Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 92

(! — х)! 3. Найдем сумму ряда 8(х) == ~~~~ —,. (37.57) я =- 1 Радиус сходни!ости этого ряда равен единице; в этом легко убедиться„например, тем же способом, что и в случае ряда (37.56). Продифференцировав ряд (37.57) почленно: х" 5'(х) = ~~)'— и=! и пспользовав разложение логарифма (см. п. 37.5), получим хБ'(х)= ~ — =- — 1и(1 — х), )х)с" 1, х" и ! Л'(х) = —— (и (! — х) х Следовательно, ряд (37.56) абсолютносходится при!х) 1 и расходится при ) х) ) 1. Из (37.56) следует, что р 88. Кратные рлдн Замечая, что 5(0) = О, окончательно получим л 5( ) у !и(! — г) й! о Таким образом, здесь ответ выражается не в элементарных функциях.

У и ражие ни я. 3. Разложить в стеиеииои рях (агсашх)'. П, Найти сунну ряла Ч~~~ пахл. и=-! ф 38. КРАТНЫЕ РЯДЫ 38.1. Кратные числовые ряды (38.2) л,л! 1 Сумма вида ! -ль г=л Я„„=- ~~, с!у г=г, г=! (38.3) называется частичной суммой ряда (38.2). Введем понятие предела совокупности чисел х „с двумя индексами т =- 1, 2,..., и = 1, 2,... (такие совокупйости называьхгсн последовательностями с двумя индексами). Определение 1. Если дана некоторая совокупность чисел (вююби!е говоря, комплексных) ил, ...лх, занумерованных lг индексами гг„!' =-- 1„2, ..., й, каткдый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел и! = 1, 2,..., пш вираахенгге ил, (38.1) ло....л,=! называется и-кратныл! рядом, а несла ил,,л„— его гленалш. Естественно возникает вопрос о том, как определить сходимость ряда (38.1), как определить его сумму, в каких случаях эта сумма не будет зависеть от того или иного порядка слагаемых.

Для простоты записи мы ограничимся случаем й = 2, т. е. случаем двукратных рядов (их называют также двойными ряда.ии). Все результаты легко переносятся и на случай й-кратных рядов любой кратности /г =- 2, 3,.... Определение 2. Пусть дан ряд и Зг.г. Кратные числовые ряды 663 Определение 3. !овггрят, !ияо последовательность с двулгя индексами х „, т, и =- (, 2,, схог)!ется к числу А, и пи гиут )ппх „=-А, если для любого е)О существует такое Лг И, Л-~ Чта ! А — Хып ! ( Е дЛя ВСЕХ т > ЛГ и П > ЛГЕ.

Огределение 4. Если для любого е)0 существует такое Лгг что!хоп!)ь для всехл!)~Лг и и>Лг, тотииут. тго )гпгх „=-оо. ы,п Лналогично определяются бесконечные пределы: Пгп х „= + оо и Игп х „= — оо. Определение 3. Если существует конечный предел частичных сулгм 5„„ряда ('38.2) гс (пп 5„„= 5, (38.4) то 5 назьгвается сумлюй ряда (38.2), а ряд (38.2) называется сходящимся. В этом слугае будем писать ы,п ! Если конечного предела (38.4) не существует, то ряд (38.4) называется расходящилия. Если ((гп 5 „оо, или )ггп 5„,о= +оо, или (пп 5 „= — оо, (38.8) ы. п-чп ш,п пч поп > то, соответственно, будем писать и +с, ~и и, и =со, ~и и „= ы.п ! гп.п ! ы,п ! На кратные ряды переносится ряд свойств обычных (однократных) рядов.

Например: З 88. Кратные ряды 1. Если ~ и „=5, где Б — число или один из символов т.п ! со, -!-оо, — со, то ~~ Хи „=ХЕ«! для лн!бого числа Х. т, и ! 2. Если РЯды ~ч'„"! и„и=В и ~ и „=5 сходнтсЯ, пю т, и=! (и,и„+и,и„) — -8 +Е. пи л=! Эти утверждения легко доказываются аналогично случаю однократных рядов (зто предоставляется проделать читателю). Докажем теперь несколько теорем о кратных рядах. Теорема 1. Если ряд !38.2) сходится, то !!!и и „=О. Это сразу следует из равенства ипи! = 5тл Бл — !и Бтп — ! + 5т — !, и — ! и условия (38.4).

Теорема 2. Если все члены ряда (38.2) неотри(!ательны: ит„) О, т, п=1, 2, ..., (38.6) то всегда существует конечный или бесконечный предел его частичных сумм В „, причем !пп 3„„= зпр Б „. т,и ш т.и=!,2,, (38.7) от'п' пи отл Далее, если Я = зпр Е„л и Е'(Б, то в силу определет,и- !.3... ння верхней грани существуют такие иол!ера тз и пз, что Кп л,)Б ° Положим !у=!пах(та, па), тогда при т > Ф и и ай!' Бтп )~ онн ~ от, л«) 5 ~ и так как В „< Я, !!и! 5т„=- 5, т. е. выполняется условие (38.7).

