Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 6

1+и+, ) + ... .>гг, получим 2 25 2.Ь Свойства верхних и ниасних граней иноасеста — тг< "— ДлЯ а=1, 2, .... ПоэтомУ ДлЯ всех л)~ттв спРавеДливо 1 1 неравенство Ь вЂ” а Ь вЂ” а 2" н Это и означает стремление к нулю длин отрезков [а„, Ь„1 при возрастании и. Эта последовательность отрезков обладает следующими свойствами: а) х ( Ь„для любого тг = 1, 2, ...

и любого элемента х~М, т. е. все множество М расположено левее правого конца любого отрезка [а„, Ьв! полученной системы; б) любой отрезок [а„, Ь„1 содержит хоть одну точку множества М. В силу принципа вложенных отрезков существует и притом единственная ночка р, принадлежащая всем отрезкам [а„, Ь„), и = 1, 2, .... Покажем что р = зцр М. Для этого докажем сначала, что х < р для любого х1= М.

Допустим противное: пусть существует х, 1- М, такое, что хв) р (рис. 3). Из условия, что длина Ьв — а„стремится к нулю прн возрастании а=1, 2, ..., следует, что существует такое и„ аве авва хе т"" ав -а„се аав Р СВ С то-С а„ Рис. 3 Рис, 4 что Ь„, — а„, ( х„— р, отсюда Ьв, ( х„— (р — а,,); так как [)~ !а„„Ьв,), то и — ав. > О, и поэтому х,— (р — а„„) <хв. Следо- вательйо, Ьв, с„х,. Это противоречит свойству а), и, значит, ука- занного хв не может существовать. Докажем теперь, что для любого е ) О существует такое хв( М, что хв) [) — е. Пусть а > О фиксировано.

Выберем пв так, чтобы Ь„,— ав, в. е (рис. 4). Тогда, согласно свойству б), существует х( М, такое„что х(- [аи„Ьв,!. По только что доказанному х ~ [), Таким образом, а,„-х ~В 4ьв.. Из этого следует, что [) — х~~Ь„„— а„,(е и, значит, х)~ — е. Итак, мы доказали, что р = зцр М.

Для доказательства существования конечной нижней грани у ограниченного снизу множества М достаточно заметить, что в этом случае множество М* всех чисел -- х, где х с- М, является ограни- ченным сверху множеством и цт1 М = — энр Мв (почему?). Теорема 1 доказана. В 2. Верхние и нижние арапа иножести Будет ли единственной верхняя (нижняя) грань множества? Ответ на этот вопрос, естественно возникающий при изучении понятия верхней (нижней) грини, оказывается положительным. Теорема 2. У вс21кого числового жнозееаива верхняя (нижняя) г"рина единстпвенна. Допустим противное.

Пусть существует множестноМ, у которого по крайней мере две различные верхние грани и и а'. Пусть для определенности а' ( а (при этом не исключается и случай а = +оо). Согласно определению верхней грани, из того, что а = ги1р М и а ( а, следует существование такого хп ~ М, что ч).Э 2Р тому, что а' = знр М. БдинР"»ыи Р Рнс. а доказана.

Аналогично доказывается единственность нижней грани. 3 а м е ч а н н е. Пусть (а„, Ь,), л = 1, 2, ..., — система вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю при возрастании и. Согласно принципу вложенных отрезков, существует единственная точка $, являющаяся об1цсй точкой всех отрезков данной системы (рис. 5). Покажем, что В=знр(а„)=1п( (Ьп). и 1, 2, .

и=1, 2.... Из условия р, (= (и„, Ь„) следует, гго $ )~ аи для всех и = 1, 2, .... Из условия же, что длина отрезков 1а„, Ь,) стремится к нулю, следует, что для любого в ~0 существует такой помер и„что ܄— а„(е, и так как $ — ап (܄— аи, то $ — ап (е, или а„) д — в. Таким образом, оба трсбовипия 1 и 2 определения верхней грани выполнены и, значит, д= знр (аи). и=1. 2, ... Аналогично доказывается, что ч = !н1 (Ь„). и=1, 2.... У и р а ж не н и н. 1. Пусчь заданы числовые множества Х1, 1= 1, 2..., п н пусть Х = (х: х = хх + ...

