Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 91

Разложение в ряд зйх и с)! х. Заменяя в формуле (37.37) х на — х (это означает просто изме. пение обозначения), получим а — к ( )уг хл и! и-О (37.40) для комплексных г является определением функции е'. Это определение естественно, но-первых, потому, что в случае вещественного г = х эта функция совпадает с показательной функцией е', а, во-вторых, потому, что функция е* сохраняет ряд характерных свойств фушщии е'. Поканселе, например, что 4 Зт С>е!>енн>ее реял! Складывая и вычитая равенства (37.37) н (ЗА4()), а затем деля их на два, получим е+ес-,к с1!к=- 2,ы (ге)1 ' (37.41) ,х — е .2>-ь! з!! х=-— 2 ~.'1 (2!)+1)1 (37,42) е — е 2 е — е е -е с!>е=н —, з)>а=— 2 ' 2 Определенные таким образом сй а и з))а для комплексных г раскладываются в степенные ряды (37.41) и (37.42), сходяи(неся на всей комплексной плоскости (под х в них в этом случае понимает.

ся комплексное число). 3. Разложение в р яд з!п хи созх. Формулы Э>!лера. Если )(х) = гйп х, то 7(н>(х) = з)п (х-). а — 1! (сл!. пример 3 п. !О. !), г! поэтому !)!!!>(х)1~(! для всех вещественных к. Согласно теореме 8, отек>да следует, что функция з|п к раскладывается в степенной ряд на всей вещественной осп. Вспоминая формулу Тейлора для синуса(см. п. 13.3), получим ряд Тейлора для з!п х: "н ( — 1)" к "+' з!их=- (21+ 1)1 -Д (37.43) Рассуждая аналогично и всгоминая формулу Тейлора для косинуса (см.

и. 13.3), получим для него ряд Тейлора созх=- У (2)>)! (37.44) также сходящийся на всей вещественной оси. В силу теоремы Абеля (см. п. 37.1) ряды, стоящие в правых частях формул (37.43) и (37.44), сходятся также н при любом комплекс- В правых частях этих формул н силу единственности разлом ения функш>й в степенные ряды стоит ряды Тейлора функций с!! к и 5)! х.

Песке>!ы<у функция е' определена теперь для всех комплексных г, то иа сущестисшю комплексные значения аргумщгта можно распространить и гиперболические функции з)> х и с!1 х, положив угд Рпэлпэеение элечеиэппнмх функций и плд Тедлпгп ном х; это позволяет распространить синус и косинус на комплексные значения аргумента, положив для любого комплексного г 1)л ел 4-! з!п г= л и (2Е-( 1)! 1)л еэи соз г = (37.46) л И (2Е)! л-и В комплексной области легко установить связь к!ежду показательной функцией и тригонометрическими.

Заменяя в ряде (37.38) г сначала на пп а затем на †!г, получим .Гиу и! Еиу и! и-.=п пса Замечая теперь, что (37.47) 1 при и= 4/г, ! при и = 4й+1, — 1 при п=4А+2, — при п 4И+3, lг=О, 1, ..., нз (37.47) будем иметн 2 ~ ! (2Ц)! 2! лЬи (2А+ 1)! Сравнивая эти формулы с (37.45) и (37.46), получим ем(е — !х созг= —, з(пг= 2 2! (37.48) соз !р+! з(п Ч> =- енР. Поэтому комплексное число с модулем г и аргул!ентом !р г =г(сох гр+! з(п ер) Из них непосредственно следует также формула соз г + !' з! п г == е".

(37.49) Конечно, эти форл!улы, в частности, справедливы и для действительных г. формулы (37.48) и (37.49) называются 4ормцлаии Эйлера. Отл!стим два простых их применения. В случае, когда в форл!уле (37.49) г == ер — вещественное число, мы получим Е В7. Стеленние ряди можно записать в виде г = ге>ч'. Полагая здесь г= — 1, получим егл = — 1 — связь между числами е, и и г! Легко находятся с помощью формул Эйлера модуль и аргумент числа е', где г=х+ву.

