Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 8

))оказать, что 1) если последовательность плюет предел, то любая со подпоследовательность имеет тот же предел; 2) отбрасмваиие илн замена конечного числа членов последовательности не влияют на сходимость последовательности, причем в случае сходящейся последовательности не влияют и на величину предела. Теорема 4 (Больцано — Вейершптрасс*').

Из любой ограниченной последовательности мсвхнс выделить сходни(дюся псдпсследсвательносгпь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность (х„) ограничена, т. е. существует такой отрезок [а, 61, что а ( х„( 6 для всех и = 1, 2, .... Разделим отрезок [а, 61 на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечно много элементов данной последовательности. Обозначим его через [а„Ь,[.

Пусть ха, — какой-либо из членов данной последовательности, лежащии на отрезке [а„Ь,1, 1зазделим отрезок [а„Ь,1 на два равных отрезка; снова хоть один из получившихся двух отрезков содержит бесконечно много членов исходной последовательности, обозначим его через [ах, 6,1. В силу того, что на отрезке [ае, Ьз[ бесконечно много членов последовательности (ха), найдется такой член ха„что х„, ~[а„ба[ и пз) и,.

Продолжая этот процесс, получим последовательность отрезков [а„, Ь„1 и последовательность точек ха» ~ [а„, Ь»1, 6= 1„2, .... В силу построения последовательность (х„») является подпоследовательностью последовательности (хн). Покажем, что эта подпоследовательносгь сходящаяся. Последовательность отрезков [а», Ь»1, й =- 1, 2, ..., являетси последовательностью вложенных отрезков, по длине стремяшихся ь — о к нулю, так как ܄— а„= — — О при й- оо. Согласно лемме » Кантора (см.

п. 1.1), существует единственная точка $, принадлежащая всем этим отрезка»к Как мы видели (см. замечание к теореме 3), 1ипа»= 1пп Ь» — — $, но а» < х,» (Ью й=-1, 2, ..., »с.' »,. поэтому ь силу свойства ! (см. п. 3.1) сходящихся последовательностей последовательность [х„~! такжесходится и 1)шх„=-$. "» Таким образом, теорема доказана. Определение 11. Предел любой сходни(ейся подг1сследсвагпельнссти данной последовательности называется ее частичным пределом. «> К. Бейерштрасс (1815 — 1897) — немецкий математик.

Б. Больцано (178! — 1848) — чешский математик. дд Теорелш Вольцано — Ведерштросса и критерий Коши Теорема Больпано — Вейерштрасса утверждает, что всякая ограниченная поеледовательностпь имеет хотя бы один частпичный предел. У и р а ж н е н и е 4. Дли того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы оиа была ограничена и имела единственный частичный предел. До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с помощью которого можно было бы узнать, сходится ли данная последовательность.

Само определение сходящейся последовательности для этого мало удобно, так как в него входит значение предела, которое может быть и неизвестным. Поэтому желательно ньють такой критерий для определения сходимости и расходимости последовательностей, который базировался бы только на свойствах элементов данной последовательности. Нижеследующая тсюретаа б и дает как раз подобный критерий. Определение 12. Будем говоритеь что псследовагпельность (х„) удовлетворяет условию Коши ь1, если для любого е>О суи(ествует такой номер п„что для всех номеров и и т, удовлетворяюи1их условию и )~ и, т )~ и„, справедливо неравенапво ( х„— х ( <" е *'1. (З.б) Условие (З.б) ьюжно сформулировать и таким образом. Для любого в ) 0 суи1естпвует такой номер и„, что для всех номеров п ) и и всех 11елых положительных р ) хь.р» — х„~ < е. (3.7) Для того чтобы убедиться в равносильности условий (З.б) и (3.7), достаточно положить р =-.

и — т, если и )~ т, и р =- п1 — и, если т ) п. Теорема б (критерий Коши). Для того чтобы псследавательноеть сходилась, необходимо и доетпатпочно, юпобы она удовлетвортш условию Коши. Доказательство необходимости условия Коши Пусть последовательность (х„) сходится и 1ппх„=-а. Зададим и ь е ) 0; тогда, согласно определению предела последовательности, существует такое п„что ( х„— а ~ <'-'- для и ) п,. *) О, Коши (1759 — 1857) — французский математик.

**1 Последовательности, удоалстаоравшие условию Коши, называготса также 4ундаиенлшльними лееледовошельнышлми. зв б Ю. Предел последовательности Пусть теперь и > п, и т ) и , тогда ) Х вЂ” Х ! = )(Хп — а)+(а — Х )!»ь (хл а!+1 Хгь а!» д + 2 т. е. выполняется условие Коши. Доказательство достаточности условия Коши. Пусть последовательность(хн) удовлетворяет условию Коши, т. е. для всякого в) О существует такое ие что если и > ие и т > и, то !х„— л. !(е. Возьмем, например, е ==1, тогда существует такое и„что )х„— х„,((1 при пл>п, и и» и,. В частности, если п.~ и, и т = и„то ! х„— х„,((1, т.

