Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 12

Поэтому в дальнейшем при доказательстве будем считать, что последовательность (хп) имеет по крайней мере два частичных предела. Если последояателыюсть (х„) не ограничена сверху, то, очевиг~- но, 11пг х„= +оп „а если не ограничена снизу, то 1пп хп = — оо. лПусть теперь последовательность (хп) ограничена сверху. Тогда +со не является ее частичным пределом; согласно же предположению, она имеет по крайней мере два частичных предела, поэтому в этом случае существует по крайней мере один конечный частичный предел.

Из ограниченности сверху данной последовательности (хп) следует и ограниченность сверху непустого множества А ее конечных частггчных пределов. В силу этого множество А имеет конечную верхнюю грань. Покажем, что Ь = зпр А есть частичный предел последовательности (х,„), т. е. что в Ь~ А. Действительно, если бы Ьгф А, то существовало бы такое е > О.

что в интервале (Ь вЂ” е, Ь + е) содержалось бы лишь конечное число членов последователыюсти (хп), и поэтому, (почему?), в этом интервале не было бы ии одного элемента А, что противоречит условию Ь = зпр А. Таким образом, Ь~ А и, следовательно, является наибольшим элементом множества А (см. определение 4 в п.

2.1), поэтому Ь = 11ш х„. л Аналогично показывается, что если последовательность (х„) ограничена снизу и множество А ее конечных частичных пределов не пусто, то 1п( А = 11ш х„. л ле Теорема доказана. У и р а ж н е н н е 1б. Пусть 1 1)л 1 11 11л хл= и + 2, п=1,2, Навтгг 1пп х, ипг хгп ш1 (л 1, апр 1хл1. е и вя. Верхний и нижний пределы пвслвдввательчвстеа Теорема 10. Для пюго чп1обы число а было верхним пределом последовательности (х„), необходимо и дсстапючно выполнение для любого числа е ) О совокдпности следдюи!их двдх дсловий.

1. Сди[вствдет нол1ер и, такой, что для вггх номеров п )~ и справедливо неравенство х„(а+ з. 2. Для любсео нол1сра и, сдществдет нотр п' (вависяи1ий от з и от п„), тикси, что и') и, и Условие 1 означает, что при любом фиксированном з ) 0 в последовательности (х„) существует лишь конечное число членов х„, таких, что х„) а + е (их номера меньше пв). Условие же 2 означает, что прн л1обом фиксировании з ) О в последовательности (х„) существует бесконечно много членов х„, таких, что х„) а — з.

Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и. Пусть а =!пп х„и пусть з) О фиксировано. Если бы на полуинтервале П [а + з, +со) оказалось бесконечно много членов последовательности (х„), то нашлась бы подпоследовательность последовательности (х„), элементы которой принадлежат этому полуннтервалу и которая имеет конечный или бесконечный предел. Обозначим его через Ь. Очевидно, Ь )~ а + з ) а, что противоречит тому, что а — наибольший частичный предел последовательности (х„).

Свойство 1 доказано. Далее, псскольку верхний предел является и частичным пределом, то существует подпоследовательносгь (х„„) такая, что !!ш х„„ =а. Почти все члены последовательности (х„„) больше А юо а — з и, следовательно, существует бесконечно много членов данной последовательности (х„) больших, чем а — е. Свойство 2 также доказано. Доказательство достаточности, Пусть число а удовлетворяет условиям 1 и 2. Покажем, что тогда а является 1 частичным пределом. Возьмем е= —, й=1, 2, .... Для каждого в 1 натурального й существуег номер и„, такой, что х„„~ив 1 (согласно свойству 2) и х„ (а -[- — (согласно свойству 1).

Поскольку для любого я множество элементов х„ данной последова! тельности, для которых выполняются неравенства а — „(х„(а+ — „, а 8 Предел лпследоеагельнпети У и р а >и и е н и с 17. Локааат>ь что, дли того чтобы последонательность (х„! пасла предел (конечный илн бесконечный, равный одиоыу иэ сныаолон +и> или — еа), необходимо и достаточно, чтобы 1ип х„= 1пп х„ е а В дальнейшем (в $ 37) пам будет полезно следующее утверждениее. Лемма. Пцсть х„)~0 и ун)~0, а=-1, 2, ..., и последовал>е!и!ность (к„) скодптся. Тогда, если 1пп у„(+ оо, то 1(п> х„у„= !!ш к„!пп у„, а оо и ь и (3.19) а если !!п>у„=+со, 1ппх„)0, то и ы 1! п1 хн У„= + оо.

л !ь (3.20) Доказательство. Пусть йп> х„=.а, 1'пп у„=Ь(+оп (3.21) и а и пусть (у„„) является подпоследовательностью последовательности (у„), такой, что (пп у„„= Ь. Поскольку (пп х„= а, то а ь а(пп х„у„„= аЬ. Следовательно, аЬ является частичным пределом и последовательности (х„ун), и потому выполняется условие 2 теоремы 10. бесконечно.

