Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 7

б 2 Существует такой номер п„что а„-' 0(а, е) для всех п )~ иго н существует такой номер г«з, что а„~ 0(Ь, е) для всех п..= и,. Обозначим через пе наибольший из номеров и, и пз, тогда а, 0(а, в) н а„д0(Ь, в) для любого я,. в'. и „и„, что псвозможпо в силу того, что указанные окрестности не пересекаются. Полученное противоречие доказывает теорему.

Отметим три полезных свойства сходяьцихся последовательностей. 1. Если (3.2) а„н Ь„«»с„, п=-1,2, *) Следует обрвтнть внннвяпе, что здесь часмтв «не» входит пс в определение, л в опредсляемое понятие. «"« Индснс п у числа тл поквзнввст, что это чнсдр зависит от числа п. 3.2. Пределы монотонных последовательностей зг 1ип а„= И >п с„= а, п и ьь то последосггтельносгпь (д„) сходится и Игл(>„=а.

и ь Дока зател ь ство. Пусть заг)>икснровагго е)0. Существуют такие п и и, по при п >~и„ а — е(а„(а+е, а при гг)~п а — е(с„а+е. Обозначим через и, нанболыиий из номеров п„н п . Тогда для всех и~~>> а — е ( а„( сп ( а + е. Отсюда в силу (3.2) при и > и а — з(Ь„(а+е, а это и означает, что ! нп (>„= а. П. Если Иьпао=а и а< Ь (соответсгпеенно а)с), гпо сущеп сю ствует и>акое п, (соответапвенно и,), что а„(б при и) и, (ал)с при и > п,). Док азательство. Возьмем е= (> — а.

В силу определения предела, существует такой номер пго что прн и > и а — е 'а,(а+в=6. Первое утверждение доказано. Аналогично рассматривается и случай а > с. П1. Если Ипг ам=а и ап) (>(соответственноа, (с), п=1 2, ..., и то и а (> (соогпветтпвенно а < с). До к аз а т ел ь с т в о. Если быбылоа((>, то,согласносвойству П „найдется такое а„, что а„( (>, но это противоречит условиго. Аналогггчно разбирается случай ао < с. 3.2.

Пределы монотонных последовательностей Следует различать гкгследсвательнссгпь, т. е. множество ее элементов, и лгножество значений ее элелгешпв. Первое множество всегда бесконечно, так как состоит из совокупности элементов, отличающихся по крайней мере номерами и = 1, 2, .... Второе множество состоит из всех чисел, являющихся значениями элементов Э о Предел оослеаоеотеленоееи данной последовательности, оно может быть и конечным. Например, для последовательности а„ = 1, и = 1, 2, ..., сама последовательность, как и всякая последовательность, состоит из бесконечного числа элементов, а множество значений ес элементов состоит из одного числа 1.

Определение 5. Последовательность называется ограниченной сверку (снизу), если множество значений ее элел~ентов ограничено сверху (снизй. В терминах элементов последовательности это определение может быть перефразировано следующим образом. Определение 5'. Последовсэпельность (а„) называется огриниченной сверху (снизу), если существует такое число Ь, чпю а„< Ь (соответственно а„)~ Ь) для всех номеров п. Определение 6.

Последовательность, ограниченная сверху и снизу, назнвается прас~по ограниченной. Опреде.пение ?. Последовательность„не являюи!аяся ограниченной (сверху, снизу), называется неограниченной (сверху, снизу). Очевидно, что последовательность(а„) ограничена тогда и только тогда, когда существует такое число Ь, что ~ а ) ~( Ь для всех номеров и= — 1, 2,.... Например, последовательности ~ — ~ и р!п — и)) ограничены. Послсдовательпость (п) ограничена снизу, но не ограничена сверху, а последовательность ~п з)п —, ) является неогранпз ченной.

Теорема 2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Доказательство. Пусть дана сходящаяся последовательность (ао) и пусть йпа„=а. Зафиксируем, например, е=!. о со Согласно определению предела последовательности, существует такое п„что ~а,— а) с,, 1 для всех и > и,. Пусть й — наибольшее из чиссл 1, )ат — а), ..., )а„,,— а), Тогда )ао — а( < й лля всех и, т. е. а — д< а„<а+с(для всех и.

Это и означает ограниченность заданной последовательности. Определение 8. Верхняя (нижняя) грань множества значении элементов последавптгльности (а,) называется верхней (нижней) гранью донной последоаипельности и обозначается зпр (а„) или зпр ао (сххеявепапвенно 1п((ао) или )п( а„). о- ° 1,2.... о -ьз. Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это определение можно сформулировать следующим образом. Число а является верхней (нижней) гранью последовшпелькости ао.

