теория (Некоторые вырезки из учебников), страница 5

— Мл Наука, 1972. — 467 с. Бузе ольц Н. Н. Основной курс теоретической механики, ч. 2. Динамика системы материальных точек. — М.: Наука, 1972. — 332 с. Воронков Н. М. Курс теоретической механики.— М.: Наука, 1964.— 596 с. Гантмахер Ф Р. Лекции по аналйтической механике. — М.: Наука, 1966. — 300 с. До бронраооо В. В., Никитпин Н. Н. Курс теоретической механики.

— Мл Высшая школа, 1983. — 575 с. Ншлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. — М.: Наука, 1987.— 320 с. 12 А Д. Полянки, В. Д. Полянки я др. Решение системы (7) совпадает с решением (5) этой же задачи, полученным ранее иным способом. В отличие от уравнений Лагранжа второго рода, общее уравнение динамики пригодно также для изучения неголономных систем, поэтому оно имеет более широкие возможности применения. В то же время применение уравнений (б) для исследования голономных систем более предпочтительно, так как оно требует меньшего количества простых действий. $2. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции. Моменты инерции относительно точки и оси Моментом инерции механической системы, состоящей из )х' материальных точек, относительно точки 0 называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до точки 0 (рис.

22), т. е. 7о= 2. тФ. (3) Момент инерции относительно точки часто называют полярным моментом инерции. В случае сплошного тела сумма переходит в интеграл и для полярного момента инерции имеем зо=) с( й(т (3') где ййт — — масса элементарной частицы тела, принимаемой в пределе за точку; с( — ее расстояние до точки О. Моментом инерции 7! системы материальных точек относительно оси 01 называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний г„до оси О!' (рис. 22), т, е.

и з! =- 2 тйгг. (4) й=1 В частном случае сплошного тела сумму следует заменить интегралом: ) глт (4') Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции. Радиус инерции р, относительно оси О! определяется по формуле р,= ®М, где зйз — масса тела. Момент инерции относительно оси через и!к радиус инерции относительно этой оси определяется выражением вк 0 1!=3! р~. В справочниках по моментам инерции при/з водят таблицы значений радиусов инерции различных тел. Формула (5') позволяет считать радиус Рис.

22 инерции тела относительно оси расстоянием (5) 274 Моменты инерции относительно всей координат Моменты инерции относительно декартовых осей координат Ох, Оу и Ог и их начала — точки 0 (рис. 23) — определяются выражениями и и и У = ~ т (уг+гг) 7 = ,'! т (гг+хз). У = ,'! т (хз+4) (6) й=! й=1 й=1 и Уо= ~: тй(хйг+уйг+гйз), й=1 где х„, у,, гй — координаты материальных точек системы. Для сплошных тел эти формулы примут вид г = ((уз+гз)дт; У,=)( 1+хг) ~т; У,=((хг+уз)й(т; Уо=((хг+уг+гг)йи. Из приведенных формул следует зависимость 2,7о — — У„+У +У,.

(8) Если через точку 0 провести другую систему декартовых осей координат Ох'у'г', то для них по формуле (8) получим 2Х =1„,+1,,+3; (8') Из сравнения (8) и (8') следует, что ,7„+у„+У,=У„+7х+У, Сумма моментов инерции относительно декартовых осей координат не зависши от ориентации этих осей в рассматриваемой точке, т. е. является величиной, инвариантной по отношению к направлению осей координат. Для осей координат Охуг можно определить следующие три центробежных момента инерции: к Рис. 23 275 и и 7„„= ~! т„х уй; У„,= т„Уйгй; 1=1 й=1 з „= 2 тйгйхй.

(9) й=! Центробежные моменты инерции часто называют произведениями инерции. Моменты инерции относительно осей и точек — величины положительные, так как в них входят квадраты координат. Центробежные моменты инерции содержат произведения координат н могут бьгть как положительными, так и отрицательными. Центробежные моменты инерции имеют важное значение при рассмотрении давлений на подшипники при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях.

Кроме рассмотренных моментов инерции иногда используются моменты инерции относительно координатных плоскостей 7о„„Уо„, зо,„, которые определяются выражениями и и и г ,Уо„,— — ,'!" т гйг; Уо,— — ,'1 т„хг; Уо,„—— ,"!" т,У„. 1=1 1=1 й=! от этой оси до такой точки, в которой следует поместить массу тела, чтобы ее момент инерции оказался равным моменту инерции тела относительно рассматриваемой оси.

Моменты инерции относительно оси и точки имеют одинаковую размерность — произведение массы на квадрат длины (кг мг). Кроме моментов инерции относительно точки и оси используются также моменты инерции относительно плоское~ей и центробежные моменты инерции. Эти моменты инерции удобно рассмотреть относительно координатных плоскостей и осей декартовой системы координат. $2. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции. Моменты инерции относительно точки и оси Моментом инерции механической системы, состоящей из )х' материальных точек, относительно точки 0 называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до точки 0 (рис.

