теория (Некоторые вырезки из учебников), страница 10

Для таких осей координат «х,=«„,=«,х=О и из (3) получаем: К,=«в„' Ку=«,ву; К,=«вх. (4) В этом случае проекции кинетического момента вычисляются так же, как и в слук чае, если бы каждая из главных осей инерции была неподвижной осью вращения Рис. ! ЗЗ тела. Главные оси инерции для неподвижной точки О обычно тодвнжные оси, скрепленные с самим вращающимся телом. Голько такие оси могут быть главными в течение всего зремени вращения тела.

Другие подвижные или неподвижные эси могут быть главными только в отдельные моменты зремени. Частный случай. Если имеем тело, которое вращается юкруг неподвижной оси Ох (рис. 133), то в этом случае зектор угловой скорости в направлен по оси вращения и его троекцни на две другие оси, перпендикулярные оси вращения, эавны нулю, т. е. вх = в, = О. Так как вра!цение вокруг «еподвижной оси есть частный случай вращения тела вокруг «еподвижной точки, то по формулам (3) в этом случае имеем: (5) Если ось вращения Ог является главной осью инерции для зе точки О, то «х,=«,=О и из (5) получаем: Кх=О; К,=О; К,=«,в,.

(5') Кинетический момент для случая главной оси направлен по эси вращения. В других случаях он не направлен по оси вращения. Ось вращения является главной осью инерции для всех своих точек, если она является главной центральной эсью инерции. 8 2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ В соответствии с определением кинетической энергии имеем (с -г (т Т=- у пгхп, =- у тгп,.бг.

2 2=2 2 Ь= 2 Если заменить один из векторов скорости па его значением из (2), то получим 492 н Т=- ~ т (й х г„) .Вх= — ,'~ тгдь (й х Рх). (6') 2 г 2 2 2 2 В смешанном произведении трех векторов можно переставлять сомножители в круговом порядке, т. е. б„. (й х г,) =82.

(пг х й) = й (г х Ю„). С учетом этого после вынесения вектора й за знак суммы получим и Т= /2 оэ. 2 г, и тьпг = 12 ог Ко, (7) так как н 2 г„х т„Р„= Ко. ь=! Итак, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна половине скалярного произведения угловой скорости вращения тела и кинетического момента относительно закрепленной точки. Скалярное произведение можно представить в двух формах: Т= 12 сз'Ко=1!2 оэКосоз(й, Ко)= !2 (агК2+СсуКу+СО2К2).

(7') Так как кинетическая энергия может иметь только положительные значения, то из (7') следует соз (й, Ко ) > О, т. е. угол между мгновенной осью, по которой направлен вектор угловой скорости, и кинетическим моментом относительно закрепленной точки всегда острый. Если в (7') величины К„К,, К, заменить их значениями из (3), то получим Т=1/2 (У„го~+/го)у+У,ш~ — 2l„шуш,— У„ш,ш,— 2У„уш„шу), (8) т. е. кинетическая энергия тела с одной закрепленной точкой является квадратичной формой проекций угловой скорости на оси координат. В матричной форме, учитывая (1'), кинетическую энергию можно представить формулой Т=1/2 й(уй).

Если оси координат Охуг являются главными осями инерции для закрепленной точки О, то з„у=з'„=У,„=О и (8) примет вид г 2 (Ухсух+ 'Ууюу + 'Угтпг ). (9) Эта формула является обобщением выражения кинетической энергии, полученного при рассмотрении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Согласно (9), кинетическая энергия при вращении тела вокруг неподвижной точки 493 Рис.

134 получается так же, как при одновременном вращении вокруг трех неподвижных главных осей инерции, проходящих через эту точку. Проверкой можно убедиться, что как в общем случае, так и в случае главных осей инерции справедливы формулы К„=дТ)дв„; К„=дТ)да; К,=дТ дго,. Для случая вращения тела вокруг неподвижной оси К,=дТ(доз,. Пример. Диск 1, имея закрепленную точку О (рис.

