Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 3

10» Умн»ш ! м к! 14 УЗР«ю 7 ц'"кв 'е 12 й'!" Фуке« 882,84 Ф Рм р !56 Ф Р бюпшвй 313 й1 * 63!4 — К, „,, ф,р 176, М9 Ф р Л р ТП: ! !76549 еюш™ю Ф р Л Т П рй 175 --Шю, р, ФЮО "' Вй и Пйкр Ш! — — — КШ РМ вЂ” — Лд ер 540 — Лйб ш 1Ж М р М5 — Л вЂ” Лйб Ш 408 --ТП р 17З,!75 . О ЗР Рйдй ЮМК Фр 239 ЛЗШ р 555 йвпд юи йш 3- Фу «Ы Ф д К!4 — —,йр 515 — — дкю 7 514 — — — 515 — р р 418 ФЗ !«Шр д 568 ФЗ Ш 23 рю 117 — ю 113,!1» Фу н 6«.ю — бр ' 68 МЗ 78 — П КЮВй ДРУ ПФЗЮШ Н1М вЂ” й."Ш '! й 61 Шй.

р Рй . 191 ИР Ю й МЗЗЮ Фп цй Л Рн 68381 юкфф Р «03 Мю 124.127,28! —.,адн!ю! р рн м !52 - - юпе!нЗРУ шм пю . ку е н пркрмйве403 — . шпркй) мшкюкю ЗЫ вЂ” ми*а р юш»2 иш ка' 64 50 й ш 80,184 1 Р н 84,85,86,270, 135 7 Ш87 р 8 — 2"3 Р"Р д ФВ Р еру 14в,290 — 'бр 64, 93 — Р Ш вЂ” — р УВЗ вЂ” — у»3 — ю *4 — 97. 100.!01 — Р П 68,96,359 — р ц 4 3 — 105 ФУ Р ' 3 р. Ш1 — — — 191 1 «93 к»™! Р— — — уб е 91,1Я вЂ” РНЦ Д 69 — ьР Н РМВ юю5,106 — 62 р 68, 273 Э пу р ыюю 241 — »«р И 441 П 431.

438,441. Ю2 Ц юдам Ч у рю 477,516,562,568 Ч п'вюйар люц 'ц дю 7 'ки36,37 — — —,б Н55 Ч р лн 285 — — в ю рыюа 310 — — 310 —. цц ю 310 Чв.пь: вю! ю юьм ы мы Ч нмйаифб Р н 284 'Ь юкрьы Д 220 чв! ц ! О!юаи ли 311ш НРР Юа ьав ю 11, 13 'Ы ык ю кньы11,32 — нюю вьим 14 — Чнюю лицы 11, 13 — лцццаьпюмаа 13 — 1цц!н ' 11, 15, Ю 1анн 14 «34, 1ОЯ, 123 — .-Ор 14 — 1 юн н 12 — щ го — фуюю 62 шр ы югш — р И у 8259 — р И 259 18 ц-Р фр О«р у, Т и р, 176 Э ю рвй214 ЭЫ р л ю 363, 364, 365 — 8 р Р 555 Э а ! Рф, ю 218 — ь. л .

334 — 837 аю 113 11ь Э р !ыюиц в И!89 Э» кр Оымфу м! И!84,165 Эд юп ра рб 34Я Э н 1 ыьюцы ааль ЖьЗЮ Э* а аюр ф 4 юны 68, 273 Эюм нюрньы юывыпю н м мьнпь ЮО Э:нм ивмюа ! 20 "3ююы 434 р ь бюрю л "выдра 378, 4 ГЛАВА НЕРВАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО $ ц Вещественные числА 1.1. Свойства вещественных чисел В курсе элементарной математики изучаются ееи1естл иные (действительные) и комплексные числа. Сначала в процессе счьч а возникает так называемый нитуральный ряд чисел 1, 2, 3, ..., п, .... Над числами натурального ряда можно производить операции сложения и ул~ножеция, что же касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными внутри натурального рида.

Чтобы все четыре арифметические операции (сложение, вы- читание, умножение и деление) были возможны для любой пары чисел (кроме операции деления на ноль, которой нельзя приписать разумного смысла), приходится расширить класс рассматриваемых чисел. К необходнь1ости такого расширения запаса чисел приводит также потребности измерения тех или иных геометрических и физи- ческих величин.

