теория (Некоторые вырезки из учебников), страница 4

Положение каждой точки диска и призмы будет известно, как только будут заданы значения величин, входящих в один из наборов, состоящих из двух параметров: (х„х ), или (Ж1, Нз), или (хз, фз), или (ю1' фз)' или я1 3 (~1+к2) ~ ~2 2 ~1 *2 и т.д. Подведем итоги: для рассматриваемой системы вариантов выбора обобщенных координат существует бесконечно много, но каждый фиксированный набор всегда содержит две независимые величины.

Так как данная система голономна, число обобщенных координат равно двум, т.е. числу степеней свободы. Координаты называются обобщенными, поскольку они могут не иметь явно выраженного геометрического смысла, как,например, в случае координат д1, дз.

1ь Идеальные связи. Связи называются идеальными, если сумма работ их реакций И; равна нулю на любом возможном перемещении системы: ) БА~=О. Примером системы с идеальными связями служит свободное твердое тело, Любой сложный механизм, состоящий из нескольких твердых тел, можно трактовать как механическую систему с идеальными связями, если тела соединены абсолютно жестко, при помощи идеальных шарниров (без трения), невесомыми нерастяжимыми идеально гибкими нитями.

Кроме того, поверхности соприкосновения должны быть либо абсолютно гладкими, либо идеально шероховатыми, когда одно из тел катится по другому без проскальзывания. б.З. Принцип возможных перемещений Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ активных сил Ф на любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Математическая запись принципа возможных перемещений: 350 ПРинцип ДАлАмБеРА. АКАлитическАЯ мехАникА Пример. Найти угол ~р отклонения от вертикали оси тяжелого однородного стержня веса О, к нижнему концу которого В приложена горизонтальная сила Г (рис. 38). Решение. В механическую систему включим стержень, являющийся твердым телом.

Пренебрегая трением в шарнире, заключаем, что связи, наложенные на систему, идеальные и к исследованию ее равновесия можно применить принцип возможных перемещений. Из состояния равновесия, характеризуемого углом <р, сообщаем системе возможное перемещение — поворачиваем стержень на малый угол бу вокруг шарнира Н в сторону увеличения угла у, подсчитываем сумму элементарных работ активных сил б~ и г' и приравниваем ее нулю: -ОЬ в1п <р б~р + г 21 сов ~р б<р = О (принимаем длину стержня равной 2Ь), или после преобразований: б~р( — СЬв1п у+ Г21 сов~р) = О. Рис.

36. Поскольку возможное перемещение бу произвольно, то для того, чтобы произведение было равно нулю, необходимо приравнять нулю выражение, заключенное в круглые скобки: -СЬ в1 и ~р + Е'2Ь сов ~р = О. Отсюда находим искомый угол ~р = агсГ8(2Р/С). 6.4. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа) ЮА~~+ ~БА~~ = О. Пример. По гладкой горизонтальной поверхности движется прямоугольный параллелепипед массы п11, по его верхней идеально шероховатой поверхности катится однородный диск массы газ и радиуса гз, к центру которого приложена постоянная горизонтальная сила Гз (рис.

39, а). Найти ускорения параллелепипеда а1 и центра диска аз. Решение. Рассмотрим систему, состоящую из параллелепипеда и диска. Наложенные связи являются идеальными, и для изучения движения системы можно применить общее уравнение динамики. В качестве координат, определяющих положение системы, выберем абсолютную координату параллелепипеда х и координату хз, характеризующую положение диска по отношению к параллелепипеду.

Векторы ускорений параллелепипеда а1 и центра диска аз горизонтальны, их величины а1 —— й1, аз — — х1+хз, угловое ускорение диска ез — — йз /гз. Предполагаемые направления векторов а1, аз и соответствующее им направление дуговой стрелки вэ изображены на рис. 39, б. К активнымсилам г з, 1, дз ( д~, Уз — силы Формулировка общего уравнения динамики: механическая система, на которую наложены идеальные связи, движется так, что в каждый момент времени сумма элементарных работ всех активных сил Р и сил инерции Ф на любом возможном перемещении системы равна нулю. Математическая формулировка принципа Даламбера— Лагранжа:~ 6.5.

УРАВнвннЯ ЛАГРАнжА ВТОРОГО РОДА -Ф веса параллелепипеда и диска) добавим силы инерции Ф 1 — — -т1а1, Ф 2 —— -тг Юг и пару сил инерции с моментом Мв = -12сег (см. рис. 39, б). Сообщим системе возможное перемещение, увеличив координаты х1, хг йа величины хя бх1, бхг. При этом диск повернется на угол б~Р2 — — бхг /гг. Подсчитаем сумму элементарных работ активных сил и сил инерции на возможном перемещении и приравняем ее нулю: гг(бх1+ бхг) — т1а1 бх,— — тгаг(бх, + бхг) — 12сег б~ог = О После преобразований получим Д1 — е Д бх, [Ег — т1х, — тг(х1+ хг)) + +бх21гг тг(й1+ хг) г тгх21 = О. (4) Здесь возможные перемещения бх1 и бхг б) могут принимать произвольные независимые между собой значения. Чтобы равенство нулю выполнялось всегда, необходимо, чтобы оба выражения, стоящие множителями при бх1 и бхг и заключенные в квадратные скобки, были равны нулю.