134, а), катится без скольжения по плоскости. Вычислить кинетическую энергию диска. Решение. Выберем за подвюкные оси координат главные оси инерции для точки О, скрепленные с диском. Имеем т=г! (у а22 У аг.1 1 022) Мгновенная ось для диска 1, по которой направлена угловая скорость а, проходит через неподвижную точку О и точку соприкосновения диска с неподвижной плоскостью. Главными осями инерции диска являются ось симметрии Ог и две любые оси Ох и Оу, перпендикулярные ей в силу симметрии диска.

Для этих осей имеем: у д а„=б; а„=асозо=а; а,=ам а=а г„г Лг* * /„г Лг Момент инерции У,=туг/2. Моменты инерции относительно осей Ох и Оу вычисляем с использованяем теоремы Штейнера. Имеем 1 =1 „-~тд'1 Зу=усу Ч- 12 . Для диска (рис. 134, б) зс 4 Ус =ту~/4. Используя эти значения моментов инерции, получаем 1 =т(уз|4+Ау) 1 =т(уг/4-Ьдг). Для кинетической энергии с учетом а„=о имеем 2 ( ° 4(угг Дг) 4 ггл-Нг 2 г г„г (у24 4дг Ь2д2) (22 1 бя2) 8( гЧ дг) 8(уг-ьяг) 8 2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ В соответствии с определением кинетической энергии имеем (с -г (т Т=- у пгхп, =- у тгп,.бг.

2 2=2 2 Ь= 2 Если заменить один из векторов скорости па его значением из (2), то получим 492 н Т=- ~ т (й х г„) .Вх= — ,'~ тгдь (й х Рх). (6') 2 г 2 2 2 2 В смешанном произведении трех векторов можно переставлять сомножители в круговом порядке, т. е. б„. (й х г,) =82. (пг х й) = й (г х Ю„). С учетом этого после вынесения вектора й за знак суммы получим и Т= /2 оэ. 2 г, и тьпг = 12 ог Ко, (7) так как н 2 г„х т„Р„= Ко.

ь=! Итак, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна половине скалярного произведения угловой скорости вращения тела и кинетического момента относительно закрепленной точки. Скалярное произведение можно представить в двух формах: Т= 12 сз'Ко=1!2 оэКосоз(й, Ко)= !2 (агК2+СсуКу+СО2К2). (7') Так как кинетическая энергия может иметь только положительные значения, то из (7') следует соз (й, Ко ) > О, т. е. угол между мгновенной осью, по которой направлен вектор угловой скорости, и кинетическим моментом относительно закрепленной точки всегда острый.

Если в (7') величины К„К,, К, заменить их значениями из (3), то получим Т=1/2 (У„го~+/го)у+У,ш~ — 2l„шуш,— У„ш,ш,— 2У„уш„шу), (8) т. е. кинетическая энергия тела с одной закрепленной точкой является квадратичной формой проекций угловой скорости на оси координат. В матричной форме, учитывая (1'), кинетическую энергию можно представить формулой Т=1/2 й(уй).

Если оси координат Охуг являются главными осями инерции для закрепленной точки О, то з„у=з'„=У,„=О и (8) примет вид г 2 (Ухсух+ 'Ууюу + 'Угтпг ). (9) Эта формула является обобщением выражения кинетической энергии, полученного при рассмотрении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Согласно (9), кинетическая энергия при вращении тела вокруг неподвижной точки 493 Рис.

134 получается так же, как при одновременном вращении вокруг трех неподвижных главных осей инерции, проходящих через эту точку. Проверкой можно убедиться, что как в общем случае, так и в случае главных осей инерции справедливы формулы К„=дТ)дв„; К„=дТ)да; К,=дТ дго,. Для случая вращения тела вокруг неподвижной оси К,=дТ(доз,. Пример. Диск 1, имея закрепленную точку О (рис. 134, а), катится без скольжения по плоскости.

Вычислить кинетическую энергию диска. Решение. Выберем за подвюкные оси координат главные оси инерции для точки О, скрепленные с диском. Имеем т=г! (у а22 У аг.1 1 022) Мгновенная ось для диска 1, по которой направлена угловая скорость а, проходит через неподвижную точку О и точку соприкосновения диска с неподвижной плоскостью. Главными осями инерции диска являются ось симметрии Ог и две любые оси Ох и Оу, перпендикулярные ей в силу симметрии диска. Для этих осей имеем: у д а„=б; а„=асозо=а; а,=ам а=а г„г Лг* * /„г Лг Момент инерции У,=туг/2. Моменты инерции относительно осей Ох и Оу вычисляем с использованяем теоремы Штейнера. Имеем 1 =1 „-~тд'1 Зу=усу Ч- 12 .

