теория (Некоторые вырезки из учебников), страница 3

РЕ ГАЕ Сила называется потенциальной, если ее работа не зависит от формы траектории, а зависит лишь от ее начальной и конечной точек. Примером потенциальной силы является сила тяжести О, ее работа может быть подсчитана по формуле А = — с(»»ю) Здесь ось» выбрана параллельно линии действия силы веса и направлена ей навстречу, д — сила веса, »о, » — координаты начальной и конечной точек траектории. 1ь Кинетическая энергия. Кинетической энергией точки массы т, движущейся со скоростью ~7, называется скалярная величина Т, определяемая формулой ти г 2 Кинетпической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех ее точек: т 6 2 Можно доказать, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии центра масс и кинетической энергии системы при ее относительном движении в системе отсчета Кенига: тхх' ~ т (х')х где т = ~ т а и' †относительн скорости точек. 1' 1 Формулы для кинетической энергии твердого тела: а) при его поступательном движении: Т = †т, 1 г б) при вращении вокруг неподвижной оси»: Т = — 1,ы, 1 г в) при плоскопараллельном движении: Т = — тес + — 1сы, где г 1 г 1 — момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной С основной плоскости и проходящей через центр масс С.

343 5.5. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Разные формулировки теоремы о кинетической энергии. Теорема о6 изменении кинетической энергии в дифференциальной форме; дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ сил, приложенных к точкам системы, на их элементарных перемещениях аТ= ~НА . (11) Теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме: изменение кинетической энергии механической системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех сил, приложенных к точкам системы, на перемещениях этих точек т-т, =~А,.

Т = э ш"с + э ~с а' = в и'"с з 1 э з з Рис. 33. Здесь учтено, что 1с — — э иаг и ес — — ыт. Так как исследуемая система является твердым телом, то ~'ЫА' = О. Подсчитаем сумму элементарных работ внешних сил и, подставив наиденные выражения для Т и ~ ЫА' в равенство (11), получим а ~ — зтос) = туг в1п о йр. ~з э1 Поделив обе части равенства на й с учетом кинематических соотношений йс = ас, ф = <и, наидем ос — з д в!и и.

2 (1г) Замечание. В отличие от трех ранее рассмотренных теорем динамики системы последняя теорема характеризуется следующими особенностями: 1) теорема об изменении кинетической энергии связывает не векторные величины, а скалярные; 2) в правую часть равенства входят работы всех сил,не только внешних, но и внутренних (возможно также разбиение суммы работ на сумму работ активных сил и сил реакций связей); 3) сумма работ внутренних сил, приложенных к точкам твердого тела, равна нулю. Пример. Однородный диск под действием силы веса С скатывается без проскальзывания по идеально шероховатой плоскости, наклоненной под углом о к горизонту (рис. 33). Определить ускорение центра диска, величину силы трения и минимаяъное значение коэффициента трения ~", при котором возможно качение без просквлъзывания. Решение.

В качестве механической системы выберем диск и применим для исследования движения теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме (11). Подсчитывая кинетическую энергию диска, найдем 346 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2. При вращении вокруг неподвижной оси л: М," = — 1,б. 3. При плоскопараллельном движении: М" = — 1сб. Здесь б — угловое ускорение тела, 1, и 1с — моменты инерции тела относительно оси л и оси, проходящей через центр масс перпендикулярно основной плоскости (знаки »минус» в формулах означают, что направления углового ускорения и момента пары сил инерции противоположны) . Пример 2.

Однородный диск радиуса г катится вверх без проскальзывания по дуге окружности радиуса Н (рис. 35). Коэффициент трения качения равен л. Определить ускорение центра диска и силу давления диска на опору в тот момент, когда скорость центра диска равна мс, а угол между вертикалью и прямой, соединяющей центры диска и дуги, равен а. Решение.

Ускорение центра диска состоит из двух составляющих а~~ и а~~, причем направление а~~ заранее неизвестно, а ос~ —— оса/(Я вЂ” г). При отсутствии проскальзывания а~~ — ег, где в — угловое ускорение диска. Силы инерции диска приведем к центру масс, при этом силу инерции раз~т о ложим на две составляющие Ф = Ф е+ Ф ", где Ф г = -»па~» и Ф" = -п»У~о. Величина момента пары сил инерции будет равна Мв — — 1св = п»го~с/2, соответствующую ему дуговую стрелку направим противоположно дуговой стрелке предполагаемого углового ускорения.

Изображенная на рис. 35 система сил уравновешена в силу принципа Даламбера. Выпишем уравнения равновесия для плоской системы сил: Р р+ Фв — ОвГпа = О, Аà — ф" — С сова вв О, (1) (2) (3) -М + Мс~ + Ф~г — Сг в1п а = О. Здесь (1) — уравнение проекций на направление Фвр, (2) — уравнение проекций на направление У, (3) — уравнение моментов относительно центра Р, Присоединив к этим уравнениям закон Кулона (см. гл.

