Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 9

п (соответственно хл(е), то пишут !!гпхз=-+оо (соответственно л' ь !нп х„= — оо). з Если 1пп ха= + по или !ни ха=- — оо, то последовательность з ч з (х„) является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, что бесконечно большие последовательности не имеют предела, как мы его определили в п. 3.1. Применение в этом случае обозначения «Вщ» является традиционным. В дальнейшем всегда под пределом последовательное~и будем понимать конечный предел, т.

е. число, если, конечно, не оговорено противное. 8,Б ьвойгтлп плевелов 7. Доказать. что !оп Ч" = + оь, если д > 1, н ч-ч У п р а ж н е н и я. 1!ГП Ча = Р, ЕСЛИ О ( Ч < 1. и 8. Привести пример неограниченной последовательности, не стремящей. ся к бесконечности. 9. Доказать, что если оз < ! Ьл !, и = 1, 2...., и !!пз и„ = -1- чо, то 1!Ш Ь„= с ч 1О. Доказать, что неограниченная монотонно возраставшая поспелова.

тельность имеет предел +ос. 11. Доказать, что любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой последовательно. стью. 12. Доказать, что из всякой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую последовательность. 13. Доказать, что для того, чтобы последовательность к„, лч Ф О, л =- 1, 2, ..., была бесконечно большой последовательностью, йеобкзоднмо 1 и достаточно, чтобы последовательность —, и = 1, 2, ..., была бесконечно малой последовательностью. 0(со, в)=(х: ! х!) е). Аналогично определяются е-окрестности для символов +оо И вЂ” оо: О (+ оо, е) =- (х: х ) е); 0 ( — оо, в) = (х: х ч в). Здесь всюду с целью единообразия предполагается что е ) О.

Применяя зту терминологию, определение конечного и любого бесконечного предела можно сформулировать единым образом. Определение 16. Величина а (число или один из символов оо, + оо, — оо) есть предел последовательносгпи (х„), если, какова бы ни была е.-окрссгпность 0 (а, е) величины а, сри!естврет такой нолгер и„, что х„~ 0 (сг, е) для всех п йв и,. 3.5. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями иад последовательностями Лемма.

Для того чтобы число а являлось пределом последовательности (х„), необходимо и досп!аточно, чтобы хв-.=а+а„, и =-1, 2, ..., где (сг„) есть бесконечно малая последовательность. Как мы знаем, окрестностью, или, точнее, и-окрестностью (е ) 0), числа а называется интервал (а — е, а + е). Определим понятие окрестности для символов оо, +со, — оо; е-окрестностью 0(со, е) символа оо назовем множество всех чисел х, таких, что |х!) и, т. е. 4 3.

Предел последовательности Доказательство необходимости. Пусть(х„) — сходя- щаяся последовательность и 1пп х„= а. Положим о.„=- х„— а, о и= 1, 2, ...; согласно определению предела для любого е)О существует такой номер и, что ~ х„— а ! ( в для всех п > и, т. е. ~а„!(е при и =- и, а это и означает, что Иши„=О. I! Доказательство достаточности. Пусть х„==а+аь, и=-!, 2, ..., и 1ппа„=О. Согласно определению предела, для ь ь любого в)О существует такой номер п„что (а„(<'е для всех п п,.

Затлечая, что а„=-х„— а, имеем, что !х„— а)(е для всех п > и, а это и означает, что 1ппх„=а. Лемма доказана. ь Эта лемма показывает особучо роль бесконечно малых последо- вательностей при изучении понятия предела, так как общее понятие предела последовательности с помощью этой леммы сводится к по- нятию нулевого предела. Это обстоятельство далее широко исполь- зуется прн изучении ряда свойств сходящихся последовательностей. 1.