Для диска (рис. 134, б) зс 4 Ус =ту~/4. Используя эти значения моментов инерции, получаем 1 =т(уз|4+Ау) 1 =т(уг/4-Ьдг). Для кинетической энергии с учетом а„=о имеем 2 ( ° 4(угг Дг) 4 ггл-Нг 2 г г„г (у24 4дг Ь2д2) (22 1 бя2) 8( гЧ дг) 8(уг-ьяг) 8 2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ В соответствии с определением кинетической энергии имеем (с -г (т Т=- у пгхп, =- у тгп,.бг.

2 2=2 2 Ь= 2 Если заменить один из векторов скорости па его значением из (2), то получим 492 н Т=- ~ т (й х г„) .Вх= — ,'~ тгдь (й х Рх). (6') 2 г 2 2 2 2 В смешанном произведении трех векторов можно переставлять сомножители в круговом порядке, т. е. б„. (й х г,) =82. (пг х й) = й (г х Ю„).

С учетом этого после вынесения вектора й за знак суммы получим и Т= /2 оэ. 2 г, и тьпг = 12 ог Ко, (7) так как н 2 г„х т„Р„= Ко. ь=! Итак, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна половине скалярного произведения угловой скорости вращения тела и кинетического момента относительно закрепленной точки. Скалярное произведение можно представить в двух формах: Т= 12 сз'Ко=1!2 оэКосоз(й, Ко)= !2 (агК2+СсуКу+СО2К2). (7') Так как кинетическая энергия может иметь только положительные значения, то из (7') следует соз (й, Ко ) > О, т. е.

угол между мгновенной осью, по которой направлен вектор угловой скорости, и кинетическим моментом относительно закрепленной точки всегда острый. Если в (7') величины К„К,, К, заменить их значениями из (3), то получим Т=1/2 (У„го~+/го)у+У,ш~ — 2l„шуш,— У„ш,ш,— 2У„уш„шу), (8) т. е. кинетическая энергия тела с одной закрепленной точкой является квадратичной формой проекций угловой скорости на оси координат. В матричной форме, учитывая (1'), кинетическую энергию можно представить формулой Т=1/2 й(уй). Если оси координат Охуг являются главными осями инерции для закрепленной точки О, то з„у=з'„=У,„=О и (8) примет вид г 2 (Ухсух+ 'Ууюу + 'Угтпг ). (9) Эта формула является обобщением выражения кинетической энергии, полученного при рассмотрении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Согласно (9), кинетическая энергия при вращении тела вокруг неподвижной точки 493 Рис. 134 получается так же, как при одновременном вращении вокруг трех неподвижных главных осей инерции, проходящих через эту точку. Проверкой можно убедиться, что как в общем случае, так и в случае главных осей инерции справедливы формулы К„=дТ)дв„; К„=дТ)да; К,=дТ дго,. Для случая вращения тела вокруг неподвижной оси К,=дТ(доз,. Пример. Диск 1, имея закрепленную точку О (рис.

134, а), катится без скольжения по плоскости. Вычислить кинетическую энергию диска. Решение. Выберем за подвюкные оси координат главные оси инерции для точки О, скрепленные с диском. Имеем т=г! (у а22 У аг.1 1 022) Мгновенная ось для диска 1, по которой направлена угловая скорость а, проходит через неподвижную точку О и точку соприкосновения диска с неподвижной плоскостью. Главными осями инерции диска являются ось симметрии Ог и две любые оси Ох и Оу, перпендикулярные ей в силу симметрии диска. Для этих осей имеем: у д а„=б; а„=асозо=а; а,=ам а=а г„г Лг* * /„г Лг Момент инерции У,=туг/2. Моменты инерции относительно осей Ох и Оу вычисляем с использованяем теоремы Штейнера.