Действительно (см. (37.39)), е' = ег+!« = е е!« = ев (сов у+ ( в!п у), т е !ек! е! Лгдег=у Синус и косинус в комплексной области обладают многими свойствами, которыми они обладают н в вещественной области, однако. далеко не всеми. У и р а ж н е н не 2. Иснольз>н 4юрмулы Эйлера, докззать, что прн любом комплексном г сов( — г) = совг, вш( — г) =- — в!пг, Мпв г+ сова г =- 1, сов (г + 2нл) = сов г, в>н (г+ 2пя) = в!н г. Покажем, например, что абсолютные величины синуса и косинуса могут превьниать единицу. Замы!ня в рядах (37.45) н (37А6) г на (г, получил! вв+ ! 'мя г ва г вш!'г=! ~~ сов гг = .Е (2й+ ()! Г~ (2в)! Сравнивая получившиеся ряды с рядами (37.41) и (37.42) (при х = г), получим вЬ г =- !' гйп гг, сЬ г =- сов !'г.

В частности, при вещественном г = у !в!п(у!=-(вЬу! и (сов!'у! =-с)!у, откуда и видно, что на мнимой оси функции в!п г и сов г не ограни- чены по абсолютной величине. 4. Разложение в ряд функции !и (1+ х). Формула Тейлора для !п (1 + х) имеет вид (см. п. 13.3) ка кв кя !п (1+ х) = х — — + — — ... + ( — 1)я+' — + «„(х), 2 3 л! Запишем остаточный член «„(х) в форл>е Лагранжа. Замечая, что 11п(!+х))'"'"=( — 1)" " „+,, 87.5. Раэлоэееине элементарных функций и рлд Тейлора получим х+! тл(х)=( 1)л ... 0<0<1.

(и + 1) (1 + Ох)л+ Если 0-<х <1, то О« — 1, !+Ох и потому !Тл(х)) <— 1 л+1 и, в частности, (37.50) 1нп гл (х) = О. л ю Если >ие — 1<х<0, то пелесообразно записать остаточный ЧЛЕН Гл(Х) В ФОРМЕ КОШ>1: .()=( — 17 . "+' (1 — 0)л л (1+О )л+! В этом случае 0« — -= — 1 1 — 0 1 — О !+Ох 1 — 0(х! ! ! 1 < ! +Ох 1 — О(х! ! — (х! поэтому ( Тл (Х) ( < ~ — ~ ° ! х (л+ ' < —, 0 !л ! (х(л+! !+Ох) (1+Ох! 1 — (х( откуда при — 1< х <О также получаем (37.50). Таким образом, л 1п(1+х)= 'у" ( — 1)"+' —" (37.51) л=! для всех х(=( — 1; 11.

При х .= — 1 ряд, стоящий в правой части равенства (37.51), отличается от гармонического ряда лишь множителем — 1 и потому расходится. Расходится он также и при всех х, таких, что ~ х) > 1, й З7. Гтеиенные рлдн Вгп ! — ~=+ 5. Разложение в ряд бинома (1+ х)". Формула Тейлора для бииомиальной функции имеет вил (см и. 13.3) (37.52~ Рассмотрим соответствующий рял (называемый би11омиальыым рядом с показателем а): ~и а(а — 1) ... (а — и -1- 1) + и -1 (37.53' Если о — неотрицательное целое, то ряд (37.53) содержит лишг конечное число членов, отличных от нуля, и„ следовательно, схо дится при всех х.

Рассмотрим теперь случай, когда а не является неотрицательньв целым. В этом случае в ряде (37.53) все члены отличны от нуля прг х 4= О. Для исследования абсол1отной сходимости ряда (37.53) исполь зуем признак Даламбера. Иначе говоря, прилипши признак Даламбера к ряду с л-м членом". и„= "' х" . а(а — !) ... (а — и+ 1) =! н1 Замечая, что 1пп — '„'"' == 1)гп ~ ":" х ~ = ) х ), и и и и!и+1 получаем, что ряд (37.53) абсолютно, а значит, и просто сходится при ) х1< 1 и расходится при ~ х ~ .>1 (см.