и!л -« Теорема доказана. «! При атом мм здесь считаем, что О ° ли = О ° + сп = О ° — оп = О. До каза т ел ь ство. Если выполняется условие (38.6) и и!'~ т, и') и, то ЭВЛ. Кратные числовые ряды Х, Х иы; (38.8) Аналогично доказанной теоремы о повторных пределах (см. теорему ! п. 19.1) доказывается следующая теорема.

Теорема 3. Если сходится двойной ряд (38.2) и сходятся ряды ~~",, и „для всех а=1, 2, ..., то повторный ояд ~~.", ~~', и ы=.! ь=! ы=~ также сходится и его сумма равна сумме данного ряда (38.2). Определение 6. Ряд (38.2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т, е. ряд ~ и„„~. (38.9) Теорема 4. Если ряд (38.2) абсолютно сходится, то сходится и любой ряд (однокрагпный, двукратный или повторный), полученный перестановкой членов данного ряда (в частности, сходится и сам заданный ряд).

При этом сумма любого такого ряда совпадаегп с суммой исходного ряда 1о8.2). До к а з а т е л ь от в о. Расположим члены ряда (38.2) в бесконечную прямоугольную матрицу, поместив в т-ю ее строчку члены ряда с данным фиксированным первым номером т, расположенные по возрастанию второго индекса и: им им и1а .- и|пи„им и„, ...

и.„,... и, и„, и„ь...и С л е д с т в и е. В предположениях теорелия ряд (38.2) сходится тогда и только тогда, когда его частичные сумл~ы ограничены. Доказательство следствия очевидно. Иэ двукратного ряда ((38.2) можно формально образовать два так называемых повторных ряда. Для этого следует сначала произвести суммирование по одному индексу, зафиксировав другой, а затем произвести суммирование яо оставшемуся индексу: 4 аз краги»»е рядн Занумеруем теперь элементы этой таблицы согласно следу»оп»ей схеме: Член ряда (38.2), получивший при такой нумерации номер й, обозначим о„.

Рассмотр»»м ряд с~ о»» (38.10) и покажем, что он абсолютно сходится, т. е., что сходится ряд Х !п,~. (38.1! ) »=! Обозначим частичные суммы ряда (38,9) через 5 „, его суммув через 5*, а частичные суммы ряда (38.1!) — через 5». Прежде всего заметим, что для любой суммь» 5» найдутся такие номера ьт и п, что все члены ряда (38.! 1), входяьчие в сумму 5„, войдут и в сумму 5' „, тогда 5» <5,„„<5 ° оА и-» Покажем теперь, что любой двойной ряд и „, (38. 12) полученный некоторой перенумерацией двойными индексами членов данного ряда (38.2), сходится и что его сумма также равна 5. Обозначим частичные суммы ряда (38,12) через 5'„, а частичные Отсюда и следует (см.

п. 38.4) сходи»л»сть ряда (38.! Ц. Из абсолютной сходимостн ряда (38.10) следует, что и любой другой однократный ряд, составленный из членов ряда (38.2), также сходится и его сумма равна сумме ряда (38.10) (см. п. 35.6). Пусть Ля.l. Кратнме чиглрвме рпдм 567 суммы ряда (38.10) через 5 .

Пусть фиксировано число е~0 В силу сходимосги ряда (38.11) существует такой номер й, чт 2 »»+! (38.13) тогда и подавно Зафиксируем снова произвольное число е .> О. Выберем номер А так, чтобы выполнялось условие (38.!3), а следовательно, и условие (38.14). Далее, подобно тому как это было сделано выше, выберем номер Л! так, чтобы частичная сумма 5и 7! ряда (38,2) содержала а качестве слагаемых асе члены ряда (38.!О), входящие в сумму 5„. Тогда при всехл!>Л', и а>Л!, л т 1Х" — '.- Х "<-'. »-»»+ ! ~5 — 5, ~= ')~~ о» ( — '. (38.14) »=» +! Выберем номер Л' так, чтобы частичная сумма 5и »! ряда е» (38.12) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (38.10), входящие В сумму 5» .

П!'сть 7п ~ Л! и п.~~ Л! . Положим »' 5„=5„— 5» ° Тогда, используя (38.13) и (38.!4), получим (5 — 5,„„~=)5 — 5» 1+!5„,„~(е. Итак, 5 является суммой любого ряда (38.12), в частности, сум- мой самого ряда (38.2). Покажем, наконец, что 5 является и суммой повторных рядов (38.8). В самом деле, при любом фиксированном и ~,'! !и „!< ~~.', !с»1=5*. Следовательно, все ряды ~и„„, и=1,2,..., т=! сходятся, и притом абсолютно. Положим и„= ~ и„„. (38.18) т ! и За. Кратные рллы Переходя в этом неравенстве к пределу при т-ь оо, получим (см.

