Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 88

ряд (36.40), равномерно сходится на отрезке [а, Ь). Теорема доказана. Перефразируем теорел5у 8 для последовательностей. Теорелла 8'. Пдспль последоеательноспль непрерывно диф4ерен. чирйемых на отрезке [а, Ь[ ф55нк5[ий п=!, 2...., (36.49) Функция, стоящая в левой части этого равенства, имеет производную по х, значит, н функция з (х) также имеет производную. Дифференцируя равенство (36.47), получим (см.

и. 29.2) е' ( к) = о (х), (36.48) где функция о(х) является непрерывной иа отрезке!а, Ь[ функцией, ибо представляет собой сул5л5у равномерно сходящегося ряда (36.39), члены которого — непрерывные функции. Подставляя (36.42) в (36.48), мы и получим искомую формулу (36.4! ). Остается лишь отллетить, что из равенства (36.43) в силу доказанной сходимости рядов (36.44) и (36.45) следует, что и с и» Х и„(х) = 2', ) и,',(!)с[! + ~ и„(с). и и=! с и ! Э ЗУ, Степенные ряди аза г»юдип|гя хотя бы в одной точке с ~~ (а, И, а последовательность их производных 1,'и и = 1, 2,..., равнолгерно сходится на 1а, И.

7'огда последовигпельностпь (Зб.49) равномерна сходится на [а, б), ее предел являеогся непрерывно дифференцируемог! на мпом отрезке функцией и л» л» л Иш —" = — 1Нп 7„(х), а < х ( Ь. Примеры применения этих теорем будут даны в следующем параграфе. б 37. степенные Ряды 3?Л. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Катни — Адамара Определение 1. Функцпональнгяе ряды вида где а„, г и г, — комплексные паюла, называются отененными рядами. Числа ал,п=0,1,2,..., (37.2) ь=-г — гл, то получим ряд глл л.=О Очевидно, что исследование сходимости ряда (37.1) эквивалентно исследованию сходнмости ряда (37.3), поэтому в дальнейшем будем рассматривать ряды вида (37.3), употребляя, правда, как правило, для обозначения переменной букву г, а не ь.

Теореьта 1 (Абель). Если степенной ряд ~О алг" л О (3?.4) называюп|ся ьозффициенталш степенного ряда (37.1). Будем предполагать, что коэффипиенты ряда и число г фиксированы, и будем исследовать поведение ряда (37.!) при различных г, Если в ряде (37.1) сделать замену переменного, положив З7./.

Радиус схооилюсти и круг схооиности степенного рейв взт сходится при г = г„то пн сходится а приттюм абсолютно при лю. болт г, у копюрого ~г) < ) ге). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ря т Х а.г" о=.о (37.5) сходится, тогда его п-й члена„го стремится к нулю прн с-т. оо (см. и. 35.3), и поэтому последовательность (аиго) ограничена, т. е.

существует такая постоянная М) О, что )а„го~ (М. п=О, 1, 2, .... В силу этого для и-го члена ряда (37.4) получается следующая оценка: Если ) г) <)го), то ряд являясь геометрической прогрессией со знаменателем сходится. Поэтому по признаку сравнения (см. п. 35.3) сходится и ряд ~ч„', )а„г" ), а это означает абсолютную сходимость ряда (37.4) прп ,':) ') ге), Теорема доказана.

С л ел с т в и е 1. Если степенной ряд (37.4) расходится пра г = г„то он расхпдатся и при всяком г, у которого ! г) ) ) г ). Действительно, если ~ г) ) (ге) и ряд (37.5) расходится, то расходится и ряд (37.4); так как если бы он сходился, то в силу доказанного сходился бы и ряд (37.5). Определение 2.

Величина Д>О ()с — число или символ +со), тпак я, что пра всех г, у которосх ) г) < тт, ряд (37.4) сходится, а при всех г, у которых !г) ~ )т, ряд (37 4) расходиттюя, назыеаетстл радиусом сходиллоспьи степенного ряда (37.4), Множесттмо точек г, у которых ) г) < лс, называется кругом сходимости ряда (37.4). 37. Степенна«е ряд«« Бзв Теорема 2. У всякого втпепенного ряда (37.4) суи(есл~вуе»и радиус сходимпсаги»с.

В круге сходимости, и. е. при любом г, у которого /г( (»с, ряд (37.4) сходшпся абсолютно. На любом круге (г) <», где» фиксировано и г( Л«, ряд (37.4) сходился равномерно. До к аз а тел ь от в о. Разобьем все веивествениые числа на лва класса: к классу Л отнесем все неположительные числа и те из положительных х> О (если такие существуют), лля которых ряд 2',а„х«сходится, а к классу В отнесем все остальные. Если класс п 0 В не пуст, то это разбиение является сечением в множестве вещественных чисел (см. п.

2.2); действительно, если х ~ Л и у у- В, то, согласно теореме Лбеля, х( у. Обозначим через»с число, определяю~нее это сечение. В случае, когда множество В пусто, по определснщо положим»с =- +со. Величина»с является радиусом схолпмости ряла (37А). В самом леле, пусть зафиксировано некоторое г, у которого (г! (»с. Возьмем вещественное ха, такое, что)г! ( хв(»с. В силу определения величины Й получим х„'- Л, поэтому ряд (37.5) а=о сходится. Отсюда по теореме Лбеля следует, что в зафиксированной точке г, )г)(Л«, рял (37А) сходится, и притом абсолютно. Если же ~г~) (с, то выберем вещественное х, так, что»с(хв((г/, тогда ха с В и, следов«иельно, рял (37.5) расходится.

