУ ау! Х! Вхг! екх=вэ У!, В„Хк, (2') где х„у„г! — координаты точки тела с массой п1„.

Для проекции кинетического момента на ось Ох с учетом (2') имеем Рис. 132 и и Кххх 2„~к(У,Рхх — к!Оку)= '„! ткну!(В,У! — В,Х,)— к=! к=! Зк(В„Х! В а!)ЗЗ=В ~ УЛ (У1+ахк)— к=! Ву З, УП! ХкУЗ В ! УП! Х! ЗЗ. " к~ и=! Проекции угловой скорости в„ву, в, вынесены за знаки сумм, гак как они не зависят от точек тела, по которым ведется :уммирование. Суммы в (1') представляют собой соответственао осевой «х и центробежные «ху, «„ моменты инерции.

С учетом этого для К, и по аналогии для Ку и К, получаем Кх УхВх «уву К, = — «ухвх+«,в — «„в„' К,= — «1хх«вх — «хУВу+«хВ . (3) По формулам (3) вычисляются проекции на оси координат кинетического момента тела относительно его закрепленной гочки. Эти проекции являются линейными функциями проекций угловой скорости вращения тела на те же оси координат. Кинетический момент К„по проекциям определяется формулой Кох К 1 РКуу+К*и (1х) Проекции на оси координат кинетического момента по )эормулам (3) можно вычислить как для осей, относительно <оторых рассматривается вращение тела (неподвижные оси), гак и лнэбых других подвижных осей, например скрепленных вращающимся телом.

Для неподвижных осей осевые «центробежные моменты инерции изменяются при вращении села и, следовательно, зависят от времени вследствие изменения юложения тела относительно этих осей. Для подвижных эсей, скрепленных с телом, моменты инерции являются юстоянными, не зависящими от времени, так как положение уела отВ!осительно этих осей не изменяется при его вращении. В случае~проецирования кинетического момента на подвижные эси координат следует иметь в виду, что кинетический иомент вычисляется для движения тела относительно неюдвижных осей. Если применить тензор инерции «х «ху «хх «= -«х «у -«у, -«*х — «ху «х «учесть правило умножения тензора на вектор-столбец в, го (3) можно кратко выразить формулой 491 Ко = «в.

Формулы (3) упрощаются для проекций кинетического момента на главные оси инерции для неподвижной точки О. Для таких осей координат «х,=«„,=«,х=О и из (3) получаем: К,=«в„' Ку=«,ву; К,=«вх. (4) В этом случае проекции кинетического момента вычисляются так же, как и в слук чае, если бы каждая из главных осей инерции была неподвижной осью вращения Рис.