Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 11

Обратно, если суцгествует и„, такое, что а„( Ь„для всех пъ п„то случай а>Ь невозможен в силу только что доказанного. Невозможегг и случай а =- Ь, так как тогда бы в силу однозначной записи чисел с помощью допустимых десятичных дробей при всех и = 1, 2, ... выполнялось равенство ам лл Ьл. Таким обра.

ом, а ( Ь. Лемма доказана. 3 а м е ч а н и е. Если а и Ь оба отрицательны и а( Ь, то — а ) — Ь и для положительных чисел — а и — Ь справедлива лем- ма 2. Если же а и Ь разных знаков, то никакого специального правила сравнения чисел по десятичной записи Ое нужно, так как всякое отрицательное число меньше неотрицательного. Лемма 3.

)! усть а и Ь вЂ” дса вегцестеенных числа, пгогда йгп !'а а+ Ь,) = а+ Ь, л11пг !'о„— Ьл) = а — Ь, л 1пп а„Ь„= аЬ, л- а при Ь+О а а 1г гп — =— Все утверждения этой леммы непосредственно следуют из леммы 1 и свойств пределов, связанных с арифметическими действиями над последовательностями (см. п. 3.5).

Из леммы 3 следует, что длн гого чтобы произвести с заданной степенью точности какое-либо арифметическое действие над числами, записанными в виде допустимых десятичных дробей, надо взять с до- "г Может случиться, что при некоторых л будем иметь Ьл = О, н, следоал вательно, выражение = будет лишено слгысла Однако в силу условия л Ь Ф О и свойства 3 пределов последовательностей, доказанного в п.

З.1, существует такгте пл, что Ьлчьо при л > лч, В этом случае вместо последоал ал вательности =", и = 1, ', ..., следует рассматривать последовательность 1 —, Ь -л л и = ле, пе + 1, э д Предел >юследоаателлностк статочной точностью пх подходящие десятичные дроби и произвести над ними соответствующие действия. 3 а и е ч а н и е.

При изложении теории вещественных чисел можно идти и в обратном порядке: определить вещественные числа как бесконечные допустимые десятичные дроби и, используя эту запись, ввести в них соответствую>пим образом соотношение порядка и арифметические действия. Существуют и другие построения теории вещественных чисел, которые исходят из других конкретных объектов, однако все оии приводят к совокупностям элементов, удовлетворяющих свойствам 1 — Н! п. 1.1. Здесь мы встречаемся с характерной чертой математических методов исследования, для которых совершенно безразлична природа элементов, а важны лишь количественные связи между ними, которые в данном случае и выражаются свойствами 1 — Н!. Заметим, что совокупность свойств 1 — Н! однозначно определяет совокупность элементов, обладающих этими свойствами.

Поясним это несколько подробнее. Пусть мы имеем два множества Х и г' элементов произвольной природы и пусть в этих множествах установлены порядок элементов и операции сложения и умножения, удовлетворяющие свойствам ! — Н1. Мы скажем, что множества Х и У изоморфны, если существует такое взаимно однозначное соответствие между множествами Х и 1' — ойвначим его х- у (здесь у~ !' является элементом, соответствующим элементу х! Х при указанном соответствии),— что для любых элементов х, Г Х и х,~~ Х выполняется условие: если х>-»у, и х»-»у», то х>+ х» ~ у>+ у» х> х»»у> уя Можно показать, что любые два множества Х и !', удовлетворяющие свойствам ! — Н! п.

1.1, изоморфны. Иначе говоря, свойства 1 — Н1 однозначно, с точностью до изоморфизма, определяют множество вещественных чисел. Это свойство называется саойппвом полноты системы аксиом 1 — Н1. Опо означает невозможность расширить множество вещественных чисел с сохранением всех его сволств. 3.7. Счетность рациональных чисел. Несчетность вещественных чисел Возникает вопрос: все ли бесконечные множества содер>кат одинаковое число элементов или бесконечности бывают разные7 Прежде всего надо определить понятие кодинаковое число элементов».

8.7 Счетность ооиггонильнич чисел Несчетность веигесчоенныч чисел 63 Определение 17. Будем говор>сто, чапо дви множсства Х и у' имеют одинпкооое число элелгснтов, или они равнолгои1ны, если между ними можно устпноотпь взпимно однозначное соотоеигс>пвие. С этой точки зрения натуральные числа 1, 2, ..., и, ... содержат столько >ке элементов, сколько и четные числа 2, 4, ..., 2п, ..., хотя на первый взгляд последних кажется в два раза меньше.

Требуемое взаимно однозначное соответствие получается, если натуральному числу и поставить в соответствие число 2п, и = 1, 2, .... Четные числа составляют часть множества натуральных чисел, однако эти множества равномощиы, следовательно, в случае бесконечных множеств часть может равняться в нашем смысле целому1 Определение 18.

Множестоо, ко>парсе содерясит столько же элементов, сколько нптурпльный ряд чисел, т. е. рпонимощное с лгножеством натурпльных чисел, назьоо>ется счетным. Таким образом, если Х счетно, то между множеством Х и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие, или, как говорят, можно занумеровать элементы мно>кества Х, понимая под номером каждого элемента х ~ Х соответствующее ему натуральное число. Счетные множества являются в определенном смысле простейшими бесконечными множествами. Именно справедлива следующая лемма.

