теория (Некоторые вырезки из учебников), страница 9

! ЗЗ тела. Главные оси инерции для неподвижной точки О обычно тодвнжные оси, скрепленные с самим вращающимся телом. Голько такие оси могут быть главными в течение всего зремени вращения тела. Другие подвижные или неподвижные эси могут быть главными только в отдельные моменты зремени. Частный случай. Если имеем тело, которое вращается юкруг неподвижной оси Ох (рис.

133), то в этом случае зектор угловой скорости в направлен по оси вращения и его троекцни на две другие оси, перпендикулярные оси вращения, эавны нулю, т. е. вх = в, = О. Так как вра!цение вокруг «еподвижной оси есть частный случай вращения тела вокруг «еподвижной точки, то по формулам (3) в этом случае имеем: (5) Если ось вращения Ог является главной осью инерции для зе точки О, то «х,=«,=О и из (5) получаем: Кх=О; К,=О; К,=«,в,.

(5') Кинетический момент для случая главной оси направлен по эси вращения. В других случаях он не направлен по оси вращения. Ось вращения является главной осью инерции для всех своих точек, если она является главной центральной эсью инерции. увердого тела можно представить состоящим из двух движений: зоступательного вместе с какой-либо точкой тела и вращения его юкруг этой точки.

В качестве точки, вместе с которой эассматривается поступательное движение, выбирают центр масс гела, так как для него имеется теорема о движении центра масс. К изучению движения тела вокруг, например, центра масс можно зрименить общие положения о движении тела вокруг неподвижчой точки. $1. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Имеем твердое тело, одна из точек которого закреплена. Движение тела рассматривается относительно некоторой систе!«ы координат Охук (рис. 132), начало которой находится в закрепленной точке тела. Вращение тела вокруг неподвижной гочки в каждый момент времени есть вращение вокруг !«гновенной оси с угловой скоростью в, направленной по этой оси.

Для кинетического момента Ко относительно неподвижной точки, согласно его определению, имеем К =,'! г,хи!ко,, (1) х=! где и, радиус-вектор какой-либо точки тела; т! — масса точки; й! скорость этой точки относительно выбранной системы отсчета. Для сплошного тела роль точек выполняют малые элементарные частицы тела, на )У которых оно разбито. Из кинематики известно, что скорости точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки вычисляются по векторной формуле Эйлера Г «х Уг вх ву Х У! Гх = ! (в,г! — в,у„)+ й =вэ«г„= +«х(В, Х! — В„Г!)+ К (ВхУ, — В,Х„), (2) которую в проекциях на оси координат, учитывая, что векторное произведение можно представить в виде определите- ля, выразим в форме вух вэу ! 0«хУ! 0кУ ау! Х! Вхг! екх=вэ У!, В„Хк, (2') где х„у„г! — координаты точки тела с массой п1„.

Для проекции кинетического момента на ось Ох с учетом (2') имеем Рис. 132 и и Кххх 2„~к(У,Рхх — к!Оку)= '„! ткну!(В,У! — В,Х,)— к=! к=! Зк(В„Х! В а!)ЗЗ=В ~ УЛ (У1+ахк)— к=! Ву З, УП! ХкУЗ В ! УП! Х! ЗЗ. " к~ и=! Проекции угловой скорости в„ву, в, вынесены за знаки сумм, гак как они не зависят от точек тела, по которым ведется :уммирование. Суммы в (1') представляют собой соответственао осевой «х и центробежные «ху, «„ моменты инерции. С учетом этого для К, и по аналогии для Ку и К, получаем Кх УхВх «уву К, = — «ухвх+«,в — «„в„' К,= — «1хх«вх — «хУВу+«хВ . (3) По формулам (3) вычисляются проекции на оси координат кинетического момента тела относительно его закрепленной гочки. Эти проекции являются линейными функциями проекций угловой скорости вращения тела на те же оси координат. Кинетический момент К„по проекциям определяется формулой Кох К 1 РКуу+К*и (1х) Проекции на оси координат кинетического момента по )эормулам (3) можно вычислить как для осей, относительно <оторых рассматривается вращение тела (неподвижные оси), гак и лнэбых других подвижных осей, например скрепленных вращающимся телом.

Для неподвижных осей осевые «центробежные моменты инерции изменяются при вращении села и, следовательно, зависят от времени вследствие изменения юложения тела относительно этих осей. Для подвижных эсей, скрепленных с телом, моменты инерции являются юстоянными, не зависящими от времени, так как положение уела отВ!осительно этих осей не изменяется при его вращении. В случае~проецирования кинетического момента на подвижные эси координат следует иметь в виду, что кинетический иомент вычисляется для движения тела относительно неюдвижных осей.

Если применить тензор инерции «х «ху «хх «= -«х «у -«у, -«*х — «ху «х «учесть правило умножения тензора на вектор-столбец в, го (3) можно кратко выразить формулой 491 Ко = «в. Формулы (3) упрощаются для проекций кинетического момента на главные оси инерции для неподвижной точки О. Для таких осей координат «х,=«„,=«,х=О и из (3) получаем: К,=«в„' Ку=«,ву; К,=«вх.

