Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 14

ч~ ~!Кпп>п — по-латина означает канапэ. Другой пример: каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному — число ноль. Полученная функция называется функцией Дирихле. Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого где-то описанного ранее соответствия, так что, в конце концов, нет различия между заданием функции с помощью формулы или с помощью описания соответствия; это различие чисто внешнее.

Следует также иметь в виду, что всякая вновь определенная функция, если для нее ввести специальное обозначение, может служить для определения других функций с помощью формул, включающих этот новый символ. Если речь идет о вещественных функциях одного аргумента, то для наглядного представления о характере функциональной зависимости часто строятся графики функций. Графикам функции у = /(х) (х и у — числа) нааывс>ется геометрическое место точек на плоское>пи с координатами (х, /(х)), х~ Х (Х вЂ” кан всегда, область определения функции). Так, например, график функции (4.1) имеет вид, изображенный на рис. 1О„а график функции у = 1+ у'!асов пх состоит из отдельных точек (рис.

11). С другой стороны, графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости. Правда, это задание будет приближенно, потому что измерение отрезков практически можно производить лишь с определенной степенью точ- й 4, функции и их пределы ности. Примерами графического задания функций, встречающимися на практике.

могут слунсить, например, показания осциллографа. Наконец, функцию можно задать с помощью таблиц, т. е. для некоторых значений переменной х указать соответствующие значения переменной у. Данные таблиц могут быть получены как непос(сдственпо из опыта, так и с Риг. !! пол!о!пью тех или иных математических расчетов. Прнлгерами такого задания функций нвляются логарифл!ические таблицы и таблицы тригонометрических функций. Упражнение 3. Построить графики функпнй: а у=-2х+1, у=-ах+ Ь, у=- —, у=2ха, х ' у = ахи -1- Ьх+ с, у = 2", у =- —, у = !К х, ! у=-1оа! х, у=- а!п2х, у=2соа(за+21+1, З ! у=1азх, у=.—,с1а2х, у=- агсеипх, 2 у = 3 агссоа х+ 1, у =- агс1П х„ ха+ ! ха(х — !)х г=-.

—.. у=- х — 2' х+! Рассмотрим более подробно некоторые специальные аналитические способы задания функции. Н е я в н ы с ф у и к ц и и. Пусть дано уравнение вида г (х, у) =- О, (4.2) г. е. Задана функшгя Е(х, у) двух вещественных переменных х и у, и рассматриваются только такие пары х, у (если онн существуют), зля которых выполняется условие (4.2). 4.Д Способы забаная Функций г(х., 1(ха)) =- О для всех х,'- Х. В этом случае говорят, что функция ) задается неявно уравнением (4.2).

Одно и то же уравнение (4.2) задает, вообще говоря, не одну, а некоторое множество функций. Функции, задаваемые уравнениями вида (4.2), называются функциями, заданными неявно, или просто неявными функцняяш, в отличие отфункций, задаваемых формулой. разрешенной относительно переменной у, т. е. формулой вида у =- 1(х). Термин «неявная функция» отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания. Одна и та >ко функция может быть задана как явно, так и неявно.

Например, функции 1»(х) = 1' 1 — х' и 1»(х) == — )Г1 — х' могут быть заданы также и неявным образом с помощью уравнения х' + у' — 1 = О в том смысле, что они входят в совокупность функций, задаваемых этим уравнением. С л о ж н ы е ф у н к ц и и. Пусть заданы две функции у = )(х) и г=-- р(у), причем область задания функции Е содержит область значений функции ), тогда каждому х из области определения функции 1 естественным образом соответствует г, такое, по г == )с(у), где у = )(х).