Таким образом, равенство (4) распадается на систему двух уравнений с двумя неизвестными гг — т1х1 — тг(х1 + хг) = О, Рг т2(х1 + х2) — 2 т2х2 = О. Решая систему, найдем г Р (2т +т 1 = х1 = г= 1 хг= Зт1+ тг тг(Зт1+ тг) б.5. Уравнения Лагранжа второго рода Для описания движения голономной механической системы с и степенями свободы, на которую наложены идеальные связи, используют уравнения Лагранжа второго рода (6) Здесь д.

— обобщенные 1соординаты, количество которых равно числу степеней свободы и, д — обобщенные скорости, равные производным по времени от обобщенных координат, Т вЂ” кинетическая энергия системы, Я вЂ” обобщенные силы. 352 ПРинцип ДАлАмБеРА. АИАлитическАя мехАникА Величины Т и 1,б должны быть представлены в виде функций обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени: т = Т(д„..., д„, д„..., д„, ~), Я2' = Яг'Й11 До> 711 ' ' '1 до ~)' Обобщенные силы находятся из выражения для суммы элементарных работ активных сил Р; на возможном перемещении системы, преобразованного к виду п о1'Аг = ~~ Р; ° ост; = ) Ч бд~.

1=1 Количество обобщенных сил равно числу степеней свободы. Физическая размерность обобщенной силы Ч зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты д, так как размерность их произведения Я од должна совпадать с размерностью работы силы. По этой причине 1,б может не иметь явного физического смысла, отсюда и ее название — обобщенная сила. После подстановки в (6) функций Т и Я получается система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которую необходимо интегрировать с учетом начальных условий. Пример.

Чтобы наглядно проявились достоинства изложенной методики, составим в форме уравнений Лагранжа второго рода дифференциальные уравнения движения механической системы, рассмотренной в примере из разд. 6.4. Решение. Рассмотрим систему, состоящую из параллелепипеда и диска. Наложенные связи являются голономными и идеальными, поэтому можно применять уравнения Лагранжа второго рода. Система имеет две степени свободы; в качестве обобщенных координат, определяющих ее положение, выберем абсолютные координаты параллелепипеда д1 — х1 и центра диска дг —— х1 + хг (см. рис.

39, а). Запишем выражение кинетической энергии системы и приведем его к виду функции, зависящей от д1, 42, д1, дг, й у у у 1 1 2 С2 ~С2~2 1ч1 ~212 ~2 Иг ч1) 2 2 2 2 2 г 2 2 2 2 2 2 При проведении выкладок использована формула (1) из гл. 5 и кинематическое соотношение ыг — — (дг — 41)/гг. Из-за простой кинематики и удачного выбора обобщенных координат оказалось, что в выражение кинетической энергии не входят ни обобщенные координаты, ни время.

Вычислим обобщенные силы. Для этого подсчитаем сумму элементарных работ активных сил 61, дг, гг на возможном перемещении системы, задаваемом вариациями бд1, бдг, направленными в сторону увеличения координат д1 и 42. бА; = Р~ бяг = О бЧ1+ Рг бяг. Е '- Коэффициенты, стоящие при вариациях обобщенных координат, являются искомыми выражениями обобщенных сил, откуда %1=9 Яг=гг 353 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Осталось записать систему уравнений движения (6): С учетом найденных выражений Т, Я1 и Я2 после соответствующих преобразований уравнения движения принимают следующий вид: тп1Д1 2 тт 2(Д2 ч1) Оу тп2Ч2 + 2 тп2(Ч2 41) 2 (7) Список литературы Айзенберг Т.

Б., Воронкоо Н. М., Осецкий В. М. Руководство к решению задач по теоретической механике. — М.: Высшая школа, 1968. — 419 с. Айзерман М. А. Классическая механика.— Мл Наука, 1980.— 368 с. Ботпь М. Н., Джанелидзе Г. Ю; Кельэон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах, т. 1. Статика и кинематика. — Мл Наука, 1990. — 672 с. Батпь М. Н., Джанелидзе Г. Ю., Кельэон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах, т. 2. Динамика. — М.: Наука, 1991. — 639 с. Батпь М. Н., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах, т. 3.

Специальные главы механики. — Мл Наука, 1993.— 487 с. Бутпенин Н. В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1991 — 256 с. Бузе ольц Н. Н. Основной курс теоретической механики, ч. 1. Кинематика, статика, динамика материальной точки.