(38.15)) л ! е и ! 1=! Отсюда в силу (38.14) следует, что при и> У выполняется неравенство Это и означает, что Теорема 4 доказана. и р а >к н е н и е !. Обобщить критерий Коши сходиыости однократных рядов на случай кратных радов. 38.2, Кратные функциональные ряды Определение 7. Ряд вида (38.16) ил, ...

!„(х)ю л„.... л =! где функ!(ии ил, .. л (х) определены на некотором множестве Е, называетсн й-кра!иным функи!шпальным рядом, а суммы вида ыо ...,ыа Я,л, (Х) = ~~Р ил, л (Х) л„..., л„! — его часа!ичныл!и суммами. 88.2. Кратные ЧУрнкнионоль«ые ряг7ы 569 Определение 8. Ряд (38.! 6) намяваепгся сходни!илгся на множестве Е, если при каждом 4иксированнол! ха ~ Е сходится крап!ныл числовой ряд и«.... „(хе).

«о ..,.«е 1 Если ряд (38.16) сходится на Е, то Ф!ункг!ия 5(х)= ~1 и„, ..., (х), к~Е «о....«а ! называется его сух!я!о!). Е!а кратные функциональные ряды легко переносятся ггонятия равномерной сходимости ряла, критерий Коши для равномерной сходимости ряда, признак Вейерштрасса равномерной сходимости и т. п. Мы не будел! на атом останавливаться. У и р а ж н е н и е 2. Определив понятие равномерной сходнмости двой. ного ряда, доказать, что если ряд (36.16) сходитсн равномерно и если его чле.

ны являются иеирерывными функциями на л!ножестве Е7: Е", то и сул!ма ряда (38.76) является неирерывной на ыножестие Е функцией. Определение 9, Ряды вида Я', с«, ..., (х,— к!!7) ' ... (х« — х ) «„...,«! о где с„„— комплексные числа, называются кратными степен!"' а ными рядами. Хотя, как это видно нз предыдущего, многие утверждения, справедливые для однократных рядов, обобщаются и на кратные рялы, последние имеют и много своих специ!)7ических особенностей, существенно отличающих их от однократных рядов. В качестве примера приведем двойной степенной ряд, который сходится лишь в двух точках плоскости, а именно в точках (О; [)) и (1; 1).

Таким образом, аналога теоремы Абеля лля степенных рядов (см. п. 37.1), во всяком случае в прямом смысле, для лвойных рядов нет. Этот пример показывает опасность использования аналогий, не подкрепленных математическими доказагельствами. ф ВВ.

кратные ряди 670 Рассмотрим ряд (38.17) с„,„х у, т. л=о где с =О, с =с =а1, я=1, 2, о о ' оп юо т=1, 2, с, =- с,= — т1, с „=О, гп ~ 2, п)~2. Его частичные суммы имеют вид 8,„,(х, у)=(1 — у) ~хо Их"+у+(1 — х) ~ 11у'. (3818) А 1 а=в Очевидно, что 8„„,(0, 0) = 0 и Б „(1, 1) = 1, тп, и = 1, 2, ..., и потому ряд (38.17) сходится в точках (О, 0) и (1, 1). Заметим теперь, что радиус сходимости ряда п1 гп и=- ! равен нулю (см. ряд (37.6) п. 3?,1), при этом его частичные суммы 8„(г)= Х Иго, и=1, 2, ..., при вещественных г)0, очевидно, стремятся к +со. Если ьхс г(0, то, объединяя попарно соседние члены, получим Отса>да видно, что при любом фиксированном г(0 при ! го — ~ д~ — выполняется неравенство Зо„(г) » ~~1", (2/с — 1)1 ~ г( 1г1 Легко убедиться аналогично случаю ряда (37рб) (см.

и. 37.1), что Ю ряд,~'. (2я — 1)1г расходится при всех г+ О. Следовательно, й-1 1пп Боо(г) = +, г<,'О. 57! 33.2 Крагнние фуннционольниа пяди Из сказанного н из равенства (38.18) следует, что если (х,у)+(0,0) или (х,у)+(1,1), то, каково бы ни было число е)0 и каков бы ни был номер т„всегда могкно подобрать такой номер п, что ~Я „(х, у)(.>е. Л это и означает, что ряд (38.17) расходится. Упражнение 3. Число Ю назовем суммой ряда ~~ и„, если для и, и-1 любого в>0 существует такой номер й, что ~3 — зни~ < е, если только л + т > й. Выяснить, эквивалентны или нет ато определение и определение 5 п 33! .