В силу следствия нз теоремы Лбеля отсюда следует, что в этом случае ряд (37.4) расхолится. Если теперь 0(»(К, то по доказанному рял (37.4) при г = » абсолкпно сходится, т. е. сходится числовой рид ~) ~а„(»е. а=о Л так как для любой ~очки г круга (г) (» ~ав гн ! ( )а„(»««, то, согласно признаку Вейерштрасса (ель п. 36.2), на этом круге ряд (37.4) сходится равномерно. Теорема доказана, Таким образом, областью схоли«1ости всякого степенно»о рида является всегда «круг»см с точностью ло виюжества що граничных «> Слово «крут» пнп«стев в кавычках, таа хак в случае й == -~- ««хру»» означает всю плоскость. ЗХ/. Радиус схадилости и круг скали«осси сгеиснного рида ~ п1г" «-=о (37.6) равен нулю, т. е. этот ряд сходится только при г = О*'.

Действительно, исследуя абсолютную сходнмость этого ряда по признаку Даламбера, получим прн любом гФО !! щ „, „, = 1! щ (и+ 1) ! г1 = + со. !( +11!г"+'! «-«« «-«в Таким образом, ряд (37.6) не сходится абсолютно при любом гФ О; отсюда в силу следствия из теоремы Лбеля он расходится при любом г~ О. 2. Радиус сходимости ряда чл г" «=-о равен +оо, ибо, как мы видели (см.

п. 36.1), этот ряд сходится прн любол~ г. 3. Геометрическая прогрессия «=-о (3?.?) «) Ври г = О, очевидно, сходится любой ряд ииди (37.4), точек. В граничных же точках круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться (см. нижеследующие примеры). Было показано, что на всяком круге, лежащем вместе с гранипей внутри круга сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Поскольку члены степенного ряда являются непрерывныл1и функнпял1н, то его сумма непрерывна на всяком указанном круге. Очевидно, что для любюй точки г круга сходимости можно подобрать круг, содержащий эту точку и лежащий вместе с гранипей в круге сходимости (достаточно взять его радиус г таким, что ! г((г(??), поэтому ппеяенной ряд ненрерычен и каждой точке сапего круга еходимосгпи ! г! ( 1( (подчеркнем, что здесь речь идет об открытом круге). Все сказанное с помощью преобразования (37.2) легко переносится и на общие степенные ряды вида (37.1).

В частности„ областью сходимости такого ряда всегда является круг вида ~г — го!()т, конечно, как и выше, с точностью до его граничных точек. Этот круг называется кругом сходимости ряда (37.1), а 1(— его радиусом сходимости. П р и м е р ы. 1.

Радиус сходи~гости )ч' ряда р З7, Степенна«е ряды ййд ая и=) (37.8) сходится при ! а~ < 1, ибо при выполнении этого условна 1~ 7 1 1 1 аа ~ ла' — ~( —, а ряд т — сходится. 'й ла и — — ) При !г!)1 ряд (37.8) расходится, так как в этом случае ! !)и — „= + оо"), )а !" и" т. е. не выполняется необходимое условие сходнмости ряда.

Радиус сходимостн ряда (37.8), как и ряда (37.7), равен единице, однако в каждой точке границы круга сходимости ряд (37.8) в отличие от ряда (3?.7) сходится. Теорема 3. Пусть )с — радиус сходил)ости стеленного ряда ~ а„а'; я=в (37.4) тогда 1 Ве) !ии тг!и„! (37.9) Формула (37.9) называется форд)улой Коши — Адил)арала*). ,Показательство. Положим — яг р = 1! и) у ! а. ! . «) Действительно, легко, например, с поыогдью правила Лопиталв убе!г!" дитьсв, что )Цп — „в =+со (см„пример и в и, 12,2), я-«+ «а) О верхнем пределе см.

в п. З.Е е««) )К. Ада««ар (!Збб — !9бз) — фраки)вский математик. сходится при ! г~ С 1 и расходится прн ~ г! )~ 1. Поэтому ее радиус сходимости !т =. 1. Отметим, что во всех точках границы круга сходимости, т. е. во всех точках окружности ! г! =1, ряд (37.7) расходится (почему?). 3, Ряд ЗУ.Л Радиус сходилвсти и круг сходииости стсясикого ряди 64! Рассмотрим сначала случай р = О. Покажем, что в этом случае ряд (37.4) сходится при любом г. Возьмем какое-либо г Ф 0 и такое а, что О я.е я..1. Тогда(см. теорему 1О и. 3.8) существует такое ?тл, что )л(а„~ -' в для всех п~~Л'т, т. е.

(ан( (г!'к. е' для всех п~~Ул. Отсюда по признаку сравнения следует, что ряд (37.4) абсолютно, а значит, и просто сходится при данном г, а так как г было произвольно, то это означает, что Я = + оо. Возьмем другой крайний случай: пусть Р = +оо. Покажем, что в этом случае ряд (3?.4) расходится при любом гФ О. Действительно, если р = +со, то существует подпоследовательпость п„, ?с = 1, 2, ..., натурального ряда, такая, что 1!п! тл'(а„) =-+ оо.