Поэтому вводятся целые отриЧательные (вида — 1, — 2, ..., — п, ...), а затем и рациональные( вида —, где р, а — любые Р целые числа) числа, Та же потребность измерения величин и проведение таких опе- раций, как возведение в дробную степень, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел; появляются ирраиио. нальные и, наконец, колшлексные числа. Напомним кратко известные из элементарной математики свойст- ва веществеш1ых чисел и дополним их описанием некоторых свойств, обычно там не рассматриваемых.

Множество вещественных чисел образует совокупность, обла- дающую следующими свойствами. В 1 Вещее гзеннмг числа 1. Свойство упорядоченности Для любых двух чисел а и Ь определено соотношение порядка, т. е. два любых вещественных числа а и Ь удовлетворяют одному и люлько одному из следующих трех соотноигений: а(Ь, а=Ь или а)Ь; при етом, если а ( Ь и Ь ( с, гно а ( с.

Последнее свойство называется свойством лгранзиглинности упорядоченности вещественных чисел. Запись а ( Ь равнозначна записи Ь ) а. Запись а )~ Ь (Ь < а) означает, что либо а = Ь, либо а ) Ь. Например, можно написать 2)~2, 5>2. 1!. Свойства операции сложения Для любой упорядоченной пары чисел а и Ьз' определено и притом единственным образом число, называемое их суммой и обозначаемое а + Ь, так что при атом имеют место следующие свойства. П,. Для любой пиры чисел а и Ь а+Ь=Ь+а.

Это свойство называется переместительным, или комлгутипшв- ным, законом сложения. 11,. Для любой пгройки чисел а, Ь„с а + (Ь + с) = (а + Ь) + с. Это свойство называется сочетапггльны, или ассгщиативным, законом сложения, 11з. Сущеспгвуегп число, обозначаелюе О и наяяеаемсенулем, та- кое, что для любого числа а а+О=а. С л е д с т в и е 1. Число, обладаюаум саойстео»г нуля, единственно. Действительно, допустим, что существует два нуля 0 и 0', тогда 0 + 0' = = 0 и 0' + 0 = 0'. и силу коммутативности слаженна левые части зтих равенств равны, следовательно, равны и правые, г. е. 0 = 0'.

11,. Для любого числа а сущестлует число, обозначоелюе — а и назиьаемое противоположным данному, люксе, чпю а+ ( — а) =О. *г Термин »упорядоченная пара чисел» или вообще »упорядоченная система л чисел» (л — натуральное число) не следует понимать в том смысле. что зги числа упорядочены но величине (что всегда лгожно сделать согласно свойству 1). Это выражение просто означает, что заданные числа перенумерованы, т. е.

уназано, какое число является первым, какое вторым и т. д. 1 Е Свойства вещественных чисел С л е д с т в и е 2. Число, противолологансг данному, единственно. Пусть некоторому числу а числа Ь н с противоположны, т. е. а+ Ь = О н а + с = О, тогда из первого из этих равенств имеем (а + Ь) + с = с, откуда (а + с) + Ь = р, но а + с = О.

следовательно, Ь = с. Сл е д с та не 3. Для любого числа а — ( — а) = а. (1 .!) Из равенства а + ( — а) = О, определя>ощего противоположный элемент, н силу кол>мутативности сложения получим — а+ а = О. Это и означает, что а = — ( — а). П,. Если а ( Ь, то длл любого числа с а+с(6+с. С л е д с т в н е 4.

Если а < Ь, то -а > — Ь. В частности, если а > О, тс — а < О, а если а < О, то — а > О. Действительно, нз а < Ь следует, что Ь+( — а) ) О. Поэтом> — а = — а+ Ь + (-Ь) = (Ь + ( — а)) + (-Ь) > О + ( — Ь) = — Ь. Число а > О называется положителытым, число а ( Π— отри- 4(Оп!ЕЛ ЬНЫМ. Следствие 5. Если а<Ьис<й. то а+с<Ь+й, (! ! т. е, можно производить почленное сложение неравенств одного знака. Действительно, если а < Ь и с <й, то, согласно 11г. а+ с < Ь + с и с+ Ь < й+ Ь, и поэтому из ! имеем а+ с < Ь+ й. Для любой упорядоченной пары чисел а и Ь число а + ( — Ь) называется разностью чисел а и Ь н обозначается а — Ь, т. е.

