теория (Некоторые вырезки из учебников), страница 6

Учитывая, что и и и тЯуйг+гйг)=у . ,'! тй(гйг+хйг)=2 ,'1„тй(хйг+уйг)=2 1=1 1=1 1=1 --моменты инерции относительно осей координат, а 2 тйуйгй=У„; ,'1 тйгйхй=о,„; 2 т,х уй=2„ 1=1 1=1 й=! — центробежные моменты инерции относительно тех же осей, получим о! = о'„созга+ У,сов! 13+.1,сов! у — 2У„,сов рсов у- — 22,„сов усоь а — 21„,сов асов 13. (24) Для определения момента инерции Х! кроме углов а, р, у, определяющих направление оси, необходимо знать в точке 0 шесть моментов инерции: 2„, 1„.1„.1„, 1,„, У„,. Их удобно расположить как элементы единой таблицы или матрицы: (25) Матрица, нли таблица (25), составленная из осевых и центробежных моментов инерции относительно декартовых осей координат, называется тенг ором инерции в точке О. В тензоре инерции условились центробежные моменты инерции брать со знаком минус.

Компоненты тензора инерции (отдельные осевые или центробежные моменты инерции) зависят не только от выбора точки, но и от ориентации осей координат в этой точке. Для определения момента ,7 инерции относительно какой-ли- йчй(хй Уй 711 бо оси, проходящей через задан- 7(и Ау) ную точку, для рассматриваемо- й го тела необходимо иметь тензор инерции в этой точке и углы, определяющие направление оси .1 с осями координат. 1 Рс. ЗО 283 в 5. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ЗАДАННУЮ ТОЧКУ В заданной точке 0 выберем декартову систему осей координат Охуг.

Ось 01 образует с осями координат углы а, 13, Т (рис. 30). По определению момента инерции относительно оси 01 имеем 11= 7' тййг2~ (20) или для сплошных тел у, =171!7(т. В дальнейшем используется определение (20). Сплошные тела считаются разбитыми на 1т' малых частей, принимаемых за точки. Из прямоугольного треугольника ОАйМй получаем 17 „г (01 )г (21) где гг =хг+уг+гг, х, уй, г,— координаты точки Мй.

Отрезок ОА, является проекцией радиуса-вектора Рй=хйй'+уй1+гйГ на ось 01. Для получения проекции вектора гй на ось 01 его следует умножить скалярно на единичный вектор этой оси (о =1сова+1сов~3+Есову. Имеем ОАй =г, 1" =(х 1+у 7+г н)(йсова+1совр+нсову)= = х,сова+у,сов 13+ 7,сову. (22) Умножая в (21) гйг, выраженный чегоез координаты точки М„, на единицу в виде совга+совгр+сов у=1 и используя значение (22) для ОА„получим 711' =(хй +уй +гй)(сов~а+сов!13+сов!у)— — (хйсова+уйсов13+гйсову) =(уй +гй)сов а+(гй +хй)сов ~3+ +(хй +у,')соь'у — 2уйгйсов()сову — 2гйхйсовусова— — 2хйуйсовасов|3. (23) Подставляя (23) в (20) и вынося косинусы углов за знаки сумм, имеем 282 .1, =сов а 2 тй(уй +гй)+сов р ! тй(гй +хй)+ й=1 1=1 и и +соьгу '! т (хйг+уйг) — 2соврсову ,'! тйуйгй— 1=1 й=1 и и — 2совусова '„1 т г,хй — 2совасоь13 ,'1 тйхйуй.