22), т. е. 7о= 2. тФ. (3) Момент инерции относительно точки часто называют полярным моментом инерции. В случае сплошного тела сумма переходит в интеграл и для полярного момента инерции имеем зо=) с( й(т (3') где ййт — — масса элементарной частицы тела, принимаемой в пределе за точку; с( — ее расстояние до точки О. Моментом инерции 7! системы материальных точек относительно оси 01 называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний г„до оси О!' (рис. 22), т, е. и з! =- 2 тйгг.

(4) й=1 В частном случае сплошного тела сумму следует заменить интегралом: ) глт (4') Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции. Радиус инерции р, относительно оси О! определяется по формуле р,= ®М, где зйз — масса тела. Момент инерции относительно оси через и!к радиус инерции относительно этой оси определяется выражением вк 0 1!=3! р~.

В справочниках по моментам инерции при/з водят таблицы значений радиусов инерции различных тел. Формула (5') позволяет считать радиус Рис. 22 инерции тела относительно оси расстоянием (5) 274 Моменты инерции относительно всей координат Моменты инерции относительно декартовых осей координат Ох, Оу и Ог и их начала — точки 0 (рис.

23) — определяются выражениями и и и У = ~ т (уг+гг) 7 = ,'! т (гг+хз). У = ,'! т (хз+4) (6) й=! й=1 й=1 и Уо= ~: тй(хйг+уйг+гйз), й=1 где х„, у,, гй — координаты материальных точек системы. Для сплошных тел эти формулы примут вид г = ((уз+гз)дт; У,=)( 1+хг) ~т; У,=((хг+уз)й(т; Уо=((хг+уг+гг)йи. Из приведенных формул следует зависимость 2,7о — — У„+У +У,. (8) Если через точку 0 провести другую систему декартовых осей координат Ох'у'г', то для них по формуле (8) получим 2Х =1„,+1,,+3; (8') Из сравнения (8) и (8') следует, что ,7„+у„+У,=У„+7х+У, Сумма моментов инерции относительно декартовых осей координат не зависши от ориентации этих осей в рассматриваемой точке, т.

е. является величиной, инвариантной по отношению к направлению осей координат. Для осей координат Охуг можно определить следующие три центробежных момента инерции: к Рис. 23 275 и и 7„„= ~! т„х уй; У„,= т„Уйгй; 1=1 й=1 з „= 2 тйгйхй. (9) й=! Центробежные моменты инерции часто называют произведениями инерции.

Моменты инерции относительно осей и точек — величины положительные, так как в них входят квадраты координат. Центробежные моменты инерции содержат произведения координат н могут бьгть как положительными, так и отрицательными. Центробежные моменты инерции имеют важное значение при рассмотрении давлений на подшипники при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях.

Кроме рассмотренных моментов инерции иногда используются моменты инерции относительно координатных плоскостей 7о„„Уо„, зо,„, которые определяются выражениями и и и г ,Уо„,— — ,'!" т гйг; Уо,— — ,'1 т„хг; Уо,„—— ,"!" т,У„. 1=1 1=1 й=! от этой оси до такой точки, в которой следует поместить массу тела, чтобы ее момент инерции оказался равным моменту инерции тела относительно рассматриваемой оси. Моменты инерции относительно оси и точки имеют одинаковую размерность — произведение массы на квадрат длины (кг мг). Кроме моментов инерции относительно точки и оси используются также моменты инерции относительно плоское~ей и центробежные моменты инерции.

Эти моменты инерции удобно рассмотреть относительно координатных плоскостей и осей декартовой системы координат. в 5. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ЗАДАННУЮ ТОЧКУ В заданной точке 0 выберем декартову систему осей координат Охуг. Ось 01 образует с осями координат углы а, 13, Т (рис.

30). По определению момента инерции относительно оси 01 имеем 11= 7' тййг2~ (20) или для сплошных тел у, =171!7(т. В дальнейшем используется определение (20). Сплошные тела считаются разбитыми на 1т' малых частей, принимаемых за точки. Из прямоугольного треугольника ОАйМй получаем 17 „г (01 )г (21) где гг =хг+уг+гг, х, уй, г,— координаты точки Мй.

Отрезок ОА, является проекцией радиуса-вектора Рй=хйй'+уй1+гйГ на ось 01. Для получения проекции вектора гй на ось 01 его следует умножить скалярно на единичный вектор этой оси (о =1сова+1сов~3+Есову. Имеем ОАй =г, 1" =(х 1+у 7+г н)(йсова+1совр+нсову)= = х,сова+у,сов 13+ 7,сову. (22) Умножая в (21) гйг, выраженный чегоез координаты точки М„, на единицу в виде совга+совгр+сов у=1 и используя значение (22) для ОА„получим 711' =(хй +уй +гй)(сов~а+сов!13+сов!у)— — (хйсова+уйсов13+гйсову) =(уй +гй)сов а+(гй +хй)сов ~3+ +(хй +у,')соь'у — 2уйгйсов()сову — 2гйхйсовусова— — 2хйуйсовасов|3. (23) Подставляя (23) в (20) и вынося косинусы углов за знаки сумм, имеем 282 .1, =сов а 2 тй(уй +гй)+сов р ! тй(гй +хй)+ й=1 1=1 и и +соьгу '! т (хйг+уйг) — 2соврсову ,'! тйуйгй— 1=1 й=1 и и — 2совусова '„1 т г,хй — 2совасоь13 ,'1 тйхйуй.