теория (Некоторые вырезки из учебников)
Описание файла
Файл "теория" внутри архива находится в папке "Некоторые вырезки из учебников". PDF-файл из архива "Некоторые вырезки из учебников", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "теоретическая механика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
328 СТАТИКА Ряс. 24. Рис. 23. действия которой проходит через середину отрезка приложения нагрузки ВЕ = ЕР. 2.,Линейно распределенная нагрузка в плоских задачах статики (рис. 24) имеет равнодействующую ~ = 1 оп, „ВР1 проходящую через точку Е, причем ВЕ = з2ВР. З.б. Законы трения (законы Кулона) 1ь Законы трения скольжения. Рассмотрим тело веса С, находящееся в покое на негладкой горизонтальной плоскости (рис. 25). Попытка передвинуть тело, приложив к нему горизонтальную силу г', не приводит к успеху до тех пор, пока величина силы не достигнет некоторого значения Ф". РавнодействуЙ ющая сил реакции опоры может быть представлена в виде двух составляю/ А щих — силы нормального давления У 9 и силы трения покоя Ф .
Уравнение Рис. 25. проекций сил на горизонтальную ось дает Р = Р. Опыт показывает, что Р' и У связаны соотношением (закон Кулона) где До называется статическим коэффициентом трения; он зависит от материалов соприкасающихся тел и состояния их поверхностей. Пока Р ( Р", тело будет оставаться в покое. Если же к нему приложить силу, ббльшую чем Р', то оно станет двигаться, При движении силу сопротивления можно найти, пользуясь формулой Р =~И, где ~ называется динамическим коэффициентом трения, а Р силой трения скольжения. Отметим, что динамический коэффициент трения всегда меньше статического коэффициента трения: ~ ( Де. 4.1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ зг9 Законы трения качения. Рассмотрим диск радиуса В, покоящийся на негладкой горизонтальной плоскости (рис. 2б). Попытка перекатить диск, приложив к его центру горизонтальную силу г', не приведет к успеху, пока величина силы остается меньше предельного значения Р".
Силы реакции опоры, распределенные фв р по малой поверхности вблизи точки контакта Р, в соответствии с теоремой о приведении системы сил к центру мой гут быть заменены эквивалентной систе- мой — силой нормального давленйя У, си° ~~ ~й А. р,р лои трения покоя г' р, приложенными в точке контакта Р, а также парой сил треРис. 26. ния качения с моментом М тр' При равновесии диска из уравнения моментов относительно центра Р следует РВ = М . Опыт показывает, что Р"" и У связаны соотношением Р'" = ЙФ/В, при этом М'" = ЙР. (7) Размерный коэффициент й[см] называется ноэффициен~иом тиренил качения. Поверхность качения называют абсолютно шероховатой, когда ~фОий=О. Опыт показывает, что при прочих равных условиях Р' много больше Р"", поэтому в технике при необходимости уменьшить потери на трение стремятся заменить скольжение качением. 4.
Динамика материальной точки 4.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки Движение материальной точки по отношению к инерциальной системе отсчета описывается вторым законом Ньютона: и та=~У+~ И», где т — масса точки, а — ее ускорение, в правой части равенства— геометрическая сумма всех сил, приложенных к точке. Причины возникновения каждой из сил могут быть различными. Здесь мы будем различать силы антпивные 3~~ н силы реакций свлэей И». Активные 4.2.
ПБРВАЯ и ВтоРАЯ зАдАчи динАмики Решение. Введем декартовы оси координат, совместив начало отсчета О с положением груза при Ф = О. Изобразим груз в произвольном положении и действующие на него силы. Принимая груз за материальную точку, запишем для него второй закон Ньютона та= У+У+У р. (2) Проектируя обе части векторного равенства (2) на ось у, имеем О = -Ясов а+ Ж (учтено, что ускорение груза параллельно оси х). Отсюда находим Ж = Юсова.
Используя далее закон Кулона (уравнение (3) в гл. 3), получим силу трения г = Ж~ = Ясов а ~. й д (в1п а + у сов а). Общее решение полученного дифференциального уравнения и выражение для скорости груза даются формулами (подробности их получения опущены, а их правильность можно проверить путем дифференцнроЪанил) я = — з д (вша+ 1 сова)$~ + С11+ Сз, и = — у(в1па+ Усова)1+ С1. Последние два соотношения должны быть справедливы в любой момент времени $, стало быть, и в начальный момент времени $е — — О, и в момент времени Ф„ Вторая задача динамики. Заданы активные силы, уравнения механических связей, начальное положение точки и ее начальная скорость, необходимо найти закон движения точки и реакции связей.
Вторую задачу динамики рекомендуется решать последовательно в несколько этапов, перечисленных ниже. 1. Рисуют предполагаемую траекторию движения, на которой изображают материальную точку. 2. Рисуют силы, приложенные к точке. 3. Записывают второй закон Ньютона в векторной форме. 4. Выбирают удобную систему координат. 5. Записывают уравнения движения точки в проекциях либо на оси декартовой системы координат, либо на оси естественного трехгранника.
В первом случае все активные силы необходимо выразить через в, х, у, я, х, у, л, а во втором — через 1, в, л. 6. К полученным дифференциальным уравнениям добавляют начальные условия: значения координат и проекций скорости точки в начальный момент времени (они берутся из условия задачи с учетом введенной системы координат). 7. Поставленную задачу решают численно или аналитически методами, известными из курса высшей математики.
Указанные этапы решения рекомендуется выполнять, не меняя порядка их следования. Пример 2. Дополнительно к условиям задачи примера 1 дано, что в момент времени 1 ° скорость груза стала равна половине начальной. Найти начальную скорость груза ос и путь Р, пройденный им за время 1 ° . Решение. Проектируем обе части векторного равенства (2) на ось х. Используя формулы С ж язв и Р = 0~ сова, получим 5.1. ОСНОВНЪ|Е ПОНЯТИЯ И ОПРЕЛЕЛЕНИЯ главный вектор и главный момент относительно произвольного центра равны нулю. Так как полная система внутренних сил состоит только из ~двоекю,то 1) главный вектор системы внутренних сил равен нулю, 2) главный момент системы внутренних сил относительно произвольной точки равен нулю. Массой системы т называется арифметическая сумма масс ть всех точек и тел, образующих систему: Центром масс (центром инерции) механической системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор и координаты которой хс, ус, гс определяются формулами ~ т~т~ ,') т~х~ ~ т~у~ ~ т~е~ тс хс= Ус = > хс= ! т т т т где т~, х~, у~, л~ — радиусы-векторы и координаты точек, образующих систему.
Для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают, в других случаях это разные геометрические точки. Вместе с инерциальной системой отсчета часто рассматривают одновременно неинерциальную систему отсчета, движущуюся поступательно. Ее оси координат Сх'у'е' (оси Кенига) выбирают так, чтобы начало отсчета С постоянно совпадало с центром масс механической системы. В соответствии с определением центр масс неподвижен в осях Кенига и находится в начале координат.
Моментом инерции системы относительно оси х называется скалярная величина 1„равная сумме произведений масс т~ всех точек системы на квадраты их расстояний Ь~ до оси: 1, = ~ т~Ьь. Если механической системой является твердое тело, для нахождения 1, можно воспользоваться формулой 1, = р(х2+уз)И~, где р(х, у, х) — плотность, а У вЂ” объем, занимаемый телом. 334 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Момент инерции однородного диска массы т радиуса В относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр, подсчитывается. по формуле 1~= гтл Теорема Гюйгенса о моментах инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс: 1, = 1с, + тс~', где 1, и 1с, — моменты инерции относительно параллельных осей г и С„причем ось С, проходит через центр масс, а' — расстояние между осями, т — масса системы. Из теоремы следует, что 1с, ( 1,.
5.2. Теорема о движении центра масс <Формулировка теоремы: центр масс механической системы движется так же, как двигалась бы материальная точка с массой т, равной массе системы под действием внешних сил, приложенных к системе: .=ЕЮ (2) е е е тхс = ~ ~ьх тус = Р ~ар тес = Закон сохранения скорости центра масс механической системы: если главный вектор внешних сил системы равен нулю, центр масс системы движется с постоянной скоростью, т.е. если ,'> Р~', — — О, то 17с — сопа1.