Если хо=-с, п.— -1, 2, ..., тпо !ппхо=-с. В самом деле, последовательность х„— сьь с — с==О, и === 1, 2, ..., бесконечно малая, и поэтому в силу леммы !пих,.=-с. ь ьь 2. Если последоватпельностпи (х„) и (у,) сходятпся, то после- ! овательностпи (хо ~-- ул) также сходятся и !пп(хо+ у )=Ип1 х„~ 1ппуо, тп. е. предел алгебраической суммы двух сходящихся последователь- юстей равен такий же сумл1е пределов данных последовательностей. Доказательство. Пусть Игпхо=-а, 1ппуо=-Ь. Согласно ь иьеобходимости условий леммы для существования предела, имеем х„=а-)-а„, у„=еЬ-)-(1„, п=1, 2, ..., где 1пп сс„= Ищ (1„= О, поэтому х„~ у„= (а 1- Ь)-1- (а„-!- р„), !! ь и =-1, 2, ..., где в силу свойства 1 бесконечно малых последова- тельностей (см.

п. 3.4) Ип1(а„~Ил)=-О. Поэтому, согласно до- Н статочности условий леммы для существования предела, имеем Иш (хо ~ у„) = а ~ Ь =- 1пп х„~ Ипт уте Утверждение доказано. л- и ь ь С л е д с т в и е. Предел конечной алгебраической суммы сходя- и!ихся последоватпельнсхтпей равен той же алгебраической сумме пре- делов отпдельных последоватпельностей. ЭБ г".оойотоа пределов Это непосредственно следует по индукции из доказанного свой- ства пределов сходящихся последовательностей.

3. Если последовательности (х„) и (ул) сходятся, то после- довательноснгь (хл у„) также сходится й Ипг хлу„=!пи хо!ппу„, т. е. предел произведения сходян!ихся последовательностей су- п!ествует и равен произведению пределов данных последователь- ностей. Локаза тельство. Пусть 1ппхл=а, 1йпу„=Ь, тогда л , С. х„=а-1-а„, у„= Ь+!3л, п==1, 2, ..., где 1ппа„=-!пп(3„— — О; поэтому хлул = (а -1- а,)(Ь+ )3„)= л л л>с =- аЬ+ (сгл Ь+р„а+пор„).

В силу свойств 1 и 1! бесконечно малых последователь- ностей (см. п. 3.4) Ипг (ао Ь+ !3л а+ а„(3,) = О. Поэтомч Ии х, у„= аЬ = Ит хл !пп ул. л л л л л л С л е д ст в и е 1. Если последовательность (хл) сходится, то для любого числа с последовапгельносгпь (сх„) также сходится и 1ппс хо с 1пп х„ л- л т, е, ггостоянную можно выносить за знак предела. С л е д с т в и е 2. Если (х„) — сходящаяся последоешпельность и lг — натугральное число, то Ищ х„'= (Игп х„)', л- " Ф Это непосредственно по индукции следует из свойства 3. 4.

Если последовательности (х„) и (ул) сходятся, у„+ О, и= 1, 2, ..., и Игп у„+ О, то последовательность !~в "1 сходится и л-~ гУл г Згггг хл Ит — = . хл Ул ггг" Ул л т. е. предел частного сходящихся последовательностей существует и равен частному от пределов данных последовательностей. Д о к а з а тел ьс т во.

Пусть (пп хл = а, Ищ у„= Ь хе О и для л л-лл определенности Ь ) О. Тгггда х„=а 1-ал, у„=Ь-1-(3л, п=1,2,..., д 8. Предел поопедооатепьноета где Иш ал=- Иш))„=0, поэтому л л- л хл а а+ил ь ь+р„ а 1 Ь(ь ! Р)( л Рл )' (3.9) Аналогично рассматривается случай, когда Ь ( О. 3 а и е ч а н и е. В случае последовательностей, имеющих бесконечные пределы, утверждения, аналогичные 1 — 4, вообще говоря, пе имеют места.