по определению а — Ь=а+( — 6). (1.3) Очевидно, а — а=о, (!.4) ибо а — а = а + ( — а) = О. С л е д с т в и е 6. Для любьгх чисел а и Ь вЂ” а — Ь= — (а+ Ь). Действительно, а+ Ь+ ( — а — Ь) = (а — а) + (Ь вЂ” Ь) О. Следствие у. Если а<Ь, с>й, тоа — с<Ь вЂ” а. Действительно, пз с > й имеем — с < — й, Складывая неравенства а < Ь и — с < — й„получим а — с < Ь вЂ” А Е 1, негнестаеляые числа 1П. Свойства операции умножения Для любой упорядоченной пары чисел а и Ь определено и притом единственным образом число, называемое их произведением и обозначаемое аЬ, так что при этом имеют место следующие свойства. 111,.

Для любой пары чисел а и Ь аЬ = Ьа. Это свойство называется перемеспгительным, или кольнутативным, законом улгножения. 111з. Для любой тройки чисел а, Ь, с а (Ьс) = (иЬ)с. Это свойство называется сочетательнь.н, или ассоциапавным, законом умножения. 111з. Существует число, обозначаемое 1 и называемое единицеи, такое, чпю 1+ О и для любого числа а а 1=а. ! 111,. Для любого числа а + О существует число, сбовначаемое— и называемое обрап1ным данному, такое, что ! а — =1.

о Аналогично доказательству едннственностя нуля н числа, противоположного данному, доказывается единственность еднннцы н числа, обратного данному. 111ь. Если а <. Ь и с > О, то ис <. Ьс. Если же а< 6 и с <. О, то ас л Ьс.е! Следствие 8. 1>О. Действительно, если 1 < О, то — ! > О. Умножая в атом случае неравенство 1 < О на положительное число -1, получим. согласно 111, !.( — !) < О. Отщода в силу определення единицы н коммутатнвностн умножения следует, по — ! < О, что протнворечнт сделанному допущенню 1 < О. Дли любой упорядоченной пары чисел а и 6, Ь+ О, число а.— Ь называется частным от деления а на Ь и обозначается —,, т.

е. по определению — =а.—. о 1 Ь Ь ' (1.5) Число 1+ 1 обюзначастся 2, число 2+ 1 обозначается 3 и т, д. Этн числа 1, 2, 3, ... называются натуральныма числами. Числа О, ~1, ~2, ... называются целыми числами. М Отметим, что второе утвержденне следует нз первого в ннжеследующего свойства 1У Д). Гволгхво вещественны т чисел ю Числа вида — „, где гп целое, а и натуральное, называются ра. г(ионильными числами. !Ч.

Связь операций вложения и умножению Йля любой тройки чисел а, Ь с (а+ Ь)с = ис+ Ьс. Это свойство называется рислределипюльньиа, или дистрибутивным, законом рмноскения относительно сложения, Следствие9. Длялюбыхчвсела, Ь,а а(Ь вЂ” с) = аЬ вЂ” ав. (1.6) В самом деле, а (Ь вЂ” с) = а(Ь вЂ” с) + ас — ас а(Ь вЂ” с+ с) — ас = аЬ вЂ” ас. С л е д с т в н е 10. Для любого числа а а.О = О. (1нт) действительно, воэьмем какое-либо число Ь, тогда Ь вЂ” Ь 0(см.

(1А)), и согласно (1.6) получим а 0 = а(Ь вЂ” Ь) = аЬ вЂ” аЬ О*П Следствие 11. Для любых чисел а и Ь ( — а)Ь вЂ” аь, ( — а)( — Ь) аЬ, в частности, ( — 1) а = — а. В самом деле, ( — а) Ь ( — а)Ь+ аЬ вЂ” аь = ( — а+ а)Ь аЬ = — аЬ. (1.10) Далее. ( — а)( — Ь) = — а( — Ь) = ( — 1)!а( — Ь)1 = ( — !К вЂ” аб) = — ( — аЬ) аЬ. Легко показать, что свойства 11„П„!11м Ша и 1Ч распространяются по индукции на любое конечное число членов.

В качестве примера покажем, что для любых чисел а„ам ..., а„(л > 2) и Ь (а,-!-а,+,.-(-а„) Ь=а,Ь+а,Ь+... +а„Ь. (1.1!) В самом деле, при и = 2 зта формула справедлива согласно свойству !Ч. Пусть теперь (1.11) справедливо при и = й, покажем, что она будет справедлива и при и = й + 1. *~ Иэ следствия 1О вытекает, что утверждение 1чЬО при наличии других рассматриваемых свойств эквивалентно тому, что существует хоть одно число отличное от нуля. Очевидно, дос~аточно показать, что если существует число а чн О, то 1 р О.