и .= 1, 2, ..., если: Ц ао < а (сооп1ветствснно а„> а) 82. Предела моногсннмл псследавазельнопеа аз для всех и; 2) для любого е)0 существует такой номер и что а, ) а — е (соответсп1еенно а„(а+е). В аналогичной формулировке можно дать определение верхней (нижней) грани последовательности в случае, когда указанная грань бесконечна. (Сделайте зто.) В качестве примеров отметим, что зор ~ — ~ =1, !п1~ — )1 =О, зпр(п»=+ с, !п1(п)=1.

Определение 9. Последовательность а„, и =1, 2, ..., называется монотонно возрастающей (монотонно убываюи1ей), если ал (ал+~ (СООтВЕтетВЕННО ал)~ал+1) дяя ВСЕХ П. Монотонно возрастающие и монотонно убывакхЧие последовательности назыеаюп1ся проапо моно~ионными 111 Например, последовательность( — „» монотонно убывает, последовательность (и) монотонно возрастает, а последовательность (з)п — п не является монотонной. Теорема 3.

Всяют ограниченная сверху (снизу) моно1понно возраспипощоя (моно1понно убывающая) последовап1ельность (а„) имеет предел, причем !пп а, =зпр (а,) (соответственно!!гп ал = 1п1 (ал»). л ю л-~ до и а з а т е л ь с т во. Пусть последовательность (а„) монотонно возрастает и ограничена сверху.

В силу послед*его условия она имеет нонечиую верхнюю грань зпр (а„) а. Покажем, что а = = !!гп а„. л Зафиксируем произвольное е)0. Из того что а= знр(а„), следует, что а„(а для всех ноь1еров п=1, 2, ..., и существует такой номер п„, что ал )а — е. Тогда в силу монотонности заданной последовательности для всех номеров п ) и имеем а — е( ал < а„< а.

Поэтому»а — а„»(е для всех и ~ и, что и означает, что а= Ища„. л в Д о о доказыва я сущ ванне преде а д я ограниченой снизу монотон1ю убывающей последовательности. Мы видели, что если последовательность сходится, то она ограничена (теорема 2), отсюда, в часпюсги, следует, что если монотонно возрастающая последовательность сход1пся, то она ограничена сверху; с другой стороны, если монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху, то она сходится (теорема 3). Таким образом, справедливо следующее утверждение.

С л е д с т в н е. Лля того чтобы люпоп1онно возрастающая последоьшпельность сходилась, необходимо и достаточно, чпюбы она боло ограничена сверху. З,З. Теорема Больцано — Вейерштрасса и критерий Коши 1 1 1 Геометрическая прогрессия — + — + ... + — „-, при любом и = 1, 2, ... имеет сумму (которую легко подсчитать по известной из элементарной математики формуле), меньшую единицы, поэтому окончательно 2(х„(3. (3.5) Таким образом, последовательность (х„) монотонно возрастает и ограничена сверху, а значит, согласно теореме 3. имеет предел.

Этот предел и обозначается буквой е. Из (3.4) и (3.3) следует (см. 1И в и. 3.1), что 2(е < 3. Более точными оценками можно получить, что е = 2,7!8... Доказывается также, что число е иррационально и, более того, трансцендентно, т. е. пе является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Число е в математическом анализе играет особую роль.

Оно, в частности, является основанием натуральных логарифмов. 3.3. Теорелла Больцапо — Вейерштрасса и критерий Коши Определение 10. Погледоватпельноспль Ьто я = 1, 2, ..., назмваеп1ся подпоследовапгельностью последовательности (а„), если для любого й сущестпвует такое натуральное пл, чпю Ь„=- а, причем пк,(пло тогда и только тогда, когда йл('йл. Последовательность (Ьл) обозначается в этом случае также (ааь) или а„, й == 1, 2, .... ал Иначе говоря, если дана какая-либо последовательность и из некоторого подмножества сс элементов образована новая последовател1.ность, то опа называется подпоследовательностпью исходной последоватпельностпи, если порядок следования в ней элементов такой же, как и в данной последовательности. Так, последовательность 1„ 3, 5, ..., 2п + 1, ...

является, а последовательность 2, 1, 3, 4, ..., и, ... не является подпоследовательностью натурального ряда чисел 1, 2, ..., и, .... В обоих случаях элементы последовательностей образуют подмножеством множества натуральных чисел, но в первом случае члены последовательности расположены в том же порядке, как в натуральном ряде чисел, а во втором случае этот порядок нарушен. к1 Ьалю иволквство танисе счвтветсв своим оодиоолвествои. 88 й д Предел последоептел»ности У п р а ж и е н и е 8.