теория (Некоторые вырезки из учебников), страница 11

Имеем 1 =1 „-~тд'1 Зу=усу Ч- 12 . Для диска (рис. 134, б) зс 4 Ус =ту~/4. Используя эти значения моментов инерции, получаем 1 =т(уз|4+Ау) 1 =т(уг/4-Ьдг). Для кинетической энергии с учетом а„=о имеем 2 ( ° 4(угг Дг) 4 ггл-Нг 2 г г„г (у24 4дг Ь2д2) (22 1 бя2) 8( гЧ дг) 8(уг-ьяг) 5 3. динАмические уРАВнения эйлеРА Динамические, уравнения Эйлера вращения тела вокруг неподвижной — точки под действием сил получают из теоремы об изменении кинетического момента. Согласно этой теореме, с)Косс(с=х о (10) где Ко кинетический момент тела относительно его закрепленной точки от вращения тела относительно инерциальной к системы отсчета; «,со' — — 2 Мо(Г1-"1) векторная сумма моменс=с тов внешних сил, действующих на тело (рис. 135).

К числу внешних сил относится также сила реакции закрепленной точки. Если выразить (10) в проекциях на инерциальные (неподвижные) оси координат, то через К„, К„К, в полученные уравнения, согласно (3) в общем и (4) в частном случаяхуглавных осей, войдут изменяющиеся с течением времени моменты инерции, для вычисления которых следует уже знать движение тела, которое само подлежит определению по заданным силам.

Чтобы избежать этого, Эйлер предложил проецировать векторы, входящие в (1О), на подвижные оси координат, скрепленные с вращающимся телом. Для таких осей моменты инерции не зависят от времени. Подготовим векторное уравнение (1О) для проецирования на подвижные оси координат, скрепленные с движущимся телом. Для этого абсолютную производную по времени от кинетического момента необходимо выразить через относительную производную, используя формулу Бура, т. е. '+ах Ко, (11) так как подвижная система осей координат имеет ту же угловую скорость, что и само тело, с которым скреплены эти оси.

Для удобства проецирования представим векторное произведение векторов в виде определителя с последующим разложением его по элементам первой строки, т. е. с « /с аи ву К,К,К, в,К,)+1( =с(а,к,— а,ку)+ ахК = +Лв,ʄ— в„К, — ау К„), (12) где с',«', и единичные векторы, направленные по осям координат подвижной системы осей координат. Используя формулу (11), теорему об изменении кинетического момента (1О) представим в форме Рис.

135 495 (10') ТК, — -с., +ах Ко=«о ° ссс В проекциях на подвижные оси координат, сссрепленные с вращающимся телом, из (10') с учетом (12) получим — *+в,К,— в,К,=«.с, — "+а,ʄ— а„К,=г,с'1; — *+ а„К, — ау К„= «.' ссс (13) Эти уравнения после подстановки в них значений К„, К„ К, из (3) приведут к обобщенным динамическим уравнениям Эйлера. Это еще довольно сложные уравнения. Дальнейшее их упрощение получается, если использовать второе предложение Эйлера — выбрать в качестве подвижных осей координат, скрепленных с телом, главные оси инерции для точки О.

В этом случае К„, К„К, определяются по формулам (4). Моменты инерций йо-прежнему не будут зависеть от времени и их можно выносить за знак производных по времени. Таким образом, из (13), используя (4), получим следующие динамические уравнения Эйлера: «„—,*+(«, — «у) «, —,""+(«„— «,) «, —," +(«,— «„) ау а, = «,'„'; а,в„= «,,С'1; (14) а в = г,1-1. и у К этим динамическим уравнениям Эйлера следует присоединить кинематические уравнения Эйлера япОяпср+Осозср; япОсозср — Ояпср; О+ф, в„= с)с а,=Ф в,=с)у (15) которые выражают проекции вектора угловой скорости враще- ния тела на подвижные оси координат, скрепленные с телом, через углы Эйлера, с)с, О, ср и их производные по времени. 5 3. динАмические уРАВнения эйлеРА Динамические, уравнения Эйлера вращения тела вокруг неподвижной — точки под действием сил получают из теоремы об изменении кинетического момента.

Согласно этой теореме, с)Косс(с=х о (10) где Ко кинетический момент тела относительно его закрепленной точки от вращения тела относительно инерциальной к системы отсчета; «,со' — — 2 Мо(Г1-"1) векторная сумма моменс=с тов внешних сил, действующих на тело (рис. 135). К числу внешних сил относится также сила реакции закрепленной точки. Если выразить (10) в проекциях на инерциальные (неподвижные) оси координат, то через К„, К„К, в полученные уравнения, согласно (3) в общем и (4) в частном случаяхуглавных осей, войдут изменяющиеся с течением времени моменты инерции, для вычисления которых следует уже знать движение тела, которое само подлежит определению по заданным силам.