то номера ла можно последовательно (А = 1, 2, ...) выбрать так, чтобы па (п> прп /г> йа. В результате мы получим подпоследовагельность (ха„) данно.> последовательности (х„). 1 Из неравенства !а — к„~ ( —, следует, что !!>их„=а, т. е., чго а и аиа является частичным пределом последовательности (х„). Покажем теперь, что число а является наибольшим частичным пределом. )(ействительно, если бы нашелся частичный предел Ь последовательности (х„), такой, что Ь ) а„ то, беря, е ) 0 так, что а + е Ь, мы получим, что на промежутке (а + е, + о) будет находиться бесконечно много членов последовательности (х,) (а именно почти все члены подпоследовательности, сходящейся к Ь). Это противоречит условию !.

Теорема доказана. дд. Верхний и нихсний нределы иоследоеисиельноссней Покажем теперь, что число аЬ удовлетворяет и условию 1 этой теоремы; тем самым будет показано, что аЬ является наибольшим частичным пределом, т. е. верхним пределом последовательности (х„ун). Пусть фиксировано е ) О, выберем ех ) 0 так, чтобы 2 ае,+ Ьах+е, (е (это всегда возможно, нбо, для каждой бесконечно малой последовательности (а„) имеем 1пп (пан+ Ьа„+ а~) =0) и Из условия (3.21) с..едуег, что существует такой номер пь, что при п~~пь выполняются неравенства 0 < х„н'а+ем 0 < у„( Ь+е,. Следовательно, при и ~~ п„имеем х„у„аЬ+ аз, + Ье, -1- в~~ н' аЬ.1. е, т.

е. условие 1 теоремы 10 для числа аЬ выполнено; поэтому Йш х„у„=аЬ= йп хи)11п у„. 1 е о л Формула (3.19) доказана. Пусть теперь 1ппу„=+со, )нпхе=п)0 и пусть (у„)— н н. подпоследовательность последовательности (у„), такая, что Ишу„=+со. Поскольку п >О, то существует номер й такой, е что при п)~Ф выполняется неравенство х„) —. Поэтому по- следовательность х„, п=)У, )У-~ 1, ..., ограничена снизу поло- жительной постоянной и, следовательно, 1пп хии )'нн = + оо' ь Это и означает, что 1нн х„у„= +со.

Формула (3.20) также до- и казана. Заметим теперь, что если по определению считать, что прн а) 0 справедливо равенство а +оо=+оо, то при Игпх„)0 формулы (3.19) и (3.20) можно объединить н-О. в одну: !нп х„ун = Игп х„1нп уее и о и й е. Фаиииии и ил пределы й 4. ФУНКЦИИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ 4.1. Понятие функции При изучении тех или иных процессов реального мира (физических, химических, биологических, экономических и всевозможных других) мы постоянно встречаемся с теми или иными характеризующими их величинами, меняющимися втечение рассматриваемых процессов.

При этом часто бывает, что изменению одной величины сопутствует и изменение другой, или даже, более 1ого, изменение одной величины является причиной изменения другой, Например„ при прямолинейном равномерном движении материальной точки, как хорошо известно, связь между пройденным путем в, скоростью о и временем движения Г выражается формулой з = ад При заданной скорости а величина пройденного пути зависит от времени й чем больше затраченное время, тем более длинный путь пройдет движущаяся точка. Закон всемирного тяготения масс выражается известной формулой Ньютона: г = й — ',—,', где т, и т, — массы двух материальных точек, г — расстояние между ними, й — гравитационная постоянная, а Р— сила тяготения между этими массами.

Из этой формулы следует, что если две фиксированные массы удалять друг от друга, то сила взаимодействия между ними будет уменьшаться. Площадь круга выражается формулой 5 = иге. Из пее видно, что прн увеличении радиуса круга в п раз площадь круга увеличивается в пе раз. Во всех этих примерах имеется несколько переменных величин, одни из которых могут меняться произвольно, а другие изменяются уже в зависимости от изменения первых. В таких случаях говорят, что между этими переменными существует фдикцаанальнал завигамастль.

Уточним это понятие. Переменная величина у иазываегся функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное значение величины у. Хотя на первый взгляд в введенном понятии функции нет явных неясностей, тем не менее оно требует определенного разъяснения.

Дело атом, чтотермин «переманивал в интуитивном смысле, как всякое изменение связано с понятием времени и пространства. На самом деле этн пространственные и временные представления в данном случае не являются существенными. Нуждается в разьясненни и само понятие вела аааи. 4Л. Понягие функц»и Е1 Сформулируем попятив функции несколько иначе. Пусть заданы два множества Х и )<. Если каждо»ну элементу х (г Х поставлен в соответствие один и пюлько один элемент у.— г'„обозначаемый г(х), и если кажд<ый зле»сент у .

У при этол< оказывается поставленным в соотвепютвие хотя бы одному элеменпц<г х:<- Х, то говорится, что на множестве Х задана однозначная функция у = 1(х). Множеспао Х наэываеспся ее областью определения (или областью задания), а множество У' — множеством ее значений. Элел<ент х г Х наэь<вается аргументом, или независимой пере»кипой, а элементы у( У вЂ” значениями функции, или зависимой «ерел<енной. Подчеркнем, что, для того чтобы задать функцию г, надо задать, во-первых, ее область определения Х, во-вторых, ее область значений У и, в-третьих, закон соответствия, по которому определяется элемент у( У', соответствующий элементу х'- Х, т. е. элемепт у =- Г(х). Понятие функции равносильно понятию соответствия, которое можпо свести к более простым первичным понятиям, по мы пе будем иа этом останавливаться.