е. Хн,— ! (х„(х„,-(-! при и > и,. Это и значит, что последовательность х„, п = п„и,-1-1, ..., ограничена. Поэтому в силу теоремы 4 существует ее сходящаяся подпоследояательность (ха ). Пусть 1(ш хь =. а. По>та>кехи что пся данная последователь'>: л ь ность (х„) также сходится и имеет пределом число а. Зададим некоторое н ) О.

Тогда, во-первых, по определе>шю предела последовательности существует такое Фе, что ~х„~ — а~(— (3.8) для всех 1» )~ 1г, Причем, согласно определен>ио подпоследователь- ности, неравенство (3.8) выполняется для всех па > и» . Во-вторых, так как последовательность (х„) удовлетворяет условшо Коши, то существует такое и„что — (( — ' для всех п > и, и всех т > и . Положим Лг,=п>ах (па, и» ) и зафиксируем некоторое и») Л~ .

Тогда для всех и .ьЛ' получим / х„— а ( = ~ (хи — х„„) + (хо„— а) ~ < ((х„— ха»1 +(х„» — (( — + —. = в, а это и доказывает, что !(ш х„=а. л Теорема доказана. У п р а хг н е н н я. 5. г.4юриулировать позитивные (без отрицаний) необходимые и достаточные условия, аналогичные условию Коши, для того чтобы данная последовательность не имела предела.

6, Доказать, что для того чтобы последовательность (х„) была сходящейся оеобходино и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое л, что ! л„ вЂ” »„,1 < в для всех и > я е* а я" Зла Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Определение 13. Пусть заданы последовательности (х„) и (у„); суммой, разностью и произведением этих последовател ьностей называготся соответственно последовательности (х„+ у„), (х„— у„) и (хоун). Если ун+ О, и = 1, 2, ..., то часпгным от де. ления последовательности (х„) на ггоследовагпельность (у„) называется последовательность 1 — !. Иаконеу, произведением ппследо)лн( Ун вательности (х„) на число с называется последовательноспгь (сх„).

Определение 14. Последовательность (а„) называется беско. печно малой последовательностью, если (пи а„=О. н Мы уже встречались в п. 3.1 с бесконечно малыми последо! ! . к вательностями а = —, а = — ьйп — п, и= — 1, 2, .... и г>1 и Отметим несколько свойств бесконечно малых последовательностей. !. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно лгалых последовательностей есгпь бесконечно малая последовательность. Лак аза тельство. Пусть (а„) и ф„) — бесконечно малые последовательности. Покажем, что и последовательности (а„+ р„) и (ан — ))„) являются также бесконечно малыми. Зададим е>0, е тогда существует (почеыуг) такой номер и, по )а„)( — и ~ ~н ~ ( о дггя все>г п л гге Г10этому для л ~ пе имеем что и означает, что 1!пг(ан~- р,)-.: О.

и Соответствующее утверждение для любого конечного числа слагаемых следует из доказанного по индукции. Задача 3. Определив сумму бесконечного числа занумерованных слагаемых (обобщающую понятие суммы конечного числа слагаемых), а затем сумму бесконечного числа последовательностей, построить пример бесконечного числа бесконечно малых последовательностей, сумма которых не является бесконечно малой последовательностью. 11.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность являегпся бесконечно милой последовагпгльноспгью. й 3. Предел последовательности До к аз а тел ь ст во. Пусть (ач) — бесконечно малая последовательность, а (хв) — ограниченная последовательность, т. е. существует такое число Ь ) О, что !хв! < Ь для всех номеров п=1,2, .... Зададим е )О; в силу определения бесконечно малой последовательности существует такой номер и , что (а„! «,. — для всех и > и,. Поэтому для всех и > п имеем (а„х„! =(а„!! х„(( — Ь =в, что и означает, что последовательность (азх„) бесконечно малая.

С л е д с т в и е. Проижедение конечного числа бесконечно малых последовательноегпей является бесконечно малой псследовательносгпью. Это сразу следует по индукции из свойства 11, если заметить, что бесконечно згалазг последователь~ость, как и всякая последовательность, имеющая предел, ограничена (см.

теорему 2 п. 3.2). Задача а. Определив произведение бесконечного числа занумерованных сомножигелстй (обобщающее понятие произведения конечного числа сомножителей), а затем определив произведение бесконечного числа последовательностей, построить пример бесконечного числа бесконечно малых последовательностей, произведение которых ие является бесконечно малой последовательностью. Определение 15. Последовательность (х„) называется бесконечно большой, если для любого числа е кущеппвует такои' номер и „чтпо ! хо ! ) е для всех и > и . В этом случае пишут 1нп х„ = со. л О Если последовательность хв, п=-1, 2, ..., такова, что для любого числа е существует такое и,, что л„)е для всех п:.