Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 5

Пустое множество не содержит элементов. Запись Л = (а, Ь, с, ...) означает, что совокупность А состоит из элементов а, Ь, с, ...; подобным образом запись Л = (хи) обозначает, что совокупность Л состоит из элементов ха, где а — индекс, пробегающий некоторое множество, которое, конечно„в конкретных случаях всегда указывается. Запись А= — (х: ...) означает, что совокупность Л состоит нз элементов, обладающих свойством, указанным после двоеточия в фигурных скобках.

Например, если а <. Ь, то определение числового отрезка (а, Ы запишется следующим образом: (а, Ь! =-(х а'= х < Ь). Если а(Ь, то множество (а, Ь)=(х:а(х(Ь) называется инпирвалом. Интервал (а, Ь) называется внутренностью отрезка (а, Ы. Числовые множества )а, Ь) =-(х:а < х( Ь), (а, Ы =.—. (х:а(х:, Ь) называются полуотрезками, или полуинтершлами. Л1ножества )а, Ь), (а, Ь), (а, Ь) и (а, Ы называются промежутками, точки а и Ь называются концами, а все остальные нх точки— внутренними точками. Мы будем рассматривать также бесконечные промежутки, употребляя для их записи символы бесконечности: оо, +со и — ов, При этом будем считать по определению, что для любого вещественного Д2.

Обсякяяеяия числа х имеет место неравенство — оо ( х ( +ос. Эго делает естественными, например, следующие обозначения: (а, + со) =- (х: х > а), ( — оо, Ь) = (х:х ( Ь), 1а, + оо) = (х: х > а), ( — оо, а) = (х: х < а), ( — со, +со) = (х: — оо(х(+ со). Этн множества и будем называть бесконечными промежутками. Если элемент х принадлежит множеству А, то будем писать х Е А, если же х не принадлежит А, то х~ Л. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то будем говорить, что А является подмножеством множества В, и писать Ас:В (читается: множество Л содержится во множестве В), или, что то же, В:эА (читается: множество В содержит множество А).

Пусть даны два множества А и В. Совокупность всех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В, называется их объединением„или их суммой, и обозначается А В. дый из которых принадлежит н мно- .'ф,',ь '::" жеству А и множеству В, называется их пересечением и обозначается Л В. Совокупность всех элементов, каж- Рис. 2 дый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается А' В (рис. 2). )(ратко эти определения можно записать следующим образом: Л В=- =(х: х принадлежит по крайней мере одному из множеств Л и В); Л В=(х:х~Л и х~В); Л",В=- (х:х~Л, х~В!. Если задана система множеств (Ла), то их объединение () А и пересечение () Л,„определяются соответственно по формулам ()А =- = (х: х принадлежит по крайней мере одному из множеств Ла); Д Л„=(х:х~Ла прч всех а).

и В 2. Верхние и нижкие грани множеств 22 а 2. ВеРхние и нижние ГРАни мнОжестВ 2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств Определение 1. Множес~пво М вещеппвенных чисел называется ограниченным сверху (соответстпвенно огриниченным снизу) числом а, если для всякого числа х с М выполняется неравенство х<а (соответственно х )~ а).

При этом говорил, что число а ограничивает перлу (снизу) л1ножество М. Множеслмо, ограниченное сверху (соответапленно снизу) некоторым числом, намвается ограниченным сверху (снизу) лсножестволь Определение 2. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется просто ограниченным лиюжеством. Другими словами, мнояасимо М называется ограниченным, если сУЩествйют такие числа а и 6, что а < х о длЯ любого хси М. Л1ножество, не являющееся ограниченным (сверху, снизу), называется неограниченным (сверху, снизу).

Примеры ограниченных множеств дают отрезок 11; 2), интервал (О; 1), множество значений функции тйп х. Бесконечный интервал ( — 5, +ьь), множество натуральных чисел 1, 2, 3, ... являются множествами, ограниченными снизу, но не ограниченными сверху. Наконец, множество всех целых чисел, всех рациональных чисел суть множества, не ограниченные как сверху, так и снизу.

Покажем в дальнейшем, что среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное мнохкество (если, конечно, такие числа для рассматриваемого множества существ)пот), есть наименьшее (наибольшее). Такое число называется верхней (нижней) гранью множества. Дадим точное определение верхней (нижней) грани. Определение 3. Пусть задано множество М. Число а называется верхней гранью (нижней гранью) множества М, если: 1) а не л~еньше (не больны) любого х(М: х < а (х . а); 2) для любого а' с.. а (соогпвепюименно а') а) существует по крайней мере одно х„е(- М, такое, что х, ) а' (соответственно хи < а').

Значок а' у числа х с М означает, что число х„зависит от выбора а'. Верхняя грань множества М обозначается зцр М илн ьцр х, л ем а нижняя грань соответственно |п1 М или |п( х. кем Очевидно, что если для некоторого множества существует верхняя (нижняя) грань, то зто множество ограничено сверху (снизу). 2.! Гоойствв верхних и нижних гриней множеств 23 Это сразу следует пз свойства 1 определения верхней (нижней) грани множества. Условие 2 в определении верхней (нижней) грани множества эквивалентно условию: 2') каково бы ни оыло ь) О, существует таюэе х (-М, что х„) а — е (соответственно х„( а + и). Чтобы убедиться в равносильности условий 2 и 2', достаточно положить е = а — а' (соответственно в = а' — а).