Эта функция„определяемая соответствием г = Л)(х)1, называется сложной функцией. или сйс>ерпозицссей функций/и Г. Сложная функция отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ес задания: может случиться, что одна и та же функция может быть задана как с помощью суперпознций каких-либо функций, так и без их помощи. Например, сложная функция г = 2", у =-- 1ой» (! + з)п» х), заданная с помощью суперпозиций показательной и логарифмической функций, может быть задана и без этой суперпозиции г =- 1 Ф- з!и» х. Подобным образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций, например, функ! цию и> = з!и !й(1+ —::.1 можно рассматривать как суперпозицию к к/ следующих фу нкций: г= —, у=)х. ! г— У и>=э|по, о=!ди, и=1+г, Пусть существует такое множество Х, что для каждого х„-,' Х существует по крайней мере одно число у, удовлетворяющее уравнению г(ха, у) =-.

О. Обозначим одно из таких у-ков через у, и поставим его в соответствие числу х,с- Х. В результате получим функцию 1, определенную на множестве Х и такую, что Э 4. Фцнкгггггг и ггх ар«Лели 4.3. Элементарные функции и их классификация Функции: степенная у = х'", показательная )' = а' (а)0), логарнгрмическая у = 1од, х (а ) О, а+ 1), тригонометрические у =- з)п х, у = сов х, у = (их, у = с1дх и обратные тригонометрические у = агсзггг х, у = агссоз х, у = агс(и х и у = агсс(и х, постоянныс у=с называются основными элементарными функциями. Всякая функция, которая может бьппь явным образом задана с помои(ыоформулы, содержаи(ейлггись конечное число арифмегпических оггераций и суперпозиций основных элементарных функций, называегпся просгпо элементарной функцией.

Под обласгью сугцествования элементарной функции, заданной некоторой формулой, обычно понимают множество всех вещественных чисел х, для которых, во-первых, указанная формула имеет смысл, и, во-вторых. в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой формуле получаются только вещественные числа. Например, областью существования функции х)-1» ~ (эта функция элементарная, ибо)к~ = ) х' — элементарная функция) является интервал ( — 1; 1), хотя эта функция и принимает вещественные значения на полупрямой х «" 1 с «выколотой тачкой» х = — 1. Элементарные функции обычно делят на следующие классы.

1. М н о г о ч л е н ы (и о л и н о м ы). К мггогочлегга«г относятся функции, которые могут быть заданы формулами вида у=Р„(х)=-а„+а,х-1- ... +авх" = ~ ав х". в-ь Если а„+ О, то число и называется степенью данного многочлена. Многочлены первой степени называются также линейными функциями. 2. Рациональные функции (рациональные д р о б и). К этому классу функций относятся функции, которые могут быть заданы в виде Р (х) у — ' г) (к) где Р(х) и (;)(х) — многочлены. 3.

Алгебраические функции. Алгебраической функцией называется функция, которая может быть задана с но- «.4 Лереое определение предела фун«чиь мощью суперпозиций рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий. Например, функция .к — ! х»+ Ук является алгебраической функцией. Заметим, что класс многочленов содержится в классе рациональных функций, а класс рациональных функций содержится в классе алгебраических функций. 4. Трансцендентные функции. Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными элементарными функциямн. Можно показать, что все прямые и обратные тригонометрические функции, а также показательная и логарифмическая функции являются трансцендентными функциями. Еще раз напомним, что в анализе в основном изучаются вещественные функции от одного или нескольких вещественных аргументов, поэтому вместо «всщественная функция» будем говорить и писать просто «функция».

В тех случаях, когда будут рассматриваться функции другой природы, это или будет оговариваться особо, или будет ясно из контекста. 4.4. Первое определение предела функции Определение 2. Г! усть функция ((х) определена на интервале (а, Ь), кроме, быть »вжат, точки хе~ (а, Ь). Число А называется пределом функции ! при х -~- х„если )пп )(х„) = А л к для лобой последовательности (х„), такой, кило х„~(а, Ь), х„+х», п=), 2, ..., и )(гпх„=х. л +ке Если такое число А существует, то говорят, иио функция у = )(х) ил«ест предел в точке хь. В впюм случае пишу«п А = !(п1 !(х), илп ((х) — »А при х — » х .