теория (Некоторые вырезки из учебников), страница 13

(18) я 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА Установим зависимость проекций вектора угловой скорости на оси координат, скрепленные с телом, от углов Эйлера ф, О, <р и их производных по времени. 49б Тело, имеющее неподвижную 7~ р точку О движется относительг р» Р-», но осей координат Ох,у, г, (рис. 136). С'движущимся телом рг» р.» скреплена система подвижных и Л»»7 осей координат Охуг, движение которой и характеризует днижение рассматриваемого твердого » тела относительно осей Ох,у,г,. Положение подвижной системы » координат относительно непо- Рис. 1Зб движной, а следовательно„и положение самого движущегося тела определяются тремя углами Эйлера: ф, О, Ч>. Изменение угла прецессии ф, образованного координатной осью Ох, н линией узлов ОК, которая является линией пересечения координатных плоскостей Ох,у, н Оху, соответствует вращению тела вокруг оси прецессии Ог„ перпендикулярной линиям, образующим угол, с угловой скоростью фЕ,„ направленной по этой аси.

Здесь и — единичный вектор осн Ог,. При изменении угла нутации О, заключенного между осями координат Ог, и Ог„тело вращается вокруг перпендикулярной зтнм осям линии узлов ОК с угловой скоростью Ой, где й — единичный вектор, направленный в положительную сторону линии узлов. Изменение угла собственного вращения ~р, ооразованнога координатной осью Ох и линией узлов ОК, приводит к вращению тела вокруг оси собственного вращения Ог, перпен$и— кулярной этим линиям, с угловой скоростью фй, где — единичный вектор оси Ог, При изменении углов Эйлера ф, О и 97 движение тела можно рассматривать как сложное, состоящее нз трех вращений вокруг пересекающихся осей Ог,, ОК и Ог с угловыми скоростями фй,, Ой и фк соответственно. Совокупность этих трех вращений эквивалентна вращению тела вокруг мгновенной оси с угловой скоростью в, направленной по этой оси.

По теореме о сложении вращений вокруг пересекающихся осей имеем в = К + Ой+ фА. (16) Определим проекции вектора угловой скорости й на подвижные оси координат Охуг, скрепленные с телом. Движение тела при этом рассматривается относительно неподвижной системы отсчета Ох,у,г,. Прн проецировании на оси координат Охуг векторной суммы правой части (16) следует проецировать на эти оси каждый из слагаемых векторов. Вектор угловой скорости фЕ направлен па оси Ог и дает проекцию на эту ось, равную ф, так как он перпендикулярен двум другим осям: Ох и Оу. 497 О Угловая скорость Ой, направленная д по линии узлов, располагается в плос- кости подвижных осей Ох и Оу, н ее ф.

Япд. проекция на ось Ох равна Осоир, а на ось Оу ( — О яагер). Знак минус у проекх ции на ось Оу поставлен потому, чта при изображенном на рисунке располо- Рие. Ы7 жЕНИИ ОСЕЙ ВЕКтОр Ой При раЗЛОжЕНИИ по осям Ох и Оу имеет составляющую в отрицательном направлении оси Оу. Проецируемый вектор Ой перпендикулярен осн Ог, н его проекция на эту ось равна нулю. Для того чтобы спроецировать на оси координат Охуг вектор ф» „его следует предварительно разложить на две перпендикулярные составляющие, одна из которых направлена па оси Ог, а другая перпендикулярная составляющая расположится в плоскости осей координат Ок и Оу. Имеем фй,=фсавО Г+фяпО /, (17) где 7 — единичный вектор направленный по линии ОЕ, При проецировании вектора фк, на оси координат следует проецировать на эти оси каждый вектор из правой части (17).

Вектор фсазО й дает проекцию фсо»О только на ось Ог. Остается спроецировать вектор фяпО 1, расположенный в плоскости осей координат Ох и Оу, на эти оси. В плоскости этих осей расположится также линия узлов ОК (рис. 137), Линия 07., по которой направлен праецируемый вектор ф япО 1, и линия узлов взаимно перпендикулярны, так как линия узлов перпендикулярна осям координат Ог и Ог,, а следовательно, она перпендикулярна и линии 07., расположенной в плоскости этих осей. Угол ~р между осями Ох и ОК является также углом между перпендикулярными к ним осями Оу и 01..

Таким образом, проекция вектора фяпО 7 на ось Оу равна фяпОсоз~р, а на ась Ох--- фз1пОяп~р. Собирая вместе проекции на оси координат векторов, входящих в правую часть (16), с учетом полученных проекций векторов из правой части (17) получим кинематические уравнения Эйлера. Выразим дополнительно косинусы углов аси прецессии Ог, с осями координат Охуг, скрепленными с движущимся телам, через углы Эйлера.

По осн прецессии Ог, направлен вектор угловой скорости ф-й;. Поэтому множители при ф в формулах для «7„, га„в, и есть искомые косинусы указанных выше углов. Обозначая их для краткости у„уг, уя получаем л у = соя (г„х) = яп О ялмар; л у =сох(г„у)=япОсоз~р; л у,=сов(г,, г)=со»0. (18) .