Например, пусть хл=п+ 1, ул=-п, п=1, 2, ..., тогда Иш хо= л л = !пи ул = + оо и И п; (хл — у„) = 1. л и л 'Ф Если х„=2п, у„=.п, п=1, 2, ..., то И1пх„=йшул=-1-оо и л л И1П(Х вЂ” у„) =. + оо. л л пи Если же х„=- и+гйп —,, у„—.-- п, п =-1, 2, ..., то Ишх„=- Ип1 ул.—., л л л-л пп = -1- ою, а последовательность х„ — у„ = з!п †', п = 1, 2, ..., не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Эти примеры показывают, что при одинаковых предположениях относительно последовательностей (х„) и (ул), имеющих бесконечные пределы, для последовательности (х„ — ул) могут встретиться самые Согласно свойству П пределов последовательностей из п.

3.1, ь существует такой номер п„что у„) — )О для всех номеров ь и > и (действительно, заметив, что — 2( Ь, в указанном свойстве Ь1 в качестве с надо взять с = —,1 — здесь используется предположе=з) ние, что Ь)0; поэтому при п> и, имеем 1 1 2 ( Ь<Ь+1~„) =Ьтл( Ьл . 1 Отсюда следует, что последовательность + ,и =- 1, 2,..., ограничена (почему?). В силу свойств бесконечно малых последовательностей последовательность (а„ Ь вЂ” 3„ а) является беско- 1 печно малой, поэтому и последовательность ~ь, (ал Ь вЂ” !)ла)) ( +Ил) бесконечно малая.

В силу этого из (3.9) следует, что Игп хл а л-с Иш — == — = — —. (пп ул 85 Свойство лреоелол разнообразные случаи. Вместе с тем отдельные обобщения свойств 1 — 4 па случай последовательностей с бесконечными пределами все-таки имеют место. Например, если 1пп х„=-1-со и 1! и! У„= +по (или 1)гп Уа — конечен), то йгп (х„+у„) =+по (рекомендуется доказать самостоятельно). У п р а ж не н не 14.

Если 1ниха — — + со, а последовательность (у„) и о ограннпеаа, то !нп(х„+ у„) = + се Пример. Пусть а)0, х„)0 и х„=- 21х„!+ ), п=1,2,.... 1! о х и — ! Очевидно, что х„)0 для всех п=О, 1, 2, .... Докажем, что х„> )! а, и = 1, 2„..., (3.П) т. е., согласно (3.10), что -'~х., + — '1> Ф'а. (3.!2) (3.10) Так как хв , )О, то неравенство (3.12) равносильно неравенству х„', — 2х, ! )!ха+ а > О, зто неравенство очевидно, нбо х„,— 2хл ! '( а+а=(х„— у а! > О. Таким образом, неравенство (3.11) доказано. Покажем теперь, что псследовательность (х„) убывает. Действительно, монотонно в — ! ' )="' '- ха хп — ! 1 х„! — х„= хл, — — гхв п=-2, 3, ..., т. е.

х„! > х„, и =-.2, 3, .... Итак, последовательность (х„) ограничена снизу и монотонно убывает, позтому, согласно теореме 3, она имеет предел. 48 й 3. Предел последовательлогт~ Г1усть 1!гп х„=х. Переходя к пределу в равенстве (3.10) пр! л -ь оо, получим х= — „~х+ — ). откуда тт=-а, т. е. х=-- у а. Формула (3.10) может слу!нить для приближенного вычисления значений квадратного корня из числа а. Она действительно применя. ется на практике с этой целью, в час~ности, при вычислениях на быстродействуюц(их счетных маглииах. Нетрудно подсчитать и точность, с которой п-е приближение, т, е член ха, лает значение корня Предварительно заметим, что если х„= — ~/а, то из (3.10) получим 2х„! тг а = лз ! + а, откУда (хч ! — )'а) =- О, т. е. х„, = гга; пРодолжаЯ этот пРоцесс лальше, получим в конце копцов х,=-)га Поскольку нас интересует оценка отклонение хн от числа )' а, естественно прелполонгить ле;ь ) а, т е.