(4) В этом случае проекции кинетического момента вычисляются так же, как и в слук чае, если бы каждая из главных осей инерции была неподвижной осью вращения Рис. ! ЗЗ тела. Главные оси инерции для неподвижной точки О обычно тодвнжные оси, скрепленные с самим вращающимся телом. Голько такие оси могут быть главными в течение всего зремени вращения тела. Другие подвижные или неподвижные эси могут быть главными только в отдельные моменты зремени.

Частный случай. Если имеем тело, которое вращается юкруг неподвижной оси Ох (рис. 133), то в этом случае зектор угловой скорости в направлен по оси вращения и его троекцни на две другие оси, перпендикулярные оси вращения, эавны нулю, т. е. вх = в, = О. Так как вра!цение вокруг «еподвижной оси есть частный случай вращения тела вокруг «еподвижной точки, то по формулам (3) в этом случае имеем: (5) Если ось вращения Ог является главной осью инерции для зе точки О, то «х,=«,=О и из (5) получаем: Кх=О; К,=О; К,=«,в,. (5') Кинетический момент для случая главной оси направлен по эси вращения. В других случаях он не направлен по оси вращения.

Ось вращения является главной осью инерции для всех своих точек, если она является главной центральной эсью инерции. увердого тела можно представить состоящим из двух движений: зоступательного вместе с какой-либо точкой тела и вращения его юкруг этой точки. В качестве точки, вместе с которой эассматривается поступательное движение, выбирают центр масс гела, так как для него имеется теорема о движении центра масс. К изучению движения тела вокруг, например, центра масс можно зрименить общие положения о движении тела вокруг неподвижчой точки.

$1. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Имеем твердое тело, одна из точек которого закреплена. Движение тела рассматривается относительно некоторой систе!«ы координат Охук (рис. 132), начало которой находится в закрепленной точке тела. Вращение тела вокруг неподвижной гочки в каждый момент времени есть вращение вокруг !«гновенной оси с угловой скоростью в, направленной по этой оси. Для кинетического момента Ко относительно неподвижной точки, согласно его определению, имеем К =,'! г,хи!ко,, (1) х=! где и, радиус-вектор какой-либо точки тела; т! — масса точки; й! скорость этой точки относительно выбранной системы отсчета.

Для сплошного тела роль точек выполняют малые элементарные частицы тела, на )У которых оно разбито. Из кинематики известно, что скорости точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки вычисляются по векторной формуле Эйлера Г «х Уг вх ву Х У! Гх = ! (в,г! — в,у„)+ й =вэ«г„= +«х(В, Х! — В„Г!)+ К (ВхУ, — В,Х„), (2) которую в проекциях на оси координат, учитывая, что векторное произведение можно представить в виде определите- ля, выразим в форме вух вэу ! 0«хУ! 0кУ ау! Х! Вхг! екх=вэ У!, В„Хк, (2') где х„у„г! — координаты точки тела с массой п1„. Для проекции кинетического момента на ось Ох с учетом (2') имеем Рис. 132 и и Кххх 2„~к(У,Рхх — к!Оку)= '„! ткну!(В,У! — В,Х,)— к=! к=! Зк(В„Х! В а!)ЗЗ=В ~ УЛ (У1+ахк)— к=! Ву З, УП! ХкУЗ В ! УП! Х! ЗЗ. " к~ и=! Проекции угловой скорости в„ву, в, вынесены за знаки сумм, гак как они не зависят от точек тела, по которым ведется :уммирование.

Суммы в (1') представляют собой соответственао осевой «х и центробежные «ху, «„ моменты инерции. С учетом этого для К, и по аналогии для Ку и К, получаем Кх УхВх «уву К, = — «ухвх+«,в — «„в„' К,= — «1хх«вх — «хУВу+«хВ . (3) По формулам (3) вычисляются проекции на оси координат кинетического момента тела относительно его закрепленной гочки. Эти проекции являются линейными функциями проекций угловой скорости вращения тела на те же оси координат.

Кинетический момент К„по проекциям определяется формулой Кох К 1 РКуу+К*и (1х) Проекции на оси координат кинетического момента по )эормулам (3) можно вычислить как для осей, относительно <оторых рассматривается вращение тела (неподвижные оси), гак и лнэбых других подвижных осей, например скрепленных вращающимся телом. Для неподвижных осей осевые «центробежные моменты инерции изменяются при вращении села и, следовательно, зависят от времени вследствие изменения юложения тела относительно этих осей.

Для подвижных эсей, скрепленных с телом, моменты инерции являются юстоянными, не зависящими от времени, так как положение уела отВ!осительно этих осей не изменяется при его вращении. В случае~проецирования кинетического момента на подвижные эси координат следует иметь в виду, что кинетический иомент вычисляется для движения тела относительно неюдвижных осей. Если применить тензор инерции «х «ху «хх «= -«х «у -«у, -«*х — «ху «х «учесть правило умножения тензора на вектор-столбец в, го (3) можно кратко выразить формулой 491 Ко = «в. Формулы (3) упрощаются для проекций кинетического момента на главные оси инерции для неподвижной точки О.