теория (1077646), страница 2
Текст из файла (страница 2)
где т — масса системы, а ас — ускорение центра масс. Математическая запись теоремы (2) похожа на второй закон Ньютона. Дадим более подробное изложение теоремы. При движении системы ее центр масс С движется по некоторой траектории. Пусть, например, в момент времени 1о он находится в положении В и имеет скорость йсо. Если теперь в момент времени ~о в положение В поместить точку массы т, сообщить ей скорость йс и приложить к ней силы, равные внешним силам, действующим на систему, то, начиная с этого момента, точка будет двигаться вместе с центром масс системы, по одной и той же траектории, с одинаковой скоростью и одинаковым ускорением.
Из уравнения (2) можно получить дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат: 335 В.З. ТеоремА ОБ изменении кОличестВА ДВижениЯ Отметим, что в этом случае постоянным является вектор скоро- сти, а не только его модуль, поэтому центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно. Если проекция главного вектора внешних сил.системы на какую- ~либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы )1а эту ось остается постоянной. Например, если ,'> РА, — — О, то 11с, — СОПБФ. Пример. По боковой грани призмы массы п11, находящейся на гладкой го- ризонтальной плоскости, под действием силы веса скатывается однородный диск массы т2 (рис.
28). Угол наклона боковой грани к основанию равен а. В началь- ный момент скорости призмы и диска равны нулю. Определить расстояние Ы1, на которое сдвинется призма, когда центр диска переместится вдоль грани на расстояйие Ы2. Решение. Включим в механическую систему два тела — призму и диск и расставим внешние силы — активные силы веса С~1 и С~~ и силу реакции У1 гладкой плоскости.
Характернав особенность системы внешних сил заключается в том, что л все они перпендикулярны горизонтальной оси, и поэтому сумма их проекций на эту ось равна ь, Ю нулю. ри1 ! а Направим ось х горизонтально слева направо с началом в точке О.
На рис. 28 изобра- ж' Б 1 зим систему в двух положениях: начальном 1 и в тот момент времени, когда диск переместился по грани призмы на расстояние Ы2 — П. Поскольку направление и величина перемещения призмы заранее неизвестны, то, особенно не гадая, изобразим положение П правее начального положения 1. ТаК КаК ~Еьв — — О, ИЗ ЗаКОНа СОХраНЕНИя ПрОЕКцИИ СКОрОСтИ цЕНтра МаСС системы на ось х следует ес — — сопвС. Так как в положении 1 все скорости были равны нулю, то вс —— О.
Отсюда следует, что хс — — сопв1 или хс — хс . Пользуясь 1 П формулами для координат центра масс, перепишем последнее равенство так: т1~с + т2хс т1~с + т2~с 1 1 П П т1+ п12 т1+ т2 (3) Здесь хс и хс — координаты центров масс призмы и диска в положении 1, а 1 1 хс и яс — аналогичные величины в положении 11. П П 1 Э Из рис. 28 видно, что хс — яс + Ы1, хс — — хс + Ы1 + Ы2 сов а. Подставляя П 1 П 1 1 1 ' 2 2 эти соотношения в формулу (3), после алгебраических преобразований найдем тзН2 сова "1 т1+ т2 Знак полученного ответа говорит о том, что перемещение призмы направлено противоположно изображенному на рисунке.
5.3. Теорема об изменении количества движения Количеством движения точки массы т, движущейся со скоростью 17, называется вектор 338 ОБЩие теОРемы ДинАмики мехАнической системы 5.4. Теорема об изменении кинетического момента Момент количества движения и кинетический момент. Моментом количества движения материальной точки относительно неподвижного центра Р называется вектор Лр, равныи векторному произведению радиуса-вектора, соединяющего центр с точкой, на количество движения точки: Кр — — Яр( ц) = г х ти~7.
Кинетическим моментом (главным моментом количества движения) механической системы относительно центра Р называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно центра 17,=,'> Л'„. Моментом количества движения точки относительно оси х называется величина К,, равная проекции на эту ось момента количества движения точки относительно любого центра Р, принадлежащего оси: к. = м.(~).
Вычисляется 11 так же, как момент силы относительно оси. Кинетическим моментом системы относительно оси х называется проекция на нее момента системы относительно любого центра Р, принадлежащего оси: К,= ) К Аналитическое выражение для кинетического момента системы относительно оси х имеет вид К = ~ ти (у г — ууг ). Формулы для К„и К, аналогичны приведенной. Можно показать, что кинетический момент системы относительно центра Р равен сумме момента количества движения центра масс относительно центра Р и кинетического момента системы относительно центра масс С в ее относительном движении в системе Кенига -Ф 1~р = Лар+ ~~с Здесь Яр —— Л~р(тйс), Л.с — кинетический момент системы в ее движении по отношению к системе отсчета Кенига.
Кинетический момент К, твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси х с угловой скоростью ы, вычисляется по формуле К, =1,ы, (5) где 1, — момент инерции твердого тела относительно оси х. 5.4. ГЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА 339 Р ~~~ ~ М (фе) (6) Проектируя (6) на оси координат (например, на ось х), получим теорему об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси: (7) Если эту теорему применить к изучению движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси г, получим дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси: где у — угол поворота.