теорему Лбеля в и. 37.1) Исследуем теперь, чему равна сумма ряда (37.53) при ) х)(1. Замечая, что ;(1 + х)"!1"1 = а (а в 1) ...(„ и 1 1)(1 1 х)"-и, запишем остаточный член г„(х) формулы (37.52) в г)юрме Коши: (а — 1)" (а — и)(1+Ее) (! ())и +~ ц(()~ ! н1 ибо в этом сл) чае и-й член ряда (37.51) не стреми~си к пулю, более того (см. п. 12.2), 875.

Рааложелае элененгарныл гйрнкг!ай а рлд Тейлора (О зависит ыт л и от и). 11оло>ним Аа(х) = (гх — 11 .. (чх — 1) — (л — 1)! кп, л! В„(к) =с!к(1+ Ох), С„(к) == ! — ! (1+Ел/ Тогда «ч(х) = А„(к) В„(к) Сл (х). Очевидно, А„(к) является общим членом бииомнального ряд; с показателем ы — 1 и, следовательно, в силу доказанной выше ехай димости биномиального ряда ири ! х ! <.! )нп А„(х) =О, !к!<" 1. к э Далее, нз того, что ! — 1х1< !+Ох(1+!х), следует, что значения !Вч(х)! заключены между величинами !ак!(! -(к!) и )сгх)(1+)х!) ие завися!циыи от О, г. е. последовательность (В„(х)) прн фнксиро ванном к ~( — 1, 1) ограничена.

Наконец, (Сн(х)! = ~ — ~ < ~ ~ < 1. Из установленных свойств А„(х), Б„(х) и С„(к) следует, что !!Ти «„(х)=О, !х)(1. Таким обратом, 'х 1+ ~я(и — 1) ... (м — л+1) л1 н 1 для любого кс( — 1; 1). Зад..ча !ч докааагь, мо: 1! а точке г = 1 прн гх > — ! бнномнальпый ряд сходится, а прн а с -1 рггсхолигсгы й) а точке нсе к = — ! прн гх м О бнномнальный ряд абсолготпо схо. днтся, а прн и < О рисхолнэся. Прн атом каждый раа, когда бнномнальный ряд 137.5З) сход!моя, его сумма раана (1 + Ю " З 87. Сгепеппне рядн 37.6. Разложение в степенные ряды н суммирование с~сивиных рядов методом почленного дифференцирования и интегрирования Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды.

Так, например, интегрируя формулу геометрической прогрессии (37.54) в пределах от О до х, )х!л 1(что законно, иборяд(3?54) равномерно сходится на отрезке с концами в точках О и х при )х! и' 1), получим известную уже формулу (37.5!): Х Г е(! х' хл и хи+! !и(1+х)=-! =х — —,+ — —...( — 1) — + ....

,) )+» 2 З "' п+! Дифференцируя илн интегрируя заданный степенной ряд, иногда удается получить ряд, сумма которого уже известна; это позволяет вычислить и сумму исходного степенного ряда. Примеры. 1. Найдем разложение функции агсыпх в ряд. Замечая, что (агсзшх) = —,, ф ! )ее! †.хл разложим (агсыпх)' в ряд по формуле разложения бинома (см. п. 37.5): (агсз)п х)' = =1+ лз'( ) ' х"'. (37.55) 17! — хл .йм 2л п! и=! Радиус скоднмости получившегося ряда равен единице (см.

там же). Интегрируя ряд (37.55) от О до х, ! х ! л' 1, получим ! дх пл (2п — !))! хил+! агсып х= 1 ,1 ~/! — хл (2п)Н 2п.(- ! л ! 11скомое разложение найдено. 2. Найдем сумму ряда Б(х)=- ~ пх". (37.55) л -1 аг.б Гввтжение в степенные ряды 66! Радиус сходимости этого ряда равен единице. В этом легко убедиться, например, по признаку Ладан!бара: ~(п+ !) х"+' ~ — = ~ох" — '. и (х) х Интегрируя этот ряд почленно от О до х, ) х) "1, получим — !((= ~х"= —. б ~Д) ! — х о и Продифференцируем получившееся тождество: 5(х) и х ! х бх ! — х (! — х)! Ото!ода имеем 5(х)=.=, !х) < 1.