Приведем примеры, илл<острирующие понятия верхней и нижней грани множеств. Если М = (а, Ь), то !п! М = а, ьпр М = Ь. Если М =- (а, Ь), то также !и! М = а, ьнр М = Ь. Если М состоит пз двух точек а и Ь, а < Ь, т. е. М = (а) (Ь), то снова !п1 М = — а, ьнрМ =Ь. Приведет<ые примеры, в частности, показывают, что верхняя (нижняя) грань л<ножества может как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать ему. Определение 4. Пусть задано множество М.

Если существует такой элсл<ент х, — М, шло х х„(соответственно х > хо) для всех х сс М, то х, называется наибольшим, или л<аксимольным (аютветс<пвенно наименьшим, или минии<альныл<), элеменпюм множества М и пишется хо =- о<ах М (соответственно х, =- ппп М). Очевидно, что если в множестве М существует наибольший (наименыпий) элемент х<т то х, = ьнр М (соответственно х„=- !и! М).

Дадим еще одно определение верхней и нижней граней множества. Определение 5. Пусть задано множество М. Пусть  — множество всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) лшоясесглво М. Ниил<еньишй (наибольшии) элемент л<ножества В называется верхней (нижней) гранью множества М.

Определение 5 является, по существу, простой перефразировкой определения 3. Действительно, условие а(- В означает, что а ограни- чиваетсверху множествоМ, т. е. означает выполнение условия 1 определения 1. Условие, что а является минималы<ым элементом множества В, означает, что любое число а' ( а не ограничивает сверху множество М, т. е.

что найдется такой элемент хСМ, что х ) а'. Это и есть условие 2 определения 1. Аналогично показывается равносильность определений для нижней грани. Для множества М, не ограниченного сверху (снизу), никакое число пе может являться верхней (нижпей) гранью, и мы будем считать по определению верхнюю грань равной +во и писать ьпр М =- +во (для множества, пе ограниченного снизу, ш1М:=- = — ьо).

Если, как указывалось выше, формально считать, что, каково бы ни было число а, для симвояа +ос (соответственно символа — сю) имеет место соотношение порядка а(+со (соответственно й З Пвихвгге и чижнив тани ггнигчеств -- ь ( а), то определение зцр М =- +ьь (гп1 М = — со) удовлетворяет условиям 1 и 2 определения верхней (нижней) грани. Если верхняя (нижняя) грань множества является числом, то говорят, что она конечна, если же она является символом +си (соответственно — с ), то говорят, что она бесконечна. Первый вопрос, который естественно возникает после определения понятия верхней (нижпей) грани, состоит в следующем: всегда ли существует верхняя (нижняя) грань множества.

Если множество не ограничено сверху (снизу), то этот вопрос решается просто: в этом случае мы, как это было отмечено выше, по определению считаем верхнюю (нижнюю) грань равной +ьь (соответственно — ьв), Если же множество ограничено сверху (снизу), то ответ на вопрос дает следугошая теорема. Теорема 1, Всякое ограниченное сверху непрстое множестгю и щеспгвенных чисел имеет конечную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу — нггжнюю грань. До к а з а тел ь с т во. Пусть М вЂ” нспустое, ограниченное сверху множество. Это означает, во-первых, что существует по крайней мере один элемент аг-М, и, во-вторых, что существует такое число Ь, что х < Ь для всех элементов х(-М.

Отрезок (а, Ь! содержит хотя бы одну точку множества М, например, точку а. Разделим а-1-Н отрезок 1а„Ь1 пополам, т. е. рассмотрим два отрезка ~а, — —.~ и а+Ь вЂ” — Первый из пих назовем левым, а второй — правым отрезком. Если правый отрезок содержит хоть одну точку множества М, то мы обозначим его 1а„Ь,1; если же не содержит, то мы обозначим через (а„Ь,! левый отрезок. Таким образом, в обоих случаях (а„Ь,) содержит точки множества М, и все множество М расположено левее точки Ь„т.

е. х~~Ь, для всех х( М. Из отрезка !а„Ь,1 аналогичным образом получим отрезок !а„бг) и т. д. Пусть мы получили отрезок! а„, Ь„), разделим его на два равных отрезка. Если правый из получившихся отрезков содержит хоть одну точку множества М, то мы обозначим его !а „, Ь„,), если же не содержит, то через !а„,„Ь„„) мы обозначим левый отрезок. В результате этого процесса мы получим последовательность вложенных отрезков !а„, Ь„1, гг = 1, 2, ..., длины которых ܄— а„= Ь вЂ” а =- — „„— стремятся к нулю при возрастании и. Действи~ельно, для всякого е ) О, согласно свойству Архимеда, найдется такое натуральное псн что для всех натуральных п)~п, Ь вЂ” а Ь вЂ” и выполняется неравенство п ) — , и. следовательно, — (е. е и Замечая, что 2" =(1+ 1)н::=.