Закон сохранения кинетического момента: если главный момент внешних сил системы относительно центра Р равен нулю, то главный момент количеств движения отно- сительно этого центра будет постоянным. На- нр пример, если ) Яр(Р') = О, то Лр — — сопв1. В правой части равенства располагается вектор-константа, т.е. и величина вектора, и его направление не зависят от времени. Если сумма моментов внешних сил системы относительно какой-либо неподвижной оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси остается постоянным.
На- пример, Рис. 30. если ~М,(Ф') = О, то К = сопв1. Пример. На однородный барабан веса 01 и радиуса Н намотана невесомая нить с грузом веса бз на конце (рис. 30). Определить ускорение груза, пренебрегая силами трения при вращении барабана. Решение. Включим в систему барабан, груз и нить. Расставим внешние силы — активные силы веса 01, Из и силу реакции Уо, проходящую через Теорема Об изменении кинетического момента механической системын производная по времени от кинетического момента относительно любого неподвижного центра Р равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра: 340 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ось вращения О.
Направление силы Уо заранее неизвестно, поэтому рисуем ее произвольно. Пары сил трения в оси не возникает, что следует из условия задачи. Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы относительно оси вращения барабана (7): ~~о ), ~у ( фе) (8) Подсчитывая Ко как сумму кинетических моментов барабана и груза, с учетом (1), (5) и равенства ез — — ы1В получим ь.о = "а~(Тт1+ Мз).
(9) Вычислим сумму моментов внешних сил относительно оси ЕМО(г' ) = тздн. (10) 5.5. Теорема оо изменении кинетической энергии (ь Элементарная работа. Рассмотрим точку В, перемещающуюся под действием системы сил. Малое перемещение точки вдоль траектории характеризуется вектором Нг (рис. 31).
Из системы выделим одну силу Р. Элементарной работой силы Р на перемещении йг называется скалярная величина ЫА, равная скалярному произведению векторов Р и Й". ИА = Р с'г = РИгсова. Рис. 31 В координатной форме элементарная работа подсчитывается по формуле оА = Р с(х + Р„с(у + Р, й, где Р, Р„, Р„с(ю, пу, <Ь вЂ” координаты векторов г' и ог соответственно. Следует подчеркнуть, что, несмотря на принятую форму записи, элементарная работа НА не обязательно является полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от координат. Знак элементарной работы определяется косинусом угла а: она положительна для О ( а ( я/2, отрицательна для 1г/2 ( а ( я и равна нулю при а = ~г/2.
Подставив правые части формул (9), (10) в выражение (8) и проведя дифференцирование, найдем 2тпз аг = я. ш1+ 2тз 5.5, Ткоркмл ов измкнкнии кинктичкской энкргии 341 Вычисление элементарной работы в частных случаях. 1. Элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси г, находится по формуле ИА = ~М,(Р) йр. 2. Сумма элементарных работ сил пары, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси и при плоскопараллельном движении, может быть подсчитана так: ИА = ~МНу. Здесь М вЂ” момент пары сил, йр — элементарный угол поворота тела. Знак еплюсэ берется при одинаковых направлениях дуговых стрелок момента пары и направления вращения, «минус» — при различных направлениях (плоскость действия пары предполагается параллельной основной плоскости).
3. При вычислении элементарных работ сил трения приложенных к те- 3 ~т лу, катящемуся беэ проскальзывания, тр необходимо учесть, что в точке касания Р (рис. 32) действуют: сила нормального давления У, сила трения Р и пара сил трения качения с моментом М = Уй. Поскольку, в силу отсутствия проскальзывания, точка касания является мгновенным центром скоростей и ее скорость ер равна нулю, то и пг = йр й = О, откуда "А~ = ~Атр = "~ "Ам = — Мтр Ф = — ~~ Ф 4. Можно доказать, что сумма элементарных работ сил, приложенных к твердому телу, равна сумме элементарных работ статически эквивалентной системы сил.
По теореме о приведении системы сил к заданному центру произвольную систему сил можно заменить эквивалентной системой, состоящей иэ силы Я, приложенной в наперед заданной точке Р, и пары сил с моментом Яр. Поэтому довольно часто вместо громоздкого подсчета суммы элементарных работ большого числа сил, приложенных к телу, подсчитывают сумму элементарных работ одной силы и одной пары. Пример 1. Системв элементарных сил тяжести твердого тела всегда имеет равнодействующую, равную весу тела С, приложенную в центре тяжести С.
Поэтому сумма элементарных работ сил тяжести равна работе силы веса на перемещении центра тяжести тела. Пример 2. Сумма элементарных работ внутренних сил, приложенных к точкам твердого тела, равна нулю, так как главный вектор и главный момент системы внутренних сил равны нулю. 342 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Работа силы. Потенциальная сила. Работа силы г на конечном перемещении точки по траектории РЕ ~см. рис. 31) равна криволинейному интегралу А= ~АА= /х хх= /У,ух~У„Ау~у,ух.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