+ х„, 21 Е Х1, 1 == 1, 2, ..., и) . Доказать, что анрХ = ч; зпрХ1. 1=1 2. Пусть заданы два числовых множества Х и 1' и пусть 2 = (2: 2 = х — у, х 1-Х, у 1- х'). Доказагь, ио знр Д = еир 1' — цн Х. 27 22. Сечения о множество оеткостоенных чисел 2.2. Сечения в множестве вещественных чисел Рассмотрим разбиения вещественных чисел на два класса, обладающих определенными свойствами и называемых сечениями. Дадим их определение. Определение 6. Два множества вещественных чисел А и В называются сечением множества вещественных чисел, если: 1) киждьш" из сслаюсюв Л и В не пусса; 2) каждое вест/еюстсвеннюе числю сгринадлежит юднюлсу из классов ЛиВ; 3) если а1- Л, /с'-В, всю а ( /л Сечение множества юещесспвенных чисел обозначается Л/В. Класс А ссазьсваетюя нижним, класс  — верхним.

Из 3 следует, что множества Л и В нс пересекаются. Каждое число а естественным образом производит сечение множества вещественных чисел следующим образом. В класс Л входят все числа, меньшие а, а в класс  — все числа, большие а. Само же число а монспо отнести либо к классу Л, либо к классу В. Таким образом, лсы будем говорить, что числю <к сгрюизвюдсст юечессие Л/В, если а ( а < б для всех а Л и всех 6 ~- В. Естествеппо возникает вопрос: всякое лп сечение в множестве вещественных чисел производится некоторым числом? Оказывается, что да; именно справедлива следующая теорема. Теорема 3. Всякое число юпределяепс сечение множества вещественных чисел и для всякого еессения в лснюжестве сеисесспвенньсх чисел существует числю а, кюспюрюе лрюизвюдшп данное сечение. Эспю числю а является либо наибольшим в нижнем классе 1спюгда в верхнем классе нет наилсеньшегю), лабо наименыиим в верхнелс классе /спюгда в низсснем классе нет наибольшего). Свойство всщественных чисел, выражаемое утверждением этой теоремы, часто называют принципом Дедскинда непрерывности числовой прямой.

То, что всякое число производит сечение, показано выше. Докажем второе утверждение теоремы. Пусть А/ — некоторос сечение множества вещественных чисел. Согласно определению сечения, если х есть произвольный элемент множества А и у — произвольный элемент множества В, то х ( у. Таким образом, множество А ограничено сверху и зпр А с у для всех у 17 В. Откуда в свою очередь следует, что множество В ограничено снизу н зпр А -". )п1 В. Случай зцр Л (!п1 В невозмсокен, так шрА+спс и как тогда нашлось бы число $, например $ =-- —, такое, 2 что зцр А( ч(!п1 В.

Это число 5 нс принадлежало бы ни к классу Л, НИ к классу В, что невозможно в силу определения понятия сечения. 28 Э Э. Предел лпгледооательяьсти Таким абра олц зпр Л = !п! В н число а = зпр Л =- !п( В производит сечение Л/В. Возможны два случая: либо а ~ Л, либо а ~ В. В первом случас и является наибольшим числом в классе Л, а в классе В пот наименьшего (почсмуу), а во втором случае а является наименьшим в классе В, а в классе Л нет наибольшего (почему?). Тсорели доказана.

3 а и с ч а и и с. В заключение отметим, что непрерывность множества вещсствснных чисел в смысле Кантора (принцип вло. женных отрезков), принцип непрерывности Дсдекинда и теорема о существовании конечной верхней грани ограниченного сверху множества, играющие фундаментальную роль при построении основ математического анализа, эквивалеьппы между собой: пз любого из них, принятого за аксиому, вытекают два остальных утверждения. Заметим также, что эти свойства хпрактсрнзуют именно совокупность вссх вещественных чисел. Например, можно показать, что для множества рациональных чисел аналоги этих свойств уже пе имеют л~сста (см.

