Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 4

Действительно. если существует а;ьО, то иа равенств а 1 а следует, что 1 Ф О. так как в противном случае а = О. 6 1. Вещественные тягла Применяя свойство 11я для /г + 1 слагаемых (считая, что оно уже доказано), затем свойство 1Ч, и используя предположение индукции, получим (а,+аэ+...+аэ»») Ь=[(о,+...+а )+аэ+»1Ь= = (а, + ... + аэ) Ь + ал+» Ь =- а, Ь + ... + аэ Ь+ а э+ ! Ь. Из формулы (1.11) в случае а,==а,=... =-а„=1 следует, что пЬ=Ь+...+Ь, и раэ / а, если а)~0, 1 — а, если а(0, (1.12) называется абсолютной величиной числа а. Отметим ряд свойств абсолютной величины. 1. Для любого числа а [а[>о, 1 [=[ — а!.

а<[а[, †а<[. (! 13) (1. 141 (! В свмом деле, если а > О, то [а[=а > О; если же а < О, то [а[= = — а > 0 (см, следствие 4). Неравенство (1.13) докээвио. )1окэжем равенство (1.14). Есле а > О, то [ а [ = а и — а < О, поэтому, согласно определению и рввенству (1.1), получим [ — а [ — ( — а) = а = (а [. Если жеа <О, то[а[= — а и — а > О, поэтому[ — а[ а.

Рэвенство (1.14) докеэено. Докежем нерввенствв (1.15). Если а )~ О, то а = [а [ н — а < 0 < а = =[а 1, т. е. (1.15) выполняется; если же а < О, то а < 0 < — а = [а [, т. е. (1.15) также выполняется. 2. Для любил чисел а и Ь [а+Ь! < [а [+ [Ы, [[а[ — ! Ы [ < [а — Ы. (1 !6) (!.!7) Докажем эти перввеиствв. Согласно (1.!5), а<[а[, — а<[а[, ь<[ь[, -ь<[ь[. Отсюда, соглвсно (1.2! и следствию 6, а + Ь < [ а [ + [ Ь [, — (а + Ь) < ! а [ +! Ь [. т.

е. что умножение числа на натуральное число и сводится к сложению этого числа п раз. Для любого числа а число, обозначаемое [а [ и определяемое по формуле Д! Сноаггао веи(есгаенных чигел Г)дно нз чнссл а+ Ь и — (и ф 6) псотряцательно я, анапы, совпздзет с )а + 6!. Неравспсгво (!.(б) доказано. 11еравенство >не 11.!7) является следствием (1.!6). И самом деле, (а( — (6(=((о — 6) + 6( — (6( <(а — 6(+! Ь( — (Ь(=(и — 6(. Аналогично (6( — (о! < (а — 6(, согласно слсдствню 4, ! ь ! — (н ! = — ( (а( — 16 ! ).

С)дно нз чисел (и ! — ! 6( нлв — ((п! — ! Ь !) совпадает с ! ! о! — (6! (. Иэ сформулнровапных свойств 1 — 1У вещественных чассл мсокпо получать и другие хорошо известные свойства чнссл, сннзапные с зрнфмстпческнмн опсрацнямн, напрнмср, правила арнфметнчсскнх дейсгвнй с рацнональпымн числами. 'ьг.

Свойство Архимеда Каково бы ни было число а, сугцествг)ет такое целое число п, чпго п)а. СУгсгода вытекает, что, каковы бы ни были два шсла а ) О и Ь, существует целое и, такое, что па ) Ь, т. е., складывая числа а достаточно большое число раз, агы заведалго ггреиззг(делг число Ь*г. Ь В салюм дечге, в силу условия а=у'= О существует частное —, но Ь тогда по свойству тг' найдется' целое гг ) —, откуда па ) Ь. 'ьг1, Свойство непрерывности вещественных чисел Совокупность вещественных чисел обладает еще так называемым свойством непрерьгвности, на которое, так же как и на свойство Архимеда, обычно не обращают особого внимания при изучении элементарной математики.

Чтобы его сформулировать, введем следующие определения. Если заданы два числа а и Ь, а < Ь, то совокупность всех чисел х, таких, что а < х ( Ь, называется числовым отрезком и обозначается (а, Ь|. Число а называется левым, а число Ь правым концом отрезка (а, Ь). В случае а = 6 отрезок (а, Ы состоит из одной точки. Система числовых отрезков !а„бг1, 1аю Ьз)...., (а„, Ь„), ...

н азывается системой влозхенных отрезков (рис. 1), если аг <аа(....:а < ... (Ь < ... < Ь, < Ьг "г Это свойство допускает наглядную геометрн гескую интерпретацию: если мы имеем два отрезка длины а н 6, 0 < а < 6, то, откладывая последовательно меньший отрезок на большем, мы через конечное чнсло шагов выйдем аа пределы большего отрезка. В 1, Вещественные числа Принцип вложенных отрезков. Для всякой системы вложенных отпрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам данной сисп1емы.