Учитывая, что и и и тЯуйг+гйг)=у . ,'! тй(гйг+хйг)=2 ,'1„тй(хйг+уйг)=2 1=1 1=1 1=1 --моменты инерции относительно осей координат, а 2 тйуйгй=У„; ,'1 тйгйхй=о,„; 2 т,х уй=2„ 1=1 1=1 й=! — центробежные моменты инерции относительно тех же осей, получим о! = о'„созга+ У,сов! 13+.1,сов! у — 2У„,сов рсов у- — 22,„сов усоь а — 21„,сов асов 13. (24) Для определения момента инерции Х! кроме углов а, р, у, определяющих направление оси, необходимо знать в точке 0 шесть моментов инерции: 2„, 1„.1„.1„, 1,„, У„,. Их удобно расположить как элементы единой таблицы или матрицы: (25) Матрица, нли таблица (25), составленная из осевых и центробежных моментов инерции относительно декартовых осей координат, называется тенг ором инерции в точке О.

В тензоре инерции условились центробежные моменты инерции брать со знаком минус. Компоненты тензора инерции (отдельные осевые или центробежные моменты инерции) зависят не только от выбора точки, но и от ориентации осей координат в этой точке. Для определения момента ,7 инерции относительно какой-ли- йчй(хй Уй 711 бо оси, проходящей через задан- 7(и Ау) ную точку, для рассматриваемо- й го тела необходимо иметь тензор инерции в этой точке и углы, определяющие направление оси .1 с осями координат. 1 Рс. ЗО 283 я 6.

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ Для характеристики распределения моментов инерции тела относительно различных осей, проходящих через заданную точку, используется поверхность второго порядка — эллипсоид инерции. Для построения этой поверхности на каждой оси О1 (см. рис. 31), проходящей через точку О, откладывают от этой точки отрезок ОК =1! /Ун (26) Геометрическое место концов отрезков ОК расположится на поверхности, которая называется зллипсоидом инерции. Получим уравнение эллипсоида инерции.

Для этого выразим косинусы углов а, 11, 7 через координаты х, у, г точки К. Имеем: х у Г г соБа= — = ° /У~х; совр= — = ° //~у; сояу= — = ° /У~г. ок '" ' ' ок "" ' ' ок Подставляя эти значения косинусов углов в (24) н сокращая на У,, получим уравнение поверхности второго порядка: У„х +У,у +У, — 2У„уг — 2У «гх — 2У ху =1. (27) Это действительно уравнение эллипсонда, так как отрезок ОК имеет конечную длину для всех осей, для которых моменты инерции не обращаются в нуль. Другие поверхности второго порядка, например гиперболоиды и параболоиды, имеют бесконечно удаленные точки. Эллипсоид инерции вырождается в цилиндр для тела в виде прямолинейного отрезка, если точка О расположена на самом отрезке.

Для оси, направленной по этой прямой линии, момент инерции обращается в нуль и соответственно отрезок ОК равен бесконечности. Для каждой точки О имеется свой эллипсоид инерции. Эгшипсонд инерции для центра масс тела называют центральным зллипсоидом инерции.

Оси эллипсоида инерции (его сопряженные диаметры) называются главными осями инерции. В общем случае эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные осн инерции. Они являются его осями симметрии, В случае эллипсоида вращения все прямые, расположенные в экваториальной плоскости эллипсоида, перпендикулярной оси вращения„будут главными осями инерции.

Для шара любая прямая, проходящая через его центр, есть главная' ось инерции. Моменты инерции относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции, а относительно главных центральных осей инерции — главными центральными моментами инерции. Если уравнение эллипсоида инерции отнести к его главным осям Ох', Оу'„Ог', то оно примет вид 284 У„.х' +У,у' +У,,г' =1, (27') где х', у', г' — текущие координаты точки, расположенной на эллипсоиде инерции, относительно главных осей инерции; У„,, У, У,, — главные моменты инерции.

Уравнение эллипсоида ийерции (27') не содержит слагаемых с произведениями координат точек. Поэтому центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, т. е. У эс=0 У вЂ” 0 У эс=0. Справедливо н обратное утверждение: если центробежные моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей равны нулю, то эти оси являются главными осями инерции. Обращение в нуль трех центробежных моментов инерции является необходимым и достаточным условием того, что соответствующие прямоугольные оси координат есть главные оси инерции. Главные моменты инерции часто обозначают У„Уг, У вместо У„,, У, У, Для главных осей инерции формула (24~ принимает форму У, =Угсоз'а+Угсозг 1)+Узсов (24') я 6. ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ Для характеристики распределения моментов инерции тела относительно различных осей, проходящих через заданную точку, используется поверхность второго порядка — эллипсоид инерции.