3): тр Рис. 35 М р йЖ получим окончательно систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными а~~, ДГ, Р, М, решив которую, найдем: 2 Г у а „а а~~ — — — ~угв1па+ /с~усова+ )~, АГ = п»~усова+ — Л вЂ” 1. Зг ~ я-. Л' Н вЂ” г/ б.2. Классификация механических связей. Обобщенные координаты 1в Классификация механических связей.

Механическими селзлми называются некоторые устройства (тела), накладывающие ограничения на положения и скорости точек механической системы. Эти ограничения выполняются всегда независимо от заданных сил и записываются в виде соотношений, называемых уравнения.ни связей. 6.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ. ОБОБШЕННЫЕ КООРДИНАТЫ 347 Стационарными связями называются связи, не зависящие от времени; связи, зависящие от времени, называются нестаиионарными. Связи, в уравнения которых входят координаты точек и время, называются геометрическими; связи называются кинематическими (дифференциальными), если в уравнения связей входят скорости, координаты точек и время, Если кинематическую связь можно «заменить«эквивалентной геометрической, то она называется кинематической интегрируемой, в противном случае — неинтегрируемой.

Геометрические и кинематические интегрируемые связи называются голономными, а кинематические неинтегрируемые — неголономными. Механическая система называется голономной, если на нее наложены только голономные связи, и неголономной, если имеется хотя бы одна неголономная связь. Связи называются неосвобождающими, если ограничения, накладываемые ими на положения точек, их скорости и время, могут быть записаны в форме равенств.

Освобождающие связи записываются в форме неравенств. 1ь Возможным (виртуальным) перемещением точки механической системы называется любое допускаемое наложенными связями перемещение вг из положения, занимаемого точкой в данный момент времени (при построении таких перемещений надо мысленно остановить время, при этом нестационарные связи станут неподвижными, т,е. — стационарными), Возможные перемещения точка не совершает, но могла бы совершить, не нарушая связей в данный момент времени. Возможным перемещением системы называется любая совокупность возможных перемещений точек системы БР~, допускаемых всеми наложенными на нее связями. В качестве примера рассмотрим точку, на которую наложена не- стационарная связь — плоскость, движущаяся поступательно со скоростью й (рис.

36). В соответствии с теоре- 'в мой о сложном движении точки ее действи- .Р тельное перемещение вт" равно геометриче- аР скои сумме относительного вт и переносно- а'Ф го, равного йй. На рисунке видна разница между действительным и возможным пере- Рис. 36. мещениями точки. Для стационарных связей действительные перемещения точек находятся среди возможных, Механическая система может иметь множество различных возможных перемещений. Однако для систем, состоящих из материальных твердых тел и конечного количества материальных точек, су- 348 ПРинЦип ДАлАмБеРА, АКАлитическАЯ мехАникА ществует некоторое число независимых между собой возможных перемещений, через которые можно выразить любое другое возможное перемещение.

Число независимых перемещений называется числом степеней свободы механической сисшемы. Обобщенными координатами называются независимые между собой параметры, которые однозначно определяют положение каждой точки механической системы. В случае голономной системы число степеней свободы равно числу обобщенных координат, в случае неголономной системы число степеней свободы меньше числа обобщенных координат.

Рассмотрим конкретные примеры. 1. Свободная материальная точка в пространстве является системой с тремя степенями свободы. 2. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Действительно, положение любой точки тела в пространстве можно определить, зная положение трех его точек В1, Вз, Вз, не лежащих на одной прямой. Положение каждой иэ точек можно задать тремя параметрами, например, координатами х, у, я (~ = 1, 2, 3), Общее число координат равно девяти, но эти 9 чисел не могут задаваться произвольно, так как они связаны тремя уравнениями, согласно которым расстояния Ы1з, Н~з, аз1 между точками должны оставаться постоянными, поскольку они принадлежат твердому телу.

Если, например, известны шесть координат х1, у1, з1, хз, уз, хз, то оставшиеся три ~2, уз, лз могут быть найдены иэ уравнений связей. 3. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, и в качестве обобщенной координаты можно выбрать угол поворота <р. 4. Твердое тело при плоскопараллельном движении имеет три степени свободы, в качестве обобщенных координат можно, например, выбрать угол поворота и две декартовы координаты какой-либо точки те- 27 ла. 1 5.

Твердое тело при поступатель- ном движении имеет три степени сво- А боды, в качестве обобщенных коорди- нат можно выбрать три декартовы кохк ординаты какой-либо точки тела. 6. Система, состоящая из призмы, Рис. 37. положенной на плоскость, и диска, ка- тящегося беэ проскальзывания по боковой грани призмы, имеет две степени свободы (рис. 37), 7.

Система, состоящая из двух свободных точек, имеет шесть степеней свободы. 349 6.3. Принцип возможных пкркмкщкний 8. Механизм швейной машины, состоящий из большого числа твердых тел, имеет одну степень свободы. 9. Тонкий прямолинейный стержень на плоскости, который должен двигаться так, чтобы скорость его центра была параллельна оси стержня, имеет две степени свободы, Из приведенных примеров механических систем лишь одна— последняя — была неголономной, остальные были голономными, Вернемся снова к понятию обобщенных координат, взяв для иллюстрации систему из примера 6.