также замсчание в конце п. 3.6). Задача !. Дпкязять с помощью сечений, чтп лля любого числя а ) О и л любого иятурвльппгп л существует и и, т. е. существует такое щслп Ь„чтп Ьл == и, ф 3. пРедел последовательности 3.1. Определение предела последовательности и некоторые его свойства Определение 1. Пусгпь каждол~у натуральному числу и и оставлено о соотвел итоне некоторое вещественное число а„(при этом раэныл~ натуральным числам и могут оказаться поставленными в соответствие и одинаковые числа).

Совгкупноаиь элементов а„, и =- 1, 2, ..., называется числовой последовгипельностпыо, или п!тосгпо последовательностью; киждый элемент а„наэьгоаегтия элементом виной последооапильносгпи, а число и — его номером. ь!ислоаую послс1!овательность с элемсптамн а„будем обозначать либо ап, и =--1, 2, ..., либо (ап). По самому определению последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов. Определение 2. Число а называется пределом динной последовательности (а„), если для любого а лО существует такой номер и *>, ипо для всех номеров и)- и выполняется неравенство !а„— а!(в. (3.1) '! Запись и поячеркивяет, что и зависит от и.

и 3.1, Определение предела последовательности При этом пишутп |нпа„=а, или ап-ьа при и-ь аа. и ьс Последовательность, у котпорой сущестпвует предел, называется схсдяи|ейся. Лоследоаатпельность, не являющаяся сходящейся, называется расходяи(ейся. Отметим, что неравенство (3.1) равносильно неравенству а — за. а„< а+е. Определение 3. Для заданного числа х всякий интервал вида (х — е, х + е), где е л О, называется е-окресптностью, или просто окрестностью, числа (точки) х на числовой прямой и обозначается 0(х, е) или 0(х). С помощью понятия окрестности определение предела последовательности можно перефразировать следующим образом.

Определение 2'. Число а является пределом последоаательностпи (а„), если в любой его окреппнюсти содерлсатся почти все члена! последовательности, т. е. все члены последовательности, за исключением их конечного числа. 1 П р и м е р ы. 1. Последовательность ~ — ~ сходится и имеет своим пределом ноль. В самом деле, каково бы ни было е. О, по свойству Архимеда (см. свойство Н в п. 1.1) вещественных 1 чисел сУтцсствУет такое натУРальнос число пе, что пе ) —.

Поэто- 1 1 му О< — ( — п,.е для всех и > и, а это и означает, что и п 1 |пи — =- О. ь- 2. Последовательность ~з!и - п~ является расходящейся. В самом 2 деле, каково бы ни было число а, вне его е-окрестности, например при О <" е < 1, заведомо лежит бесконечное число членов данной последовательности, и, значит, оно не является ее пределом. 11 . и ~ . 1 . п 3. Последовательность ~-- з|пт-и! сходится и !нп -- з!п — а=О„ что следует (почему)) из того, что ~-- З1П т-П~ ~~ —, и того, что Иш -- .=-О. ! и ьь и б 8.

Предел погледоепгельносгн 30 4. Последовательность (и) расходится, что легко устанавливается, например, аналогично примеру 2. В примерах 2 н 4 при доказательстве расходимости последовательности целесообразно использовать не негативное определение этого понятия, т. е. определение, состоящее из отрицания (расходящаяся последовательность не сходится), а позтпивное, т. е. утверждающее наличие каких-то свойств (тем самым в позитивном определении отсутствуют слова «не», «нет», «нельзя» и т. и.). Поясним зто на примере позитивного определения того, что некоторое число нс является пределом данной последовательности. Определение 4.

'!псла а не является *' пределом последовательности (а„), если существует пгаксе в)0, что для всякого натурального и суа1есгивует такое натуральное т„.>пв«, что ~ а — а,„~)~в. У и р з ж н е н н я. 1. С4юриулнровягь познтнвнос определение того, что данн»я последовательность рзсходнтся. 2. Лонвззть, что если Нгп а„=п, то!ип!о»)=~ай л еч и-со Теорема 1.

Часлсепя последсеательносгпь не ли«веет иметь более одного предела. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Пусть сучцествуст последовательность (ая), у которой имеется по крайней мере два различных предела а и Ь, и пусть для определенности а <" Ь. Выберем е ) 0 так, чтобы окрестности 0 (а, в) н 0(Ь, е) пе я-е а в«с ь-с б б+е пересекались (рнс. 6). Наприь — и мер, можно взять в =- —. Рис.