Лемма. Любое бесконечное. множество содержшп счетное подлгножеспгво. Действительно, пусть Х вЂ” бесконечное множество. Возьмем какой-либо его элемент и обозначим его х,. В силу того, что Х— бесконечное множество, в нем заведомо имеется хоть один элемент, отличный от элемента х,. Выберем какой-либо из таких элементов и обозначим его х,. Пусть уже выбраны элементы х„..., хо в множестве Х. Поскольку Х вЂ” бесконечное множество, то в нем заведомо есть еще и другие элементы; выберем какой-либо из оставшихся элементов и обозначим его через х„, „и т. д.

В результате мы получили элементы хо( Х, и = 1, 2„..., которые образуют счетное подмно>кество множества Х. Следующая теорема дает интересный пример счетного множества. Теорема 7. Рацггона >оные чпсли образуют агеспнае лгножеопвп. До к а з а те л ь с т во. Рассмотрим сначала неотрицательные рациональныс числа. Расположим их в бесконечную таблицу следующим образом: в первую строчку поместим в порядке возрастания все целые числа О, 1, 2, ...; во вторую — все несократимые положительные дроби со знаменателем 2, упорядоченные по величине числителя; вообще а >г-ю строчку, и == 1, 2, ...,— все положительные рациональные числа, записывающиеся иесократимой дробью со знаменателем п, упорядоченные по величине числителя.

Очевидно, е 3. Предел иоследолительностс что каждое неотрицательное рациональное число попадет на валов. то место в получившейся таблице: О 1 2 3 4... 1 3 5 7 9 2 2 2 2 2 1 2 л 5 7 3 3 3 3 3"' 1 о Занух>еруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера оотвстствующнх элементов, стрелка указывает направление нумераш>н): О 1 — 1 2 — 2...

1 1 3 2 2 2 3 5 2 2 2 7 3 3 ! 1 2 3 3 3 В результате все неотрицательные рациональные числа оказыва>отся занумерованными, т. е. мы показали, что оци образуют счетное множество. Чтобы убедиться, что и множество всех рациональных чисел так>ке счетщ>, достаточно их записать в подобную же таблицу. Это можно сделать, например, поместив в написанной выше таблице после каждого положительного рационального числа х в той же строчке число — х: 8,8, Верхннп и ннн(ннп нределлг поееедатгтельнсстео Перенумеровав элементы таблицы тем же методом, что и выше, получим счетность всех рациональных чисел.

Возникает естественный вопрос: а существуют ли бесконечные множества, не являющиеся счетнымие Оказывается, что да, существуют, н они называются естественно, несчетными множествами. Важный пример несчетных множеств устанавливается нижеследующей теоремой. Теорелга 8 (Каг(тор).

л! ножесгпво вегг(ественных чисел не. снегино. Допустим противное: пусть удалось занумеровать все вещественные числа х„х„..., хн, ...; запишем их с помощью допустимых десятичных дробей: (г) (г) (г) (!) хг=ас, а'г ае ... ан, ... (2) (2) (е) (2) хе=()0, ог а2 -. ат (3.18) х„=ос а'( ае ... ат (л) (и) (е) (е) Здесь а(„",), и=1, 2, ..., т=1, 2, ..., обозначает одну из цифр О, 1, 2, ..., 9, а аьп, п=1, 2, ...,— целое число с тем или иным знаком. Выберем цифру а„, п = 1, 2, ..., так, чтобы а„+ а,',е) и а„+ 9. Тогда дробь О, а,а,...а„...

является допустимой, но числа и = О, а,а,...а„... заведомо нетсредн чисел х„, и=-1, 2, ..., так как десятичная дробь О, а, ... и„... хотя бы одним десятичным знаком отличается от каждой нз десятичных дробей (3.18). Полученное противоречие и доказывает теорему. 3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей Определение 19. Симов.г +со (состое)потаенно — сс) нпзывается бесконечным чпс)личным пределом последовательности (х„), если суи(ествуе)п тпкпя подпоследовп)пельность (хн ), что нл ~ !!гп х„„=- + сс соответственно !пп х„„= — сс), л л Легко показать, что у любой последовательности существует по крайней мере один частичный предел, конечный или бесконечный.

Действительно, если последовательность не ограничена сверху, то у нее существует подпоследовательность, стремящаяся к +со (почел(ус), и, значит, +со — ее частичный предел. Если же последовательность не ограничена снизу, то — сс — се частичный предел. Если, наконец, последовательность ограничена сверху и снизу, то она просто ограничена и, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса, имеет конечный частичный предел. за 5 8 Предел последовательности Определение 20. !(аггбольгиггй частичный ггредел ппследовапгельнаспт (х„) называется ее верхним пределом п обозначается 1пп хге а наплгеньгипй часгппчный предел называется низхнгглг преп-~а делом и обозначается 11ги х„. е Теорема 9. У любой ггоследовательности (х„) сугг1еспгвует как наггбольпшй, пгак и наименьший частичный предел. Д о к а з а тел ь с т в о. Прежде всего заметим, что если поспедовательность имеет только один частичный предел, то он будет и наибольшим и наименьшим.