Для построения этой поверхности на каждой оси О1 (см. рис. 31), проходящей через точку О, откладывают от этой точки отрезок ОК =1! /Ун (26) Геометрическое место концов отрезков ОК расположится на поверхности, которая называется зллипсоидом инерции. Получим уравнение эллипсоида инерции. Для этого выразим косинусы углов а, 11, 7 через координаты х, у, г точки К. Имеем: х у Г г соБа= — = ° /У~х; совр= — = ° //~у; сояу= — = ° /У~г. ок '" ' ' ок "" ' ' ок Подставляя эти значения косинусов углов в (24) н сокращая на У,, получим уравнение поверхности второго порядка: У„х +У,у +У, — 2У„уг — 2У «гх — 2У ху =1. (27) Это действительно уравнение эллипсонда, так как отрезок ОК имеет конечную длину для всех осей, для которых моменты инерции не обращаются в нуль.

Другие поверхности второго порядка, например гиперболоиды и параболоиды, имеют бесконечно удаленные точки. Эллипсоид инерции вырождается в цилиндр для тела в виде прямолинейного отрезка, если точка О расположена на самом отрезке. Для оси, направленной по этой прямой линии, момент инерции обращается в нуль и соответственно отрезок ОК равен бесконечности. Для каждой точки О имеется свой эллипсоид инерции. Эгшипсонд инерции для центра масс тела называют центральным зллипсоидом инерции. Оси эллипсоида инерции (его сопряженные диаметры) называются главными осями инерции.

В общем случае эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные осн инерции. Они являются его осями симметрии, В случае эллипсоида вращения все прямые, расположенные в экваториальной плоскости эллипсоида, перпендикулярной оси вращения„будут главными осями инерции. Для шара любая прямая, проходящая через его центр, есть главная' ось инерции. Моменты инерции относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции, а относительно главных центральных осей инерции — главными центральными моментами инерции. Если уравнение эллипсоида инерции отнести к его главным осям Ох', Оу'„Ог', то оно примет вид 284 У„.х' +У,у' +У,,г' =1, (27') где х', у', г' — текущие координаты точки, расположенной на эллипсоиде инерции, относительно главных осей инерции; У„,, У, У,, — главные моменты инерции.

Уравнение эллипсоида ийерции (27') не содержит слагаемых с произведениями координат точек. Поэтому центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, т. е. У эс=0 У вЂ” 0 У эс=0. Справедливо н обратное утверждение: если центробежные моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей равны нулю, то эти оси являются главными осями инерции. Обращение в нуль трех центробежных моментов инерции является необходимым и достаточным условием того, что соответствующие прямоугольные оси координат есть главные оси инерции.

Главные моменты инерции часто обозначают У„Уг, У вместо У„,, У, У, Для главных осей инерции формула (24~ принимает форму У, =Угсоз'а+Угсозг 1)+Узсов (24') 8 7. СВОЙСТВА ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ Теорема 1. Если одна из декартовых осей координат, например Ог (рис. 31), является главной осью инерции для точки О, а две другие оси Ох и Оу -- любые, то два центробежных момента инерции, содержащих индекс главной оси инерции Ог, обращаются в нуль, т.

е. У,„,=О и /„,=О. Главная ось инерции Ог является осью сймметрии эллип- сонда инерции. Поэтому каждой точке эллипсоида, например М(0, у, г), соответствует симметричная относительно этой оси точка М'(О, — у, г). Подставляя в уравнение эллипсоида инерции (27) последовательно координаты этих точек, получим 1+1 1 2у 1. у( )г+у 1 21 ( ) Вычитая нз первого уравнения второе, имеем -41~,уг =О. Так как всегда можно выбрать точки, для которых у и г отличны от нуля, то У„=О.