Это свойство чисел называют также непрерывностью множества вещественных чисел в смысле Кантора*'. ат ае аа ба бе б, Рис. 1 Определение 1. Пусть задана система отрюков (а„, Ь„), п = 1, 2, .... Мы скажем, чтив длина отирезков (а„, Ь„! стремится к нулю с возрастпанием и = 1, 2, ..., если для каждо-о числа е ') 0 существует номер и„, такой, что для всех номеров и,а и выполняется неравенство ܄— а„( е.

Теорема 1. Для всякой системы вложенных отправное, по длине стремящихся к нулю, существует единственное число, принадлежащее всем отрежам данной системы. Доказательство. Пусть (а„,Ь„), и=1, 2, ...,— заданная система вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю. Предположим противное. Пусть существуют два различных числа х и у, принадлежащих всем отрезкам (а„, Ь„! (см.

рис. 1), т. е. х ть у и а„< х < Ьте а„~ у < Ь„, п = 1, 2, .... Пусть для определенности х ( у. Вычитая нз неравенства у < Ь„неравенство х > а„, получим у — х <܄— а„. Для любого числа е ) 0 сушествуег и, такое, что при всех п > и справедливо неравенство ܄— а (е и, следовательно, у — х ( е. Полагая е= у — х (зто возможно, поскольку из условия х ( у следует, что у — х ) О), получим у — х ( у — х, что противоречиво. Следовательно, предположение о существовании двух различных чисел х и у, принддлежацшх нсем отрезкам (а, Ь„), неверно. Теорема доказана.

Свойство непрерывности вешественных чисел повсеместно используется на практике. При измерении какой-либо физической величины (температуры тела, длины тела, силы тока и т. д.) мы всегда получаем с большей или меньшей точностью ее приближенные значения. Если в результате зкспериментального измерения данной величины мы будем получать ряд значений, дающих значение иско- '1 Г. Кантор (1645 — 1916) — немецкий математик. 1.1. Свойства веа1ественных чисел мой величины с недостатком или избытком, и если каждое последующее измерение будет проводиться с большей точностью, то мы получим некоторую последовательность вложенных отрезков. Свойство непрерывности вещественных чисел выражает собой объективную уверенность в том, что измеряемая величина имеет определенное значение, расположенное между ее приближенными значениями, вычисленными с недостатком и с избытком.

Следует отметить, что в отличие от свойств 1 — Ч, которые присущи не только всей совокупности вещественных чисел, но и, например, совокупности только одних рациональных чисел (в чем нетрудно убедиться), свойство Ч1, т. е. свойство непрерывности, является свойством, которым обладает множество всех вещественных чисел, но которое отсутствует у совокупности одних только рациональных чисел. Например„если взять последовательность «рациональиых отрезков» [1; 2[, [1,4; 1,5[, [1,41; 1,42[, [1,414; 1,415[, ..., т. е. последовательность множеств рациональных чисел, лежащих на отрезках, концы а„и Ь„, и = 1, 2, ..., которых суть значения $' 2, вычисленные соответственно с недостатком и с избытком с точностью 1 —, п = О, 1, 2, ...*', то, очевидно, не существуеч никакого рационального числа, принадлежащего всем зтим отрезкам.

В самом деле, таким числом могло быть только число 3~ 2 (почему?), которое, однако, не является рациональным. Мы перечислили все характерные свойства множества вещественных чисел. Подытожим сказанное. Вещественные числа Пзедстпавляют собой совскупносспь влементов, обладающую свойслмами 1 — Ч1. Для вдумчивого читателя заметим, что ссылка в начале параграфа на то, что вещественные числа и их свойства известны из курса элементарной математики„не является необходимой.

Сформулированные выше свойства вещественных чисел можно взять за исходное определение. Именно, перефразируя подведенный итог нщпих рассмотрений, получим следующее определение. Определение 2. Иножестео элементов, обладающих свойснюами 1 — 71, называется множеством вещественных чисел. Каждый влементп мпого множеспию называется вещав«поенным числом. Построение теории вещественных чисел, основывающееся на таком их определении, называется аксиоматическим (см.

также замечание в конце п. 2.2 и 3.6), а свойства 1 — "т'1 — аксиомами вещественных чисел. * ~ Это означает, что а <2<Ь и Ь вЂ” а = —, а=1,2,..., 3 т 1 л л л л 1Ол й 1 Нещегтвеккне числа 20 Есометрически множество вещественяых чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа — точками этой прямой. Поэтому совокупность вещественных чисел часто называют числовой прямой, а отдельные числа — точками. Имея в виду такое изображение вещественных чисел иногда вместо а меныне Ь (соответственно а больше Ь) говорят, что число а лежит левее числа Ь (соответственно, что а лежит правее Ь).

1.2. Обозначения В дальнейшем нам придется иметь дело с различнымн совокупностями (мнохгествами) тех или нных элементов (чисел, точек, функций и т. и.). Понятия множества и элемента множества являются первичными понятиями Первичным понятием является также понятие пустого множества.