Чтобы избежать этого, Эйлер предложил проецировать векторы, входящие в (1О), на подвижные оси координат, скрепленные с вращающимся телом. Для таких осей моменты инерции не зависят от времени. Подготовим векторное уравнение (1О) для проецирования на подвижные оси координат, скрепленные с движущимся телом. Для этого абсолютную производную по времени от кинетического момента необходимо выразить через относительную производную, используя формулу Бура, т. е. '+ах Ко, (11) так как подвижная система осей координат имеет ту же угловую скорость, что и само тело, с которым скреплены эти оси. Для удобства проецирования представим векторное произведение векторов в виде определителя с последующим разложением его по элементам первой строки, т.

е. с « /с аи ву К,К,К, в,К,)+1( =с(а,к,— а,ку)+ ахК = +Лв,ʄ— в„К, — ау К„), (12) где с',«', и единичные векторы, направленные по осям координат подвижной системы осей координат. Используя формулу (11), теорему об изменении кинетического момента (1О) представим в форме Рис. 135 495 (10') ТК, — -с., +ах Ко=«о ° ссс В проекциях на подвижные оси координат, сссрепленные с вращающимся телом, из (10') с учетом (12) получим — *+в,К,— в,К,=«.с, — "+а,ʄ— а„К,=г,с'1; — *+ а„К, — ау К„= «.' ссс (13) Эти уравнения после подстановки в них значений К„, К„ К, из (3) приведут к обобщенным динамическим уравнениям Эйлера.

Это еще довольно сложные уравнения. Дальнейшее их упрощение получается, если использовать второе предложение Эйлера — выбрать в качестве подвижных осей координат, скрепленных с телом, главные оси инерции для точки О. В этом случае К„, К„К, определяются по формулам (4). Моменты инерций йо-прежнему не будут зависеть от времени и их можно выносить за знак производных по времени. Таким образом, из (13), используя (4), получим следующие динамические уравнения Эйлера: «„—,*+(«, — «у) «, —,""+(«„— «,) «, —," +(«,— «„) ау а, = «,'„'; а,в„= «,,С'1; (14) а в = г,1-1. и у К этим динамическим уравнениям Эйлера следует присоединить кинематические уравнения Эйлера япОяпср+Осозср; япОсозср — Ояпср; О+ф, в„= с)с а,=Ф в,=с)у (15) которые выражают проекции вектора угловой скорости враще- ния тела на подвижные оси координат, скрепленные с телом, через углы Эйлера, с)с, О, ср и их производные по времени. 5 3.

динАмические уРАВнения эйлеРА Динамические, уравнения Эйлера вращения тела вокруг неподвижной — точки под действием сил получают из теоремы об изменении кинетического момента. Согласно этой теореме, с)Косс(с=х о (10) где Ко кинетический момент тела относительно его закрепленной точки от вращения тела относительно инерциальной к системы отсчета; «,со' — — 2 Мо(Г1-"1) векторная сумма моменс=с тов внешних сил, действующих на тело (рис. 135). К числу внешних сил относится также сила реакции закрепленной точки. Если выразить (10) в проекциях на инерциальные (неподвижные) оси координат, то через К„, К„К, в полученные уравнения, согласно (3) в общем и (4) в частном случаяхуглавных осей, войдут изменяющиеся с течением времени моменты инерции, для вычисления которых следует уже знать движение тела, которое само подлежит определению по заданным силам.

Чтобы избежать этого, Эйлер предложил проецировать векторы, входящие в (1О), на подвижные оси координат, скрепленные с вращающимся телом. Для таких осей моменты инерции не зависят от времени. Подготовим векторное уравнение (1О) для проецирования на подвижные оси координат, скрепленные с движущимся телом. Для этого абсолютную производную по времени от кинетического момента необходимо выразить через относительную производную, используя формулу Бура, т. е. '+ах Ко, (11) так как подвижная система осей координат имеет ту же угловую скорость, что и само тело, с которым скреплены эти оси.

Для удобства проецирования представим векторное произведение векторов в виде определителя с последующим разложением его по элементам первой строки, т. е. с « /с аи ву К,К,К, в,К,)+1( =с(а,к,— а,ку)+ ахК = +Лв,ʄ— в„К, — ау К„), (12) где с',«', и единичные векторы, направленные по осям координат подвижной системы осей координат. Используя формулу (11), теорему об изменении кинетического момента (1О) представим в форме Рис.

135 495 (10') ТК, — -с., +ах Ко=«о ° ссс В проекциях на подвижные оси координат, сссрепленные с вращающимся телом, из (10') с учетом (12) получим — *+в,К,— в,К,=«.с, — "+а,ʄ— а„К,=г,с'1; — *+ а„К, — ау К„= «.' ссс (13) Эти уравнения после подстановки в них значений К„, К„ К, из (3) приведут к обобщенным динамическим уравнениям Эйлера. Это еще довольно сложные уравнения. Дальнейшее их упрощение получается, если использовать второе предложение Эйлера — выбрать в качестве подвижных осей координат, скрепленных с телом, главные оси инерции для точки О. В этом случае К„, К„К, определяются по формулам (4). Моменты инерций йо-прежнему не будут зависеть от времени